Affin-algebraische Menge/Punkt/Affiner Koordinatenring/Lokalisierung/Definition

Lokaler Ring (Varietät)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Teilmenge mit affinem Koordinatenring ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,{\left(V\right)}$. Es sei ${}P\in V$ ein Punkt mit zugehörigem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}_{P}\subseteq R$. Dann nennt man die Lokalisierung ${}R_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ den lokalen Ring von ${}V$ im Punkt ${}P$. Er wird mit ${}{\mathcal {O}}_{V,P}$ bezeichnet.