Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 3

Aufgaben

Aufgabe

Definiere eine Äquivalenzrelation auf der Menge ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}$ derart, dass der Quotient unter der Äquivalenzrelation der projektive ${}n$-dimensionale Raum ist.

Aufgabe

Es seien ${}H=V_{+}(X)$ und ${}D=V_{+}(Y)$ Geraden in der projektiven Ebene ${}{\mathbb {P} }_{K}^{2}$ mit dem einzigen Schnittpunkt ${}H\cap D=\{(0,0,1)\}$. Es seien ${}P,P'\notin D$ verschiedene Punkte. Finde ein homogenes Polynom ${}F\in K[X,Y,Z]$ mit ${}V_{+}(F)\cap D=H\cap D$, ${}P\in V_{+}(F)$ und ${}P'\notin V_{+}(F)$.

Aufgabe

Es seien ${}P=\left(a_{0},\,\ldots ,\,a_{n}\right)$ und ${}Q=\left(b_{0},\,\ldots ,\,b_{n}\right)$ Punkte im projektiven Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ über einem Körper ${}K$. Zeige, dass ${}P=Q$ genau dann gilt, wenn ${}a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}=0$ für alle ${}i,j$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}P=\left(a_{0},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ein Punkt im projektiven Raum. Zeige, dass es eine offene affine Umgebung ${}U\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ derart gibt, dass ${}P$ in diesem affinen Raum dem Nullpunkt entspricht.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Raum der Dimension ${}n$ über dem Körper ${}K$ und seien

${}D_{+}(X_{i})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},D_{+}(X_{j})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}\,$

zwei affine offene Teilmengen. Beschreibe die (nicht überall definierte) Übergangsabbildung von ${}D_{+}(X_{i})$ nach ${}D_{+}(X_{j})$.

Aufgabe

Man definiere den Begriff projektiv-linearer Unterraum eines projektiven Raumes ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}{\mathbb {P} }_{K}^{2}$ die projektive Ebene über ${}K$. Zeige, dass zwei projektive Geraden ${}L,M\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ stets einen nichtleeren Durchschnitt besitzen.

Aufgabe *

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden

${}L=V_{+}(6X-8Y+3Z)\,$

und

${}M=V_{+}(2X+9Y-5Z)\,$

in der projektiven Ebene.

Aufgabe

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden

${}L=V_{+}(7X-7Y+6Z)\,$

und

${}M=V_{+}(8X+Y-4Z)\,$

in der projektiven Ebene.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge aller Geraden in der projektiven Ebene selbst eine projektive Ebene bilden.

Aufgabe

Es sei ${}K={\mathbb {F} }_{q}$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen. Berechne auf zwei verschiedene Arten, wie viele Elemente der projektive Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Ideal. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}$ genau dann ein homogenes Ideal ist, wenn es von homogenen Elementen erzeugt wird.

Aufgabe

Skizziere die projektive Nullstellenmenge

${}V_{+}(XYZ)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,.$

Aufgabe

Zeige, dass zwei verschiedene Punkte ${}P$ und ${}Q$ in der projektiven Ebene eindeutig eine projektive Gerade definieren, auf der beide Punkte liegen. Wie berechnet man die Geradengleichung aus den Koordinaten der Punkte?

Bestimme die homogene Geradengleichung für die beiden Punkte ${}(2,3,7)$ und ${}(1,5,-2)$.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ein projektiver Raum der Dimension ${}n$ und es seien ${}X,Y\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ projektiv-lineare Unterräume der Dimension ${}r$ und ${}s$. Es sei ${}r+s\geq n$. Zeige, dass dann ${}X\cap Y\neq \emptyset$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Raum. Charakterisiere die homogenen Ideale ${}{\mathfrak {a}}$, für die ${}D_{+}({\mathfrak {a}})=\emptyset$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper. Zeige, dass der projektive Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ irreduzibel ist.

Aufgabe

Es sei

${}Q=V{\left(X_{0}^{2}+X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}-1\right)}\subset {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n+1}}\,$

und betrachte die Gesamtabbildung

$\varphi :Q\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{n},$

wobei hinten die Kegelabbildung steht. Ist ${}\varphi$ surjektiv? Wie verhält sich ${}\varphi$ zur Einschränkung der Kegelabbildung auf die reell ${}2n+1$-dimensionale Sphäre ${}S^{2n+1}\subset \mathbb {R} ^{2n+2}\cong {\mathbb {C} }^{n+1}$?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und sei ${}P_{1},\ldots ,P_{m}$ eine endliche Ansammlung von Punkten in einem projektiven Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$. Zeige: Dann gibt es eine homogene Linearform ${}L\in K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ derart, dass all diese Punkte auf der durch ${}L$ definierten offenen Teilmenge ${}D_{+}(L)$ liegen.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Raum der Dimension ${}n$ über dem Körper ${}K$ und sei ${}P=\left(a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ein Punkt davon mit ${}a_{i},a_{j}\neq 0$, also ${}P\in D_{+}(X_{i})\cap D_{+}(X_{j})$. Die affinen Koordinaten des Punktes in ${}D_{+}(X_{i})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ sind ${}\left({\frac {a_{0}}{a_{i}}},\,{\frac {a_{1}}{a_{i}}},\,\ldots ,\,{\frac {a_{i-1}}{a_{i}}},\,{\frac {a_{i+1}}{a_{i}}},\,\ldots ,\,{\frac {a_{n}}{a_{i}}}\right)$ und die affinen Koordinaten des Punktes in ${}D_{+}(X_{j})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ sind ${}\left({\frac {a_{0}}{a_{j}}},\,{\frac {a_{1}}{a_{j}}},\,\ldots ,\,{\frac {a_{j-1}}{a_{j}}},\,{\frac {a_{j+1}}{a_{j}}},\,\ldots ,\,{\frac {a_{n}}{a_{j}}}\right)$. Wir setzen den Polynomring zu ${}D_{+}(X_{i})$ als ${}S_{i}=K[{\frac {X_{0}}{X_{i}}},{\frac {X_{1}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{i-1}}{X_{i}}},{\frac {X_{i+1}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{i}}}]$ (als Unterring des rationalen Funktionenkörpers ${}K(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n})$) und entsprechend den Polynomring zu ${}D_{+}(X_{j})$ als

${}S_{j}=K[{\frac {X_{0}}{X_{j}}},{\frac {X_{1}}{X_{j}}},\ldots ,{\frac {X_{j-1}}{X_{j}}},{\frac {X_{j+1}}{X_{j}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{j}}}]\,$

an. Zeige, dass der lokale Ring von ${}P$ in ${}D_{+}(X_{i})$ mit dem lokalen Ring von ${}P$ in ${}D_{+}(X_{j})$ als Unterring von ${}K(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n})$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der zugehörige projektive Raum. Es sei ${}\varphi \colon K^{n+1}\rightarrow K^{n+1}$ eine bijektive lineare Abbildung.

1. Zeige, dass ${}\varphi$ einen Automorphismus

   $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{n}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n},\,\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \varphi \left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right),$

   induziert.

2. Bestimme das Urbild von ${}D_{+}(X_{i})$ in der in (1) beschriebenen Situation. Wie sieht der Morphismus für diese affinen Mengen aus?
3. Zeige, dass ${}\varphi _{1}$ und ${}\varphi _{2}$ genau dann den gleichen Automorphismus auf dem projektiven Raum induzieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ${}\neq 0$ ineinander überführbar sind.
4. Induziert jede lineare Abbildung ${}\varphi \colon K^{n+1}\rightarrow K^{n+1}$ einen Morphismus ${}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{n}\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$?

Unter einem solchen Automorphismus wird jede projektive Varietät ${}V\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ isomorph auf sein Bild abgebildet, die homogenen Gleichungen transformieren sich entsprechend der affinen Situation. Dadurch kann man häufig die beschreibenden Gleichungen einer Situation vereinfachen, man spicht von einem projektiv-linearen Koordinatenwechsel. Die vorstehende Aufgabe gibt Anlass zur folgenden Definition.

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Die Restklassengruppe

$\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}/{\left(K^{\times }\cdot \operatorname {Id} \cap \operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}\right)}$

heißt projektive spezielle lineare Gruppe. Sie wird mit

$\operatorname {PSL} _{n}\!{\left(K\right)}$

bezeichnet.

Aufgabe

Es seien ${}P,Q\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ Punkte im projektiven Raum über einem Körper ${}K$. Zeige, dass es einen Automorphismus ${}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{n}\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ mit ${}\varphi (P)=Q$ gibt.

Aufgabe

Es seien ${}P_{1},P_{2},P_{3}\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ und ${}Q_{1},Q_{2},Q_{3}\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ jeweils drei (untereinander verschiedene) Punkte auf der projektiven Geraden über einem Körper ${}K$. Zeige, dass es einen ${}K$- Automorphismus ${}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ mit ${}\varphi (P_{i})=Q_{i}$ für ${}i=1,2,3$ gibt.

Aufgabe *

Bestimme die Fixpunkte der Abbildung

${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(s,t)\longmapsto (t,s).$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der zugehörige projektive Raum. Es sei ${}\varphi \colon K^{n+1}\rightarrow K^{n+1}$ eine bijektive lineare Abbildung und

$\psi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{n}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n},\,\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \psi \left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right),$

der zugehörige Automorphismus. Zeige, dass ein Vektor ${}v\in K^{n+1}$ genau dann ein Eigenvektor zu ${}\varphi$ ist, wenn der zugehörige Punkt im projektiven Raum ein Fixpunkt von ${}\psi$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ oder ${}={\mathbb {C} }$. Es sei ${}H\subset {\mathbb {K} }^{n+1}$ ein ${}n$-dimensionaler affiner Unterraum, der den Nullpunkt nicht enthält, und es sei ${}{\tilde {H}}$ der dazu parallele Unterraum durch den Nullpunkt. Es sei ${}U\subseteq H$ eine in ${}H\cong {\mathbb {K} }^{n}$ offene Menge (in der metrischen Topologie) und es sei ${}V$ die Vereinigung aller Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt von ${}U$. Zeige, dass der Durchschnitt von ${}V$ mit ${}{\mathbb {K} }^{n+1}\setminus {\tilde {H}}$ offen ist.