Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung
Anwendung Bearbeiten
Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, auch bekannt als Cauchy-Bunjakowski-Schwarz-Ungleichung, ist eine Ungleichung, die in vielen Bereichen der Mathematik verwendet wird, z. B. in der Linearen Algebra (Vektoren), in der Analysis (unendliche Reihen), in der Wahrscheinlichkeitstheorie sowie bei der Integration von Produkten. Außerdem spielt sie in der Quantenmechanik eine wichtige Rolle, wie etwa beim Beweis der Heisenbergschen Unschärferelation.
Namensgebung Bearbeiten
Benannt ist die Ungleichung nach den Mathematikern Augustin-Louis Cauchy, Hermann Amandus Schwarz und Wiktor Jakowlewitsch Bunjakowski.
Allgemeiner Fall CS-UG Bearbeiten
Sei ein (Prä-)Hilbert-Raum. Wenn und Elemente eines reellen oder komplexen Prähilbertraum sind, dann gilt für das Skalarprodukt die Beziehung
Gleichheit gilt genau dann, wenn und linear abhängig sind.
Beweis Bearbeiten
Der Beweis der Cauchy-Schwarz-Ungleichung wird im komplexen Fall geführt. Dafür betrachten wir beliebige und ein beliebiges und berechnen mit den Eigenschaften des Skalarproduktes die folgende Ungleichung.
Beweis 1 - Abschätzung nach oben mit Norm Bearbeiten
Das Skalarprodukt ist hermitesch und unter Verwendung der Semilinearität in der 1. und der Lineariät in der 2. Komponente erhält man:
Beweis 2 - Fallunterscheidung Bearbeiten
Für die folgenden Beweisschritt erfolgt eine Fallunterscheidung für
- und
- und
Beweis 2.1 - Fallunterscheidung Bearbeiten
Für folgt unmittelbar
Dabei wurde die Linearität in der zweiten Komponente und verwendet.
Beweis 2.2 - Fallunterscheidung Bearbeiten
Sei und mit (1) erhalten wir folgende Ungleichung:
wobei diese Gleichung für beliebige und ein beliebiges gilt. Wählen nun ein spezielle mit .
Beweis 2.3 - Ungleichung für definiertes Lambda Bearbeiten
Dabei wurde verwendet, dass für beliebige gilt.
Beweis 2.4 - Umformung zur CS-UG Bearbeiten
Wegen bleibt bei Multiplikation mit die Ungleichung erhalten und man erhält aus:
die Ungleichung und damit auch die Behauptung:
Beweis 3 - Reeller Fall CS-UG Bearbeiten
Im reellen Fall gilt ferner:
Für (Prä-)Hilberträume über müssen die Beträge bestehen bleiben, da kein vollständig geordneter Körper ist und nicht notwendig reellwertig ist. q.e.d
Bemerkung: Semilinearität - Linearität Bearbeiten
Die Festlegung, ob ein Skalarprodukt in der ersten oder zweiten Komponente semilinear oder linear ist, ist reine Konvention. Wenn man für die erste Komponente die Linearität und in der zweiten Komponente die Seminlinearität festlegt, dann verändert sich die Beweisführung ein wenig. Bei der CS-UG müsste man dann mit wie folgt definieren:
Äquivalente Formulierung Bearbeiten
Zu der Cauchy-Schwarz-Ungleichung
gibt es äquivalente Fomrulierungen. Diese werden im Folgenden genannt.
Äquivalente Formulierung 1 Bearbeiten
Äquivalente Formulierungen erhält man unter Verwendung der von dem Skalarprodukt induzierten Norm :
Äquivalente Formulierung 2 Bearbeiten
Sei ein Hilbertraum über :
Im reellen Fall kann man auf die Betragsstriche verzichten:
- .
Im komplexen Fall müssen die Beträge verwendet werden, da keine vollständige Ordnung besitzt.
Spezialfälle Bearbeiten
Auf den Raum mit dem Standardskalarprodukt angewandt, erhält man:
Im Fall quadratisch integrierbarer komplexwertiger Funktionen erhält man:
Wahrscheinlichkeitstheorie - Erwartungswert Bearbeiten
Sei ein Zufallsexperiment für und zwei quadratisch integrierbare Zufallsvariablen. Dann gilt für den Erwartungswert folgende Ungleichung:
Zusammenhang Hölder-Ungleichung Bearbeiten
Diese Ungleichungen werden durch die Hölder-Ungleichung verallgemeinert.
Quadratische Matrizen Bearbeiten
Auf quadratische Matrizen angewandt, erhält man für die Spur:
Über den reellen Zahlen ist die oben definierte Abbildung positiv-semidefinit. Die positive Definitheit wird aber im Beweis der Hölderungleichung und der Cauchy-Schwarz-Ungöleichung nicht benötigt.
Reeller 3D-Raum Bearbeiten
Im lässt sich die Aussage der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung in Form einer Gleichung präzisieren:
Der Summand ist stets nicht-negativ. Er ist genau dann Null, wenn und linear abhängig sind.
Geschichte Bearbeiten
Benannt ist die Ungleichung nach Augustin Louis Cauchy, Wiktor Jakowlewitsch Bunjakowski und Hermann Amandus Schwarz. Bei Cauchy findet sich die Summenform der Ungleichung in seiner Analyse algébrique (1821).[1]
Integralform der CS-UG Bearbeiten
Die Integralform der Ungleichung wurde historisch erstmals 1859 von Bunjakowski in einer Arbeit über Ungleichungen zwischen Integralen veröffentlicht; Schwarz veröffentlichte seine Arbeit erst 1884 ohne Bezugnahme auf die Arbeit von Bunjakowski.
Diskreter Fall der CS-UG Bearbeiten
Entsprechend dieser Entwicklung findet sich teilweise auch nur die Benennung als Cauchy-Ungleichung für den diskreten, endlichen Fall und als Bunjakowski-Ungleichung[2] oder Schwarzsche Ungleichung[3] im Integral-Fall.
Anwendungen Bearbeiten
In einem Vektorraum mit innerem Produkt lässt sich aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung die Dreiecksungleichung für die induzierte Norm
ableiten, und damit in weiterer Folge zeigen, dass eine so definierte Norm die Normaxiome erfüllt.
Eine weitere Folgerung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist, dass das innere Produkt eine stetige Funktion ist.
Winkel zwischen Vektoren Bearbeiten
Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung stellt sicher, dass im Ausdruck
der Betrag des Bruches stets kleiner oder gleich eins ist, sodass also wohldefiniert ist und damit der Winkel auf beliebigen Räumen mit innerem Produkt verallgemeinert werden kann. ist mit allerdings betragsmäßig unbeschränkte als holomorphe Funktion.
Anwendungen in der Physik Bearbeiten
In der Physik wird die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung bei der Herleitung der Heisenbergschen Unschärferelation verwendet.
Beweis der Ungleichung Bearbeiten
Ist einer der Vektoren der Nullvektor, so ist die Cauchy-Schwarz-Ungleichung trivialerweise erfüllt. In den folgenden Beweisen wird daher teils ohne besonderen Hinweis und vorausgesetzt.
Spezialfall reelles Standardskalarprodukt Bearbeiten
Beweis aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel Bearbeiten
Ein Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung kann beispielsweise mit Hilfe der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel erfolgen:
Definiert man für die Werte
- und
so ergibt sich aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel die Beziehung
Daraus folgt unmittelbar die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.
Beweis aus der Umordnungs-Ungleichung 1 Bearbeiten
Ein anderer Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ergibt sich aus der Umordnungs-Ungleichung. Setzt man
- und
sowie und so gilt
Beweis aus der Umordnungs-Ungleichung 2 Bearbeiten
Wegen der Umordnungs-Ungleichung ist nun
Zusammengefasst erhält man also
Daraus ergibt sich die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.
Allgemeines Skalarprodukt Bearbeiten
Die oben angegebenen Beweise beweisen nur den Spezialfall der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung für das Standardskalarprodukt im . Der Beweis für den allgemeinen Fall des Skalarprodukts in einem Vektorraum mit innerem Produkt im Beweis angegeben.
Reeller Fall 1 Bearbeiten
Unter der Voraussetzung gilt . Für jedes gilt
Wählt man nun speziell so ergibt sich
Reeller Fall 2 Bearbeiten
Also erhält man durch Umformung die Ungleichung:
Ziehen der Quadratwurzel ergibt nun genau die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
Semi-Skalarprodukt Bearbeiten
Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung benötigt an keiner Stelle im Beweis die Positivität, d.h.
Daher kann man die gesamte Beweisstruktur auf Semi-Skalarprodukte übertragen.
Verallgemeinerung für positiv semidefinite, symmetrische Bilinearformen Bearbeiten
Man kann den Beweis des Satzes so umformulieren, dass die positive Definitheit des Skalarprodukts nicht verwendet wird. Damit gilt die Aussage auch für jede positiv semidefinite, symmetrische Bilinearform (beziehungsweise hermitesche Sesquilinearform) .
Beweis für den reellen Fall 1 Bearbeiten
Man wählt denselben Ansatz, wie im Beweis, der das Skalarprodukt verwendet, trifft hier aber die Wahl
Beweis für den reellen Fall 2 Bearbeiten
Damit muss man nicht mehr fordern, dass nicht 0 ist. Das ergibt
Beweis für den reellen Fall 3 Bearbeiten
Ähnlich wie im obigen Beweis folgert man
und die Behauptung ist gezeigt, wenn gegen 0 konvergiert. Für folgt .
Bedingungen für die Gleichheit 1 Bearbeiten
Auch hier ist die Situation denkbar, dass aus der Ungleichung eine Gleichheit wird, zum Beispiel wenn (wie beim Skalarprodukt) linear abhängig sind. Allerdings sind auch Fälle denkbar, wo die Gleichheit eintritt, ohne dass eine lineare Abhängigkeit vorliegt. Man betrachte etwa eine entartete Bilinearform . Dann gibt es ein , so dass für alle des Vektorraums ist.
Bedingungen für die Gleichheit 2 Bearbeiten
Sei nun aus dem Vektorraum beliebig. Man erhält dann
und
also
auch für den Fall, dass und linear unabhängig sind.
Siehe auch Bearbeiten
Weblinks Bearbeiten
Wikibooks: Beweis der Cauchy-Schwarz-Ungleichung – Lern- und Lehrmaterialien
Literatur Bearbeiten
- Peter Schreiber: The Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality. In: Hermann Grassmann, Werk und Wirkung. Internationale Fachtagung anläßlich des 150. Jahrestages des ersten Erscheinens der „linearen Ausdehnungslehre“. Universität Greifswald, 1995, S. 64–70.
Quellen Bearbeiten
- ↑ Augustin-Louis Cauchy: Analyse algébrique. 1821, bpt6k29058v, S. 455 f. (Gallica). }}
- ↑ V.I. Bityutskov, Bunyakovskii inequality, URL: https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Bunyakovskii_inequality
- ↑ MathWorld-Online-Enzyklopädie SchwarzsInequality, Title: Schwarz's Inequality
Seiteninformation Bearbeiten
Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.
Wiki2Reveal Bearbeiten
Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Funktionalanalysis' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.
- Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
- Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung
- siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.
Wikipedia2Wikiversity Bearbeiten
Diese Seite wurde auf Basis der folgenden Wikipedia-Quelle erstellt: