Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 28/latex
\setcounter{section}{28}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,}
die auf einer Menge $M$
\definitionsverweis {operiert}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Fundamentalbereich}{}{}
für diese Operation. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Repräsentantensystem}{}{}
für die
\definitionsverweis {Nebenklassen}{}{}
$G/H$. Zeige, dass
\mathdisp {\bigcup_{g \in R} g(D)} { }
ein Fundamentalbereich der auf $H$ eingeschränkten Operation auf $M$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere einen
\definitionsverweis {Fundamentalbereich}{}{}
für die Operation der
\definitionsverweis {Hauptkongruenzuntergruppe}{}{}
$\Gamma(2)$ zur Stufe $2$ auf der
\definitionsverweis {oberen Halbebene}{}{}
${\mathbb H}$ gemäß
Aufgabe 27.1
unter Verwendung des
\definitionsverweis {Repräsentantensystems}{}{}
für
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }/\Gamma(2)}{}
aus
Aufgabe 27.6
und
Lemma 9.9.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,}
die auf einer Menge $M$
\definitionsverweis {operiere}{}{,}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{.}
Zeige, dass es eine kanonische surjektive Abbildung
\maabbdisp {} {M / H } { M / G
} {}
zwischen den
\definitionsverweis {Bahnenräumen}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,}
die auf einer Menge $M$
\definitionsverweis {operiere}{}{,}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{.}
Zeige, dass auf dem
\definitionsverweis {Bahnenraum}{}{}
\mathl{M / H}{} die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{G/H}{} in natürlicher Weise operiert, und dass der Bahnenraum
\mathl{{ \left( M / H \right) } / { \left( G/H \right) }}{} mit dem Bahnenraum
\mathl{M/ G}{} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
$\sum_{n \in \N} \sqrt{n} z^n$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ < }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über $\Q$ und es sei $\sum_{n \in \N_+} a_n n^{-s}$ die zugehörige
$L$-\definitionsverweis {Reihe}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
$\sum_{n \in \N_+} a_n q^n$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { q }
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige: Um
den Satz von Wiles
für alle Exponenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu zeigen, genügt es, ihn für alle ungeraden Primzahlen als Exponenten zu beweisen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^n+y^n
}
{ =} { z^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Fermat-Gleichung. Zeige: wenn es keine nichttriviale Lösung
\mathl{(x,y,z)}{} in natürlichen Zahlen gibt, so gibt es auch keine nichttriviale Lösung in ganzen Zahlen.
}
{} {}