Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 4/latex

\setcounter{section}{4}






\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.} Zeige, dass eine \definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{} mit jeder projektiven Geraden in der projektiven Ebene einen nichtleeren Durchschnitt hat.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{} über einem unendlichen \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass es eine Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ = }{ C_1 \cup C_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit zwei affinen, in $C$ offenen \definitionsverweis {ebenen Kurven}{}{} \mathkor {} {C_1} {und} {C_2} {} gibt.

}
{} {}

Über einem endlichen Körper gilt die vorstehende Aussage nicht, siehe Aufgabe 4.28 weiter unten.




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{} der Hyperbel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V(XY-1) }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{} der Parabel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V { \left( Y-X^2 \right) } }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Polynom}{}{} in einer Variablen über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V(Y-F) }
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der zugehörige \definitionsverweis {Graph}{}{,} aufgefasst als \definitionsverweis {ebene affine Kurve}{}{.} Bestimme den \definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{C} }
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{} des Graphen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{F,G \in K[X],\, G \neq 0}{,} \definitionsverweis {Polynome}{}{} in einer Variablen über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und sei
\mathl{F/G}{} die zugehörige \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Graph}{}{} zu dieser rationalen Funktion, aufgefasst als \definitionsverweis {ebene affine Kurve}{}{.} Bestimme den \definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{C} }
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{} des Graphen. Wo finden sich \anfuehrung{Asymptoten}{} im projektiven Abschluss wieder?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {ebene affine Kurve}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {projektive Abschluss}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{C} }
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{} zusätzliche Punkte enthält.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Betrachte die affine Nullstellenmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ \defeq} {V { \left( X^4+Y^2 \right) } }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{\R} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über $\R$. \aufzaehlungzwei {Bestimme die Punkte von $V$ und den \definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{} von $V$. } {Zeige, dass der projektive Abschluss von $V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur \definitionsverweis {Homogenisierung}{}{} von
\mathl{X^4+Y^2}{} übereinstimmt. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Betrachte die affine Nullstellenmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ \defeq} {V { \left( X^2+Y^2+1 \right) } }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über dem Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{ \Z/(2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit zwei Elementen. \aufzaehlungdrei{Bestimme die Punkte von $V$. }{Bestimme den \definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{} von $V$. }{Zeige, dass der projektive Abschluss von $V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur \definitionsverweis {Homogenisierung}{}{} von
\mathl{X^2+Y^2+1}{} übereinstimmt. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V( {\mathfrak a} ) }
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {affine Varietät}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {projektive Abschluss}{}{} von $V$ mit $V$ übereinstimmt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Ist die \definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^4+Z^3Y+Z^4 \right) } }
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} isomorph zum \definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{} einer \definitionsverweis {monomialen Kurve}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{ K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{.} Zeige: $F$ zerfällt in \definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(H) }
{ \subseteq }{ K[X_1 , \ldots , X_n ] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Homogenisierung}{}{} des Ideals $(H)$ gleich dem von der \definitionsverweis {Homogenisierung}{}{} von $H$ erzeugten Hauptideal ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{} der durch
\mathdisp {V { \left( { \left( X^2+Y^2 \right) }^2- 2X { \left( X^2+Y^2 \right) } -Y^2 \right) }} { }
gegebenen
\definitionswortenp{Kardioide}{} über den komplexen Zahlen und insbesondere die \anfuehrung{Punkte im Unendlichen}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{K[X_0,X_1 , \ldots , X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{} und es sei $\tilde{ F }$ die \definitionsverweis {Dehomogenisierung}{}{} von $F$ bezüglich der Variablen $X_n$. Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungzwei {Wenn $F$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \neq }{X_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, so ist auch $\tilde{ F }$ irreduzibel. } {Wenn $F$ kein Vielfaches von $X_n$ ist und $\tilde{ F }$ irreduzibel ist, so ist auch $F$ irreduzibel. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{K[X_0,X_1 , \ldots , X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {irreduzibles}{}{} \definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{} $\neq X_n$ und es sei $\tilde{ F }$ die \definitionsverweis {Dehomogenisierung}{}{} von $F$ bezüglich der Variablen $X_n$. Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungdrei{
\mathl{K[ { \frac{ X_0 }{ X_n } } , { \frac{ X_1 }{ X_n } } , \ldots , { \frac{ X_{n-1} }{ X_n } } ]/ (\tilde{ F } )}{} ist ein Unterring des \definitionsverweis {Quotientenkörpers}{}{} von
\mathl{K[X_0,X_1 , \ldots , X_n]/(F)}{.} }{Der Quotientenkörper zu
\mathl{K[ { \frac{ X_0 }{ X_n } } , { \frac{ X_1 }{ X_n } } , \ldots , { \frac{ X_{n-1} }{ X_n } } ]/ (\tilde{ F } )}{} ist ein Unterkörper des \definitionsverweis {Quotientenkörpers}{}{} von
\mathl{K[X_0,X_1 , \ldots , X_n]/(F)}{.} }{Wenn man $F$ nach einer anderen Variablen dehomogenisiert \zusatzklammer {und $F$ keine Variable ist} {} {,} so entsteht in Teil (2) der gleiche Quotientenkörper. }

}
{} {}

Den gemeinsamen Quotientenkörper der affinen Koordinatenringe nennt man den Funktionenkörper der projektiven Hyperfläche $V_+(F)$.




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{K[X_0,X_1 , \ldots , X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {irreduzibles}{}{} \definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{,} das keine Variable sei. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{V_+(F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt, es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{V_+(F) \cap D_+(X_i) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine affine Umgebung und sei $\tilde{ F }$ die \definitionsverweis {Dehomogenisierung}{}{} von $F$ bezüglich $X_i$. Zeige, dass der im affinen Koordinatenring
\mathl{K[ { \frac{ X_0 }{ X_i } }, { \frac{ X_0 }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_{i-1} }{ X_i } }, { \frac{ X_{i+1} }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_n }{ X_i } } ]/( \tilde{ F } )}{} gebildete \definitionsverweis {lokale Ring}{}{} zum Punkt $P$ für jedes $i$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{D_+(X_i) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} den gleichen Unterring im Funktionenkörper zu $V_+(F)$ ergibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{(a,b,c) }
{ \in }{V_+(F) }
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt einer \definitionsverweis {ebenen projektiven Kurve}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass man die \definitionsverweis {Glattheit}{}{} von $P$ in einer beliebigen affinen Umgebung
\mathl{D_+(X),D_+(Y),D_+(Z)}{} \zusatzklammer {zu der $P$ gehören muss} {} {} überprüfen kann.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^4+Y^3Z+Z^4 \right) } }
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {glatt}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme, ob die \definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_+ { \left( X^4+YZ^3+Z^4 \right) } }
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {glatt}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{(a,b,c) }
{ \in }{V_+(F) }
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {glatter Punkt}{}{} einer \definitionsverweis {ebenen projektiven Kurve}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{D_+(Z) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass das lineare homogene Polynom
\mathdisp {{ \frac{ \partial F }{ \partial X } } (P) X + { \frac{ \partial F }{ \partial Y } } (P) Y+ { \frac{ \partial F }{ \partial Z } } (P) Z} { }
die \definitionsverweis {Homogenisierung}{}{} des affin-linearen Polynoms ist, das die Tangente in $D_+(Z)$ beschreibt, vergleiche Bemerkung 2.4.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_+(F) }
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$ genau dann \definitionsverweis {glatt}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
\mathdisp {\left( { \frac{ \partial F }{ \partial X } } , \, { \frac{ \partial F }{ \partial Y } } , \, { \frac{ \partial F }{ \partial Z } } \right)} { }
in keinem Punkt der Kurve simultan gleich $0$ sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ = }{G+ZH }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{} vom Grad $\geq 3$ in drei Variablen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G,H }
{ \in }{ K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $K$ einen \definitionsverweis {Körper}{}{} bezeichnet. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V_+(F) }
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht \definitionsverweis {glatt}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {glatte}{}{} \definitionsverweis {Quadrik}{}{.} Zeige, dass auch der \definitionsverweis {projektive Abschluss}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{C} }
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{} glatt ist.

}
{} {}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Lemniscate_of_Bernoulli.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Lemniskate von Bernoulli} }

\bildlizenz { Lemniscate of Bernoulli.svg } {} {Zorgit} {Commons} {PD} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die durch
\mathl{V { \left( { \left( X^2+Y^2 \right) }^2-X^2+Y^2 \right) }}{} gegebene Lemniskate von Bernoulli die Singularitäten sowie die unendlich fernen Punkte in ${\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}$. Berechne in all diesen Punkten die Multiplizität und die Tangenten.

}
{} {}







\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Tschirnhausen_cubic.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Tschirnhausen Kubik} }

\bildlizenz { Tschirnhausen cubic.svg } {} {Oleg Alexandrov} {Commons} {PD} {}





\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die durch
\mathl{V { \left( X^3+3X^2-Y^2 \right) }}{} gegebene
\definitionswortenp{Tschirnhausen Kubik}{} die Singularitäten unter Berücksichtigung der unendlich fernen Punkte. Bestimme die Tangenten in den Singularitäten und in den unendlich fernen Punkten.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für das durch
\mathl{V { \left( X^3+Y^3-3XY \right) }}{} definierte Kartesische Blatt die unendlich fernen Punkte in ${\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}$ und berechne die Multiplizität und die Tangenten in diesen Punkten.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {ebene affine Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { V(X^2Y^4+X^4Y^2+X+X^4+Y+Y^4) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{ \Z/(2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die durch die \definitionsverweis {Homogenisierung}{}{} gegebene \definitionsverweis {projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D }
{ =} { V_+(X^2Y^4+X^4Y^2+XZ^5+X^4Z^2+YZ^5+Y^4Z^2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \aufzaehlungfuenf{Zeige, dass $C$ \definitionsverweis {glatt}{}{} ist. }{Man folgere, dass das Polynom $X^2Y^4+X^4Y^2+X+X^4+Y+Y^4$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist. }{Zeige, dass jeder Punkt aus
\mathl{K^2}{} zu $C$ gehört. }{Zeige, dass jeder $K$-Punkt aus
\mathl{{\mathbb P}^{2}_{K}}{} zu $D$ gehört. }{Zeige, dass $D$ nicht \definitionsverweis {glatt}{}{} ist. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die kubische projektive Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+(X^3+Y^3+Z^3+XY^2+YZ^2+ZX^2+XYZ) }
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{ \Z/(2)} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $\Z/(2)$. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass die Kurve keine
\mathl{\Z/(2)}{-}Punkte besitzt. }{Zeige, dass die Kurve nicht \definitionsverweis {glatt}{}{} ist. }{Bestimme einen \definitionsverweis {Erweiterungskörper}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(2) }
{ \subseteq} { {\mathbb F}_{ 2^k } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} über dem die Kurve einen singulären Punkt besitzt. }

}
{} {}

Die folgende Aufgabe beschreibt eine weitere wichtige Charakterisierung von kongruenten Zahlen.


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine natürliche Zahl. Zeige, dass $n$ genau dann eine \definitionsverweis {kongruente Zahl}{}{} ist, wenn es eine rationale Zahl $q$ derart gibt, dass die drei Zahlen
\mathl{q-n,q,q+n}{} Quadrate in $\Q$ sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Finde drei Quadratzahlen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u^2 }
{ <} {v^2 }
{ <} {w^2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} derart, dass der Abstand von $u^2$ zu $v^2$ gleich dem Abstand von $v^2$ zu $w^2$ ist.

}
{} {}

In der folgenden Aufgabe wird unter Verwendung von Satz 10.8 (Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)) bewiesen, dass $2$ keine kongruente Zahl ist.


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich $2$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Finde ausgehend vom \definitionsverweis {pythagoreischen Tripel}{}{}
\mathl{(5,12,13)}{} mit Lemma 4.13 einen Punkt auf der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y^2 }
{ = }{ X^3-900X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegebenen \definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{}

}
{} {}