Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras

Definition: Orthogonalität Bearbeiten

Sei   ein (Prä-)Hilbertraum. Zwei Vektoren   heißen orthogonal, wenn für das Skalarprodukt   gilt. Bezeichnung  

Satz des Pythagoras Bearbeiten

Sei   ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei orthogonale Vektoren   ( ) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras.

 ,

Beweis Bearbeiten

Nutzen Sie die Eigenschaften des Skalarproduktes über  , um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen.

Bemerkung Bearbeiten

Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren   erweitert werden und es gilt dann

 .

Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem Hilbertraum ist die Parsevalsche Gleichung

Vektorraum der stetigen Funktionen Bearbeiten

Mit   und   ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert:

  mit   und   für alle  .

Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes   definert:

  mit   und   für alle  .

Skalarprodukt Bearbeiten

Mit dem Skalarprodukt   ist   ein Prä-Hilbertraum, zeigen Sie, dass der Raum nicht vollständig ist.

Orthogonalität Bearbeiten

Sei  ,   und  . Zeigen Sie, dass die Funktionen   und die Funktion   orthogonal sind, also   gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten   und der Hypotenuse  !

Siehe auch Bearbeiten


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