Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 4

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass eine ebene projektive Kurve mit jeder projektiven Geraden in der projektiven Ebene einen nichtleeren Durchschnitt hat.

Aufgabe *

Es sei ${}C\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine ebene projektive Kurve über einem unendlichen Körper ${}K$. Zeige, dass es eine Überdeckung ${}C=C_{1}\cup C_{2}$ mit zwei affinen, in ${}C$ offenen ebenen Kurven ${}C_{1}$ und ${}C_{2}$ gibt.

Über einem endlichen Körper gilt die vorstehende Aussage nicht, siehe Aufgabe 4.28 weiter unten.

Aufgabe

Bestimme den projektiven Abschluss der Hyperbel

${}V(XY-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,.$

Aufgabe

Bestimme den projektiven Abschluss der Parabel

${}V{\left(Y-X^{2}\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}F\in K[X]$ ein Polynom in einer Variablen über einem Körper ${}K$ und sei ${}V(Y-F)\subseteq {\mathbb {A} }_{}^{2}$ der zugehörige Graph, aufgefasst als ebene affine Kurve. Bestimme den projektiven Abschluss ${}{\tilde {C}}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ des Graphen.

Aufgabe

Es seien ${}F,G\in K[X],\,G\neq 0$, Polynome in einer Variablen über einem Körper ${}K$ und sei ${}F/G$ die zugehörige rationale Funktion. Es sei ${}V\subseteq {\mathbb {A} }_{}^{2}$ der Graph zu dieser rationalen Funktion, aufgefasst als ebene affine Kurve. Bestimme den projektiven Abschluss ${}{\tilde {C}}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ des Graphen. Wo finden sich „Asymptoten“ im projektiven Abschluss wieder?

Aufgabe

Es sei ${}C\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$ eine ebene affine Kurve. Zeige, dass der projektive Abschluss

${}{\tilde {C}}\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

zusätzliche Punkte enthält.

Aufgabe *

Betrachte die affine Nullstellenmenge

${}V:=V{\left(X^{4}+Y^{2}\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}\,$

über ${}\mathbb {R}$.

1. Bestimme die Punkte von ${}V$ und den projektiven Abschluss von ${}V$.
2. Zeige, dass der projektive Abschluss von ${}V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von ${}X^{4}+Y^{2}$ übereinstimmt.

Aufgabe *

Betrachte die affine Nullstellenmenge

${}V:=V{\left(X^{2}+Y^{2}+1\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

über dem Körper ${}K=\mathbb {Z} /(2)$ mit zwei Elementen.

1. Bestimme die Punkte von ${}V$.
2. Bestimme den projektiven Abschluss von ${}V$.
3. Zeige, dass der projektive Abschluss von ${}V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von ${}X^{2}+Y^{2}+1$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper und ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affine Varietät. Zeige, dass der projektive Abschluss von ${}V$ mit ${}V$ übereinstimmt.

Aufgabe *

Ist die ebene projektive Kurve ${}V_{+}{\left(X^{4}+Z^{3}Y+Z^{4}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ isomorph zum projektiven Abschluss einer monomialen Kurve?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ ein homogenes Polynom. Zeige: ${}F$ zerfällt in Linearfaktoren.

Aufgabe

Es sei ${}(H)\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Hauptideal. Zeige, dass die Homogenisierung des Ideals ${}(H)$ gleich dem von der Homogenisierung von ${}H$ erzeugten Hauptideal ist.

Aufgabe

Bestimme den projektiven Abschluss der durch

$V{\left({\left(X^{2}+Y^{2}\right)}^{2}-2X{\left(X^{2}+Y^{2}\right)}-Y^{2}\right)}$

gegebenen Kardioide über den komplexen Zahlen und insbesondere die „Punkte im Unendlichen“.

Aufgabe

Es sei ${}F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom und es sei ${}{\tilde {F}}$ die Dehomogenisierung von ${}F$ bezüglich der Variablen ${}X_{n}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Wenn ${}F$ irreduzibel ist und ${}F\neq X_{n}$ ist, so ist auch ${}{\tilde {F}}$ irreduzibel.
2. Wenn ${}F$ kein Vielfaches von ${}X_{n}$ ist und ${}{\tilde {F}}$ irreduzibel ist, so ist auch ${}F$ irreduzibel.

Aufgabe

Es sei ${}F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein irreduzibles homogenes Polynom ${}\neq X_{n}$ und es sei ${}{\tilde {F}}$ die Dehomogenisierung von ${}F$ bezüglich der Variablen ${}X_{n}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. ${}K[{\frac {X_{0}}{X_{n}}},{\frac {X_{1}}{X_{n}}},\ldots ,{\frac {X_{n-1}}{X_{n}}}]/({\tilde {F}})$ ist ein Unterring des Quotientenkörpers von ${}K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)$.
2. Der Quotientenkörper zu ${}K[{\frac {X_{0}}{X_{n}}},{\frac {X_{1}}{X_{n}}},\ldots ,{\frac {X_{n-1}}{X_{n}}}]/({\tilde {F}})$ ist ein Unterkörper des Quotientenkörpers von ${}K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)$.
3. Wenn man ${}F$ nach einer anderen Variablen dehomogenisiert (und ${}F$ keine Variable ist), so entsteht in Teil (2) der gleiche Quotientenkörper.

Den gemeinsamen Quotientenkörper der affinen Koordinatenringe nennt man den Funktionenkörper der projektiven Hyperfläche ${}V_{+}(F)$.

Aufgabe

Es sei ${}F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein irreduzibles homogenes Polynom, das keine Variable sei. Es sei ${}P\in V_{+}(F)$ ein Punkt, es sei ${}P\in V_{+}(F)\cap D_{+}(X_{i})$ eine affine Umgebung und sei ${}{\tilde {F}}$ die Dehomogenisierung von ${}F$ bezüglich ${}X_{i}$. Zeige, dass der im affinen Koordinatenring ${}K[{\frac {X_{0}}{X_{i}}},{\frac {X_{0}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{i-1}}{X_{i}}},{\frac {X_{i+1}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{i}}}]/({\tilde {F}})$ gebildete lokale Ring zum Punkt ${}P$ für jedes ${}i$ mit ${}P\in D_{+}(X_{i})$ den gleichen Unterring im Funktionenkörper zu ${}V_{+}(F)$ ergibt.

Aufgabe

Es sei ${}P=(a,b,c)\in V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ ein Punkt einer ebenen projektiven Kurve über einem Körper ${}K$. Zeige, dass man die Glattheit von ${}P$ in einer beliebigen affinen Umgebung ${}D_{+}(X),D_{+}(Y),D_{+}(Z)$ (zu der ${}P$ gehören muss) überprüfen kann.

Aufgabe *

Zeige, dass die ebene projektive Kurve

${}V_{+}{\left(X^{4}+Y^{3}Z+Z^{4}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

glatt ist.

Aufgabe *

Bestimme, ob die ebene projektive Kurve

${}V_{+}{\left(X^{4}+YZ^{3}+Z^{4}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

glatt ist.

Aufgabe

Es sei ${}P=(a,b,c)\in V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ ein glatter Punkt einer ebenen projektiven Kurve über einem Körper ${}K$. Es sei ${}P\in D_{+}(Z)$, also ${}c\neq 0$. Zeige, dass das lineare homogene Polynom

${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)X+{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)Y+{\frac {\partial F}{\partial Z}}(P)Z$

die Homogenisierung des affin-linearen Polynoms ist, das die Tangente in ${}D_{+}(Z)$ beschreibt, vergleiche Bemerkung 2.4.

Aufgabe *

Zeige, dass eine ebene projektive Kurve

${}V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$

über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ genau dann glatt ist, wenn die partiellen Ableitungen

$\left({\frac {\partial F}{\partial X}},\,{\frac {\partial F}{\partial Y}},\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\right)$

in keinem Punkt der Kurve simultan gleich ${}0$ sind.

Aufgabe

Es sei ${}F=G+ZH$ ein homogenes Polynom vom Grad ${}\geq 3$ in drei Variablen mit ${}G,H\in K[X,Y]$, wobei ${}K$ einen Körper bezeichnet. Zeige, dass ${}V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ nicht glatt ist.

Aufgabe

Es sei ${}C\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$ eine glatte Quadrik. Zeige, dass auch der projektive Abschluss

${}{\tilde {C}}\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

glatt ist.

Die Lemniskate von Bernoulli

Aufgabe

Bestimme für die durch ${}V{\left({\left(X^{2}+Y^{2}\right)}^{2}-X^{2}+Y^{2}\right)}$ gegebene Lemniskate von Bernoulli die Singularitäten sowie die unendlich fernen Punkte in ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$. Berechne in all diesen Punkten die Multiplizität und die Tangenten.

Die Tschirnhausen Kubik

Aufgabe

Bestimme für die durch ${}V{\left(X^{3}+3X^{2}-Y^{2}\right)}$ gegebene Tschirnhausen Kubik die Singularitäten unter Berücksichtigung der unendlich fernen Punkte. Bestimme die Tangenten in den Singularitäten und in den unendlich fernen Punkten.

Aufgabe

Bestimme für das durch ${}V{\left(X^{3}+Y^{3}-3XY\right)}$ definierte Kartesische Blatt die unendlich fernen Punkte in ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ und berechne die Multiplizität und die Tangenten in diesen Punkten.

Aufgabe *

Wir betrachten die ebene affine Kurve

${}C=V(X^{2}Y^{4}+X^{4}Y^{2}+X+X^{4}+Y+Y^{4})\,$

über ${}K=\mathbb {Z} /(2)$ und die durch die Homogenisierung gegebene projektive Kurve

${}D=V_{+}(X^{2}Y^{4}+X^{4}Y^{2}+XZ^{5}+X^{4}Z^{2}+YZ^{5}+Y^{4}Z^{2})\,$

1. Zeige, dass ${}C$ glatt ist.
2. Man folgere, dass das Polynom ${}X^{2}Y^{4}+X^{4}Y^{2}+X+X^{4}+Y+Y^{4}$ irreduzibel ist.
3. Zeige, dass jeder Punkt aus ${}K^{2}$ zu ${}C$ gehört.
4. Zeige, dass jeder ${}K$-Punkt aus ${}{\mathbb {P} }_{K}^{2}$ zu ${}D$ gehört.
5. Zeige, dass ${}D$ nicht glatt ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die kubische projektive Kurve

${}V_{+}(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+XY^{2}+YZ^{2}+ZX^{2}+XYZ)\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {Z} /(2)}^{2}\,$

über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(2)$.

1. Zeige, dass die Kurve keine ${}\mathbb {Z} /(2)$-Punkte besitzt.
2. Zeige, dass die Kurve nicht glatt ist.
3. Bestimme einen Erweiterungskörper

   ${}\mathbb {Z} /(2)\subseteq {\mathbb {F} }_{2^{k}}\,,$

   über dem die Kurve einen singulären Punkt besitzt.

Die folgende Aufgabe beschreibt eine weitere wichtige Charakterisierung von kongruenten Zahlen.

Aufgabe *

Es sei ${}n\geq 1$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass ${}n$ genau dann eine kongruente Zahl ist, wenn es eine rationale Zahl ${}q$ derart gibt, dass die drei Zahlen ${}q-n,q,q+n$ Quadrate in ${}\mathbb {Q}$ sind.

Aufgabe *

Finde drei Quadratzahlen

${}u^{2}<v^{2}<w^{2}\,$

derart, dass der Abstand von ${}u^{2}$ zu ${}v^{2}$ gleich dem Abstand von ${}v^{2}$ zu ${}w^{2}$ ist.

In der folgenden Aufgabe wird unter Verwendung von Satz 10.8 (Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)) bewiesen, dass ${}2$ keine kongruente Zahl ist.

Aufgabe *

Zeige, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich ${}2$ ist.

Aufgabe

Finde ausgehend vom pythagoreischen Tripel ${}(5,12,13)$ mit Lemma 4.13 einen Punkt auf der durch ${}Y^{2}=X^{3}-900X$ gegebenen elliptischen Kurve