Bearbeiten
Gegeben sei ein Prähilbertraum
(
V
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
v
,
w
∈
K
n
{\displaystyle v,w\in {\mathbb {K} ^{n}}}
K
=
R
,
C
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }
Für
p
∈
[
1
,
∞
)
{\displaystyle p\in [1,\infty )}
‖
v
‖
p
=
(
∑
k
=
1
n
|
v
k
|
p
)
1
p
{\displaystyle \|v\|_{p}=\left(\sum _{k=1}^{n}|v_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}
Die Hölder-Ungleichung lautet dann: für
1
≤
p
,
q
≤
∞
{\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }
1
p
+
1
q
=
1
{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}
1
∞
=
0
{\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}=0}
|
⟨
v
,
w
⟩
|
≤
∑
k
=
1
n
|
v
k
⋅
w
k
|
≤
‖
v
‖
p
⋅
‖
w
‖
q
{\displaystyle |\langle v,w\rangle |\leq \sum _{k=1}^{n}|v_{k}\cdot w_{k}|\leq \|v\|_{p}\cdot \|w\|_{q}}
Gegeben sei ein Prähilbertraum
(
V
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
v
,
w
∈
K
N
{\displaystyle v,w\in {\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}}
K
=
R
,
C
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }
Für
p
∈
[
1
,
∞
)
{\displaystyle p\in [1,\infty )}
‖
v
‖
p
=
(
∑
k
=
0
∞
|
v
k
|
p
)
1
p
{\displaystyle \|v\|_{p}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }|v_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}
Die Hölder-Ungleichung lautet dann: für
1
≤
p
,
q
≤
∞
{\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }
1
p
+
1
q
=
1
{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}
1
∞
=
0
{\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}=0}
|
⟨
v
,
w
⟩
|
≤
∑
k
=
0
∞
|
v
k
⋅
w
k
|
≤
‖
v
‖
p
⋅
‖
w
‖
q
{\displaystyle |\langle v,w\rangle |\leq \sum _{k=0}^{\infty }|v_{k}\cdot w_{k}|\leq \|v\|_{p}\cdot \|w\|_{q}}
Bearbeiten
Seien
1
<
p
,
q
<
∞
{\displaystyle 1<p,q<\infty }
‖
f
‖
p
>
0
{\displaystyle \|f\|_{p}>0}
‖
g
‖
q
>
0
{\displaystyle \|g\|_{q}>0}
youngschen Ungleichung gilt:
A
B
≤
A
p
p
+
B
q
q
{\displaystyle AB\leq {\frac {A^{p}}{p}}+{\frac {B^{q}}{q}}}
für alle
A
,
B
≥
0
{\displaystyle A,B\geq 0}
A
:=
|
v
k
|
‖
v
‖
p
,
B
:=
|
w
k
|
‖
w
‖
q
{\displaystyle A:={\tfrac {|v_{k}|}{\|v\|_{p}}},\,B:={\tfrac {|w_{k}|}{\|w\|_{q}}}}
Bearbeiten
Summation liefert mit der youngschen Ungleichung
1
‖
v
‖
p
‖
w
‖
q
∑
k
=
0
∞
|
v
k
⋅
w
k
|
=
∑
k
=
0
∞
|
v
k
|
⋅
|
w
k
|
‖
v
‖
p
⋅
‖
w
‖
q
≤
∑
k
=
0
∞
1
p
|
v
k
|
p
‖
v
‖
p
p
+
1
q
|
w
k
|
q
‖
w
‖
q
q
=
1
p
∑
k
=
0
∞
|
v
k
|
p
‖
v
‖
p
p
+
1
q
∑
k
=
0
∞
|
w
k
|
q
‖
w
‖
q
q
=
1
p
+
1
q
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\|v\|_{p}\|w\|_{q}}}\sum _{k=0}^{\infty }|v_{k}\cdot w_{k}|&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|v_{k}|\cdot |w_{k}|}{\|v\|_{p}\cdot \|w\|_{q}}}\\&\leq \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{p}}{\frac {|v_{k}|^{p}}{\|v\|_{p}^{p}}}+{\frac {1}{q}}{\frac {|w_{k}|^{q}}{\|w\|_{q}^{q}}}\\&={\frac {1}{p}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|v_{k}|^{p}}{\|v\|_{p}^{p}}}+{\frac {1}{q}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|w_{k}|^{q}}{\|w\|_{q}^{q}}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\\\end{aligned}}}
Durch Multiplikation mit der p-Norm bzw. q-Norm erhält man die höldersche Ungleichung für Folgenräume.
Gegeben sei ein Maßraum
(
X
,
A
,
μ
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}
messbare Funktionen
f
,
g
:
X
→
R
¯
{\displaystyle f,g\colon X\to {\overline {\mathbb {R} }}}
Für
p
∈
[
1
,
∞
)
{\displaystyle p\in [1,\infty )}
∞
p
=
∞
1
p
=
∞
{\displaystyle \infty ^{p}=\infty ^{\frac {1}{p}}=\infty }
H
p
(
f
)
=
(
∫
X
|
f
|
p
d
μ
)
1
p
{\displaystyle H_{p}(f)=\left(\int _{X}|f|^{p}\mathrm {d} \mu \right)^{\tfrac {1}{p}}}
und
H
∞
(
f
)
=
e
s
s
sup
x
∈
X
|
f
(
x
)
|
=
inf
N
⊂
X
,
μ
(
N
)
=
0
sup
x
∈
X
∖
N
|
f
(
x
)
|
{\displaystyle H_{\infty }(f)=\mathrm {ess} \sup _{x\in X}|f(x)|=\inf _{N\subset X,\mu (N)=0}\sup _{x\in X\setminus N}|f(x)|}
das wesentliche Supremum . Die Hölder-Ungleichung lautet dann: für
1
≤
p
,
q
≤
∞
{\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }
1
p
+
1
q
=
1
{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}
1
∞
=
0
{\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}=0}
H
1
(
f
g
)
≤
H
p
(
f
)
⋅
H
q
(
g
)
{\displaystyle H_{1}(fg)\leq H_{p}(f)\cdot H_{q}(g)}
Man bezeichnet
q
{\displaystyle q}
p
{\displaystyle p}
konjugierten Hölder-Exponenten
L
p
(
X
,
A
,
μ
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}
p
{\displaystyle p}
Lp-Raum ) und ist
‖
⋅
‖
p
{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
Lp-Norm , so gilt für
f
∈
L
p
(
X
,
A
,
μ
)
,
g
∈
L
q
(
X
,
A
,
μ
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu ),g\in {\mathcal {L}}^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu )}
‖
f
g
‖
1
≤
‖
f
‖
p
⋅
‖
g
‖
q
{\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\cdot \|g\|_{q}}
Wählt man als Maßraum
(
[
a
,
b
]
,
B
(
[
a
,
b
]
)
,
λ
)
{\displaystyle ([a,b],{\mathcal {B}}([a,b]),\lambda )}
f
,
g
∈
L
2
(
[
a
,
b
]
,
B
(
[
a
,
b
]
)
,
λ
)
{\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{2}([a,b],{\mathcal {B}}([a,b]),\lambda )}
p
=
q
=
2
{\displaystyle p=q=2}
∫
a
b
|
f
g
|
d
λ
≤
(
∫
a
b
|
f
|
2
d
λ
)
1
2
⋅
(
∫
a
b
|
g
|
2
d
λ
)
1
2
{\displaystyle \int _{a}^{b}|fg|\mathrm {d} \lambda \leq \left(\int _{a}^{b}|f|^{2}\mathrm {d} \lambda \right)^{\tfrac {1}{2}}\cdot \left(\int _{a}^{b}|g|^{2}\mathrm {d} \lambda \right)^{\tfrac {1}{2}}}
Dies ist genau die Schwarzsche Ungleichung beziehungsweise die Integralformulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.
Wählt man als Maßraum die endliche Menge
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}
Zählmaß , so erhält man als Spezialfall die Ungleichung
∑
k
=
1
n
|
x
k
y
k
|
≤
(
∑
k
=
1
n
|
x
k
|
p
)
1
/
p
(
∑
k
=
1
n
|
y
k
|
q
)
1
/
q
,
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q},}
gültig für alle reellen (oder komplexen) Zahlen
x
1
,
…
,
x
n
,
y
1
,
…
,
y
n
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}}
p
=
q
=
2
{\displaystyle p=q=2}
Cauchy-Ungleichung (beziehungsweise die diskrete Formulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung)
|
⟨
x
,
y
⟩
|
≤
‖
x
‖
2
⋅
‖
y
‖
2
{\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|_{2}\cdot \|y\|_{2}}
Wählt man als Grundmenge des Maßraumes die natürlichen Zahlen
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
∑
k
=
1
∞
|
a
k
b
k
|
≤
(
∑
k
=
1
∞
|
a
k
|
p
)
1
/
p
(
∑
k
=
1
∞
|
b
k
|
q
)
1
/
q
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}b_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{\infty }|b_{k}|^{q}\right)^{1/q}}
für reelle oder komplexe Folgen
(
a
k
)
k
∈
N
,
(
b
k
)
k
∈
N
{\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} },(b_{k})_{k\in \mathbb {N} }}
q
=
∞
{\displaystyle q=\infty }
∑
k
=
1
∞
|
a
k
b
k
|
≤
(
∑
k
=
1
∞
|
a
k
|
)
⋅
sup
k
∈
N
|
b
k
|
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}b_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|\right)\cdot \sup _{k\in \mathbb {N} }|b_{k}|}
Es seien
p
j
∈
[
1
,
∞
]
,
j
=
1
,
…
,
m
{\displaystyle p_{j}\in [1,\infty ],j=1,\ldots ,m}
1
r
:=
∑
j
=
1
m
1
p
j
{\displaystyle \textstyle {\frac {1}{r}}:=\sum _{j=1}^{m}{\frac {1}{p_{j}}}}
f
j
∈
L
p
j
(
S
)
{\displaystyle f_{j}\in L^{p_{j}}(S)}
j
=
1
,
…
,
m
{\displaystyle j=1,\ldots ,m}
Dann folgt
∏
j
=
1
m
f
j
∈
L
r
(
S
)
{\displaystyle \prod _{j=1}^{m}f_{j}\in L^{r}(S)}
und es gilt die Abschätzung
‖
∏
j
=
1
m
f
j
‖
r
≤
∏
j
=
1
m
‖
f
j
‖
p
j
.
{\displaystyle \left\|\prod _{j=1}^{m}f_{j}\right\|_{r}\leq \prod _{j=1}^{m}\left\|f_{j}\right\|_{p_{j}}.}
Als Korollar dieser Verallgemeinerung ergibt sich der folgende Satz.
Falls
(
a
i
,
j
)
i
∈
{
1
,
2
,
…
,
n
}
,
j
∈
{
1
,
2
,
…
,
m
}
{\displaystyle (a_{i,j})_{i\in \{1,2,\dots ,n\},j\in \{1,2,\dots ,m\}}}
m
{\displaystyle m}
(
λ
j
)
j
∈
{
1
,
…
,
m
}
{\displaystyle (\lambda _{j})_{j\in \{1,\dots ,m\}}}
∑
j
=
1
m
λ
j
=
1
{\displaystyle \sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}=1}
∑
i
=
1
n
∏
j
=
1
m
a
i
,
j
λ
j
≤
∏
j
=
1
m
(
∑
i
=
1
n
a
i
,
j
)
λ
j
.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}a_{i,j}^{\lambda _{j}}\leq \prod _{j=1}^{m}\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\right)^{\lambda _{j}}.}
Es sei
g
(
x
)
≠
0
{\displaystyle g(x)\neq 0}
x
∈
S
{\displaystyle x\in S}
Dann gilt für alle
r
>
1
{\displaystyle r>1}
umgekehrte höldersche Ungleichung
∫
S
|
f
(
x
)
g
(
x
)
|
d
x
≥
(
∫
S
|
f
(
x
)
|
1
r
d
x
)
r
(
∫
S
|
g
(
x
)
|
−
1
r
−
1
d
x
)
−
(
r
−
1
)
.
{\displaystyle \int _{S}|f(x)g(x)|dx\geq \left(\int _{S}|f(x)|^{\frac {1}{r}}dx\right)^{r}\left(\int _{S}|g(x)|^{-{\frac {1}{r-1}}}dx\right)^{-(r-1)}.}
Für
p
=
1
,
q
=
∞
{\displaystyle p=1,q=\infty }
1
<
p
,
q
<
∞
{\displaystyle 1<p,q<\infty }
‖
f
‖
p
>
0
{\displaystyle \|f\|_{p}>0}
‖
g
‖
q
>
0
{\displaystyle \|g\|_{q}>0}
youngschen Ungleichung gilt:
A
B
≤
A
p
p
+
B
q
q
{\displaystyle AB\leq {\frac {A^{p}}{p}}+{\frac {B^{q}}{q}}}
für alle
A
,
B
≥
0
{\displaystyle A,B\geq 0}
A
:=
|
f
(
x
)
|
‖
f
‖
p
,
B
:=
|
g
(
x
)
|
‖
g
‖
q
{\displaystyle A:={\tfrac {|f(x)|}{\|f\|_{p}}},\,B:={\tfrac {|g(x)|}{\|g\|_{q}}}}
1
‖
f
‖
p
‖
g
‖
q
∫
S
|
f
g
|
d
μ
≤
1
p
+
1
q
=
1
,
{\displaystyle {\frac {1}{\|f\|_{p}\|g\|_{q}}}\int _{S}|fg|\mathrm {d} \mu \leq {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,}
was die höldersche Ungleichung impliziert.
Der Beweis wird per vollständiger Induktion über
m
{\displaystyle m}
m
=
1
{\displaystyle m=1}
m
≥
2
{\displaystyle m\geq 2}
p
1
≤
⋯
≤
p
m
{\displaystyle p_{1}\leq \cdots \leq p_{m}}
Fall 1:
p
m
=
∞
.
{\displaystyle p_{m}=\infty .}
1
r
=
∑
j
=
1
m
−
1
1
p
j
.
{\displaystyle \textstyle {\frac {1}{r}}=\sum _{j=1}^{m-1}{\frac {1}{p_{j}}}.}
‖
f
1
⋯
f
m
‖
r
≤
‖
f
m
‖
∞
‖
f
1
⋯
f
m
−
1
‖
r
≤
‖
f
m
‖
∞
‖
f
1
‖
p
1
⋯
‖
f
m
−
1
‖
p
m
−
1
.
{\displaystyle \|f_{1}\cdots f_{m}\|_{r}\leq \|f_{m}\|_{\infty }\|f_{1}\cdots f_{m-1}\|_{r}\leq \|f_{m}\|_{\infty }\|f_{1}\|_{p_{1}}\cdots \|f_{m-1}\|_{p_{m-1}}.}
Fall 2:
p
m
<
∞
{\displaystyle p_{m}<\infty }
p
m
p
m
−
r
,
p
m
r
{\displaystyle {\tfrac {p_{m}}{p_{m}-r}},{\tfrac {p_{m}}{r}}}
∫
S
|
f
1
⋯
f
m
−
1
|
r
|
f
m
|
r
d
μ
≤
(
∫
S
|
f
1
⋯
f
m
−
1
|
r
p
m
p
m
−
r
d
μ
)
p
m
−
r
p
m
(
∫
S
|
f
m
|
p
m
d
μ
)
r
p
m
,
{\displaystyle \int _{S}|f_{1}\cdots f_{m-1}|^{r}|f_{m}|^{r}\mathrm {d} \mu \leq \left(\int _{S}|f_{1}\cdots f_{m-1}|^{\frac {rp_{m}}{p_{m}-r}}\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {p_{m}-r}{p_{m}}}\left(\int _{S}|f_{m}|^{p_{m}}\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {r}{p_{m}}},}
also
‖
f
1
⋯
f
m
‖
r
≤
‖
f
1
⋯
f
m
−
1
‖
r
p
m
p
m
−
r
‖
f
m
‖
p
m
{\displaystyle \textstyle \|f_{1}\cdots f_{m}\|_{r}\leq \|f_{1}\cdots f_{m-1}\|_{\tfrac {rp_{m}}{p_{m}-r}}\|f_{m}\|_{p_{m}}}
∑
j
=
1
m
−
1
1
p
j
=
1
r
−
1
p
m
=
p
m
−
r
r
p
m
{\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{m-1}{\frac {1}{p_{j}}}={\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p_{m}}}={\frac {p_{m}-r}{rp_{m}}}}
Bearbeiten
Die umgekehrte höldersche Ungleichung ergibt sich aus der (üblichen) hölderschen Ungleichung, indem man als Exponenten
p
:=
r
{\displaystyle p:=r}
q
:=
r
′
=
p
p
−
1
{\displaystyle q:=r'={\tfrac {p}{p-1}}}
∫
S
|
f
|
1
r
d
μ
=
∫
S
(
|
f
g
|
1
r
⋅
|
g
|
−
1
r
d
μ
)
≤
(
∫
S
|
f
g
|
d
μ
)
1
r
(
∫
S
|
g
|
−
r
′
r
d
μ
)
1
r
′
.
{\displaystyle \int _{S}|f|^{\frac {1}{r}}\mathrm {d} \mu =\int _{S}\left(|fg|^{\frac {1}{r}}\cdot |g|^{-{\frac {1}{r}}}\mathrm {d} \mu \right)\leq \left(\int _{S}|fg|\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{r}}\left(\int _{S}|g|^{-{\frac {r'}{r}}}\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{r'}}.}
Umstellen und potenzieren dieser Ungleichung mit
r
{\displaystyle r}
![{\displaystyle ([a,b],{\mathcal {B}}([a,b]),\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c2b59b485eb0b1398fb95f3227903c8d73ac2c0)
![{\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{2}([a,b],{\mathcal {B}}([a,b]),\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac32c5185a1c64eb10cfcc3ffb7ce0b5e6e9cb5)
![{\displaystyle p_{j}\in [1,\infty ],j=1,\ldots ,m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11d9f053eeada9bedf8241ee2a0ffb488b5f8ef)
