Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras

Definition: Orthogonalität

Sei $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ ein (Prä-)Hilbertraum. Zwei Vektoren $v,w\in V$ heißen orthogonal, wenn für das Skalarprodukt $\langle v,w\rangle =0$ gilt. Bezeichnung $v\bot w$

Satz des Pythagoras

Sei $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei orthogonale Vektoren $v,w\in V$ ( $v\bot w$ ) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras.

\|v+w\|^{2}=\|v\|^{2}+\|w\|^{2}

,

Beweis

Nutzen Sie die Eigenschaften des Skalarproduktes über $\mathbb {C}$ , um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen.

Bemerkung

Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ erweitert werden und es gilt dann

\|v_{1}+\dotsb +v_{n}\|^{2}=\|v_{1}\|^{2}+\dotsb +\|v_{n}\|^{2}

.

Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem Hilbertraum ist die Parsevalsche Gleichung

Vektorraum der stetigen Funktionen

Mit $V={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {K} )$ und $\mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} )$ ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert:

+:V\times V\to V

mit

(f,g)\mapsto f+g:=h

und

h(x):=f(x)+g(x)

für alle

x\in [a,b]

.

Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes $x\in [a,b]$ definert:

\cdot :\mathbb {K} \times V\to V

mit

(\lambda ,f)\mapsto \lambda \cdot f:=h

und

h(x):=\lambda \cdot f(x)

für alle

x\in [a,b]

.

Skalarprodukt

Mit dem Skalarprodukt $\textstyle \langle f,g\rangle _{V}=\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}\,g(x)\,{\rm {d}}x$ ist $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ ein Prä-Hilbertraum, zeigen Sie, dass der Raum nicht vollständig ist.

Orthogonalität

Sei $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ , $a=0$ und $b=2\pi$ . Zeigen Sie, dass die Funktionen $f(x)=sin(x)$ und die Funktion $g(x)=4$ orthogonal sind, also $\langle f,\cdot g\rangle =0$ gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten $f,g$ und der Hypotenuse $f+g$ !