Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 4/latex
\setcounter{section}{4}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.} Zeige, dass eine \definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{} mit jeder projektiven Geraden in der projektiven Ebene einen nichtleeren Durchschnitt hat.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
über einem unendlichen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass es eine Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{ C_1 \cup C_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit zwei affinen, in $C$ offenen
\definitionsverweis {ebenen Kurven}{}{}
\mathkor {} {C_1} {und} {C_2} {}
gibt.
}
{} {}
Über einem endlichen Körper gilt die vorstehende Aussage nicht, siehe Aufgabe 4.28 weiter unten.
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
der Hyperbel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V(XY-1)
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
der Parabel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V { \left( Y-X^2 \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
in einer Variablen über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V(Y-F)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige
\definitionsverweis {Graph}{}{,}
aufgefasst als
\definitionsverweis {ebene affine Kurve}{}{.}
Bestimme den
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{C}
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K
}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
des Graphen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{F,G \in K[X],\, G \neq 0}{,}
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
in einer Variablen über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und sei
\mathl{F/G}{} die zugehörige
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Graph}{}{}
zu dieser rationalen Funktion, aufgefasst als
\definitionsverweis {ebene affine Kurve}{}{.}
Bestimme den
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{C}
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K
}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
des Graphen. Wo finden sich \anfuehrung{Asymptoten}{} im projektiven Abschluss wieder?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {ebene affine Kurve}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {projektive Abschluss}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{C}
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
zusätzliche Punkte enthält.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte die affine Nullstellenmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ \defeq} {V { \left( X^4+Y^2 \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{\R}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\R$.
\aufzaehlungzwei {Bestimme die Punkte von $V$ und den
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
von $V$.
} {Zeige, dass der projektive Abschluss von $V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur
\definitionsverweis {Homogenisierung}{}{}
von
\mathl{X^4+Y^2}{} übereinstimmt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte die affine Nullstellenmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ \defeq} {V { \left( X^2+Y^2+1 \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über dem Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ \Z/(2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit zwei Elementen.
\aufzaehlungdrei{Bestimme die Punkte von $V$.
}{Bestimme den
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
von $V$.
}{Zeige, dass der projektive Abschluss von $V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur
\definitionsverweis {Homogenisierung}{}{}
von
\mathl{X^2+Y^2+1}{} übereinstimmt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V( {\mathfrak a} )
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {affine Varietät}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {projektive Abschluss}{}{}
von $V$ mit $V$ übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Ist die
\definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^4+Z^3Y+Z^4 \right) }
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
isomorph zum
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
einer
\definitionsverweis {monomialen Kurve}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{.}
Zeige: $F$ zerfällt in
\definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(H)
}
{ \subseteq }{ K[X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Homogenisierung}{}{}
des Ideals $(H)$ gleich dem von der
\definitionsverweis {Homogenisierung}{}{}
von $H$ erzeugten Hauptideal ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{} der durch
\mathdisp {V { \left( { \left( X^2+Y^2 \right) }^2- 2X { \left( X^2+Y^2 \right) } -Y^2 \right) }} { }
gegebenen
\definitionswortenp{Kardioide}{} über den komplexen Zahlen und insbesondere die \anfuehrung{Punkte im Unendlichen}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{K[X_0,X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{}
und es sei $\tilde{ F }$ die
\definitionsverweis {Dehomogenisierung}{}{}
von $F$ bezüglich der Variablen $X_n$. Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Wenn $F$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \neq }{X_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist auch $\tilde{ F }$ irreduzibel.
} {Wenn $F$ kein Vielfaches von $X_n$ ist und $\tilde{ F }$ irreduzibel ist, so ist auch $F$ irreduzibel.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{K[X_0,X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {irreduzibles}{}{}
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{}
$\neq X_n$ und es sei $\tilde{ F }$ die
\definitionsverweis {Dehomogenisierung}{}{}
von $F$ bezüglich der Variablen $X_n$. Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{
\mathl{K[ { \frac{ X_0 }{ X_n } } , { \frac{ X_1 }{ X_n } } , \ldots , { \frac{ X_{n-1} }{ X_n } } ]/ (\tilde{ F } )}{} ist ein Unterring des
\definitionsverweis {Quotientenkörpers}{}{}
von
\mathl{K[X_0,X_1 , \ldots , X_n]/(F)}{.}
}{Der Quotientenkörper zu
\mathl{K[ { \frac{ X_0 }{ X_n } } , { \frac{ X_1 }{ X_n } } , \ldots , { \frac{ X_{n-1} }{ X_n } } ]/ (\tilde{ F } )}{} ist ein Unterkörper des
\definitionsverweis {Quotientenkörpers}{}{}
von
\mathl{K[X_0,X_1 , \ldots , X_n]/(F)}{.}
}{Wenn man $F$ nach einer anderen Variablen dehomogenisiert
\zusatzklammer {und $F$ keine Variable ist} {} {,}
so entsteht in Teil (2) der gleiche Quotientenkörper.
}
}
{} {}
Den gemeinsamen Quotientenkörper der affinen Koordinatenringe nennt man den Funktionenkörper der projektiven Hyperfläche $V_+(F)$.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{K[X_0,X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {irreduzibles}{}{}
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{,}
das keine Variable sei. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{V_+(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt, es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{V_+(F) \cap D_+(X_i)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine affine Umgebung und sei $\tilde{ F }$ die
\definitionsverweis {Dehomogenisierung}{}{}
von $F$ bezüglich $X_i$. Zeige, dass der im affinen Koordinatenring
\mathl{K[ { \frac{ X_0 }{ X_i } }, { \frac{ X_0 }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_{i-1} }{ X_i } }, { \frac{ X_{i+1} }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_n }{ X_i } } ]/( \tilde{ F } )}{} gebildete
\definitionsverweis {lokale Ring}{}{}
zum Punkt $P$ für jedes $i$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{D_+(X_i)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den gleichen Unterring im Funktionenkörper zu $V_+(F)$ ergibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(a,b,c)
}
{ \in }{V_+(F)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt einer
\definitionsverweis {ebenen projektiven Kurve}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass man die
\definitionsverweis {Glattheit}{}{}
von $P$ in einer beliebigen affinen Umgebung
\mathl{D_+(X),D_+(Y),D_+(Z)}{}
\zusatzklammer {zu der $P$ gehören muss} {} {}
überprüfen kann.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^4+Y^3Z+Z^4 \right) }
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme, ob die
\definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_+ { \left( X^4+YZ^3+Z^4 \right) }
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(a,b,c)
}
{ \in }{V_+(F)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {glatter Punkt}{}{}
einer
\definitionsverweis {ebenen projektiven Kurve}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{D_+(Z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass das lineare homogene Polynom
\mathdisp {{ \frac{ \partial F }{ \partial X } } (P) X + { \frac{ \partial F }{ \partial Y } } (P) Y+ { \frac{ \partial F }{ \partial Z } } (P) Z} { }
die
\definitionsverweis {Homogenisierung}{}{}
des affin-linearen Polynoms ist, das die Tangente in $D_+(Z)$ beschreibt, vergleiche
Bemerkung 2.4.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_+(F)
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{}
$K$ genau dann
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist, wenn die
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
\mathdisp {\left( { \frac{ \partial F }{ \partial X } } , \, { \frac{ \partial F }{ \partial Y } } , \, { \frac{ \partial F }{ \partial Z } } \right)} { }
in keinem Punkt der Kurve simultan gleich $0$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{G+ZH
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{}
vom Grad $\geq 3$ in drei Variablen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G,H
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $K$ einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
bezeichnet. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V_+(F)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {glatte}{}{}
\definitionsverweis {Quadrik}{}{.}
Zeige, dass auch der
\definitionsverweis {projektive Abschluss}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{C}
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
glatt ist.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Lemniscate_of_Bernoulli.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Lemniskate von Bernoulli} }
\bildlizenz { Lemniscate of Bernoulli.svg } {} {Zorgit} {Commons} {PD} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die durch
\mathl{V { \left( { \left( X^2+Y^2 \right) }^2-X^2+Y^2 \right) }}{} gegebene Lemniskate von Bernoulli die Singularitäten sowie die unendlich fernen Punkte in ${\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}$. Berechne in all diesen Punkten die Multiplizität und die Tangenten.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Tschirnhausen_cubic.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Tschirnhausen Kubik} }
\bildlizenz { Tschirnhausen cubic.svg } {} {Oleg Alexandrov} {Commons} {PD} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die durch
\mathl{V { \left( X^3+3X^2-Y^2 \right) }}{} gegebene
\definitionswortenp{Tschirnhausen Kubik}{} die Singularitäten unter Berücksichtigung der unendlich fernen Punkte. Bestimme die Tangenten in den Singularitäten und in den unendlich fernen Punkten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für das durch
\mathl{V { \left( X^3+Y^3-3XY \right) }}{} definierte
Kartesische Blatt
die unendlich fernen Punkte in ${\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}$ und berechne die Multiplizität und die Tangenten in diesen Punkten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {ebene affine Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V(X^2Y^4+X^4Y^2+X+X^4+Y+Y^4)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ \Z/(2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die durch die
\definitionsverweis {Homogenisierung}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ =} { V_+(X^2Y^4+X^4Y^2+XZ^5+X^4Z^2+YZ^5+Y^4Z^2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\aufzaehlungfuenf{Zeige, dass $C$
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist.
}{Man folgere, dass das Polynom $X^2Y^4+X^4Y^2+X+X^4+Y+Y^4$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}{Zeige, dass jeder Punkt aus
\mathl{K^2}{} zu $C$ gehört.
}{Zeige, dass jeder $K$-Punkt aus
\mathl{{\mathbb P}^{2}_{K}}{} zu $D$ gehört.
}{Zeige, dass $D$ nicht
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die kubische projektive Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+(X^3+Y^3+Z^3+XY^2+YZ^2+ZX^2+XYZ)
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{ \Z/(2)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$\Z/(2)$.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass die Kurve keine
\mathl{\Z/(2)}{-}Punkte besitzt.
}{Zeige, dass die Kurve nicht
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist.
}{Bestimme einen
\definitionsverweis {Erweiterungskörper}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(2)
}
{ \subseteq} { {\mathbb F}_{ 2^k }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
über dem die Kurve einen singulären Punkt besitzt.
}
}
{} {}
Die folgende Aufgabe beschreibt eine weitere wichtige Charakterisierung von kongruenten Zahlen.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine natürliche Zahl. Zeige, dass $n$ genau dann eine
\definitionsverweis {kongruente Zahl}{}{}
ist, wenn es eine rationale Zahl $q$ derart gibt, dass die drei Zahlen
\mathl{q-n,q,q+n}{} Quadrate in $\Q$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Finde drei Quadratzahlen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u^2
}
{ <} {v^2
}
{ <} {w^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
derart, dass der Abstand von $u^2$ zu $v^2$ gleich dem Abstand von $v^2$ zu $w^2$ ist.
}
{} {}
In der folgenden Aufgabe wird unter Verwendung von
Satz 10.8 (Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017))
bewiesen, dass $2$ keine kongruente Zahl ist.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich $2$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde ausgehend vom
\definitionsverweis {pythagoreischen Tripel}{}{}
\mathl{(5,12,13)}{} mit
Lemma 4.13
einen Punkt auf der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ = }{ X^3-900X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{}
}
{} {}