Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales
Einleitung
BearbeitenDiese Seite kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Den Satz des Thales auf Prähilberträume zu übertragen ist dabei nur eine Option der Verallgemeinerung[1].
Zielsetzung
BearbeitenDiese Lernressource hat das Ziel, den Satz des Thales in (Prä-)Hilbert-Räumen zu beweisen. Dabei gibt es eine zusätzlich Einschränkung in (Prä-)Hilbert-Räumen über den komplexen Zahlen, die so aus der euklidschen Geometrie der Eben nicht bekannt sind.
Zielgruppe
BearbeitenDie Zielgruppe der Lernressource sind Lehramtstudierende, die die Verallgemeinerung von Sätzen aus der Sekundarstufe I auf Hilbert-Räumen kennen lernen möchten.
Satz des Thales
BearbeitenSei ein Prä-Hilbert-Raum über . Das Dreieck wird durch folgende Vektoren dargestellt.
- ("Durchmesser Kreis") und
- , , mit .
- für Prä-Hilberträume über verlangt man ferner .
Dann gilt (d.h. das Dreieck rechtwinklig).
Beweis
BearbeitenIn dem Beweis zeigen wir über die Eigenschaften des Skalarproduktes, dass die Katheten in dem Dreieck senkrecht aufeinander stehen. Sei ein Prä-Hilbert-Raum über . Dabei liefert die Eigenschaft , das die Ecken des Dreieck auf einem Kreis liegen.
Bemerkung zur Übertragung in (Prä-)Hilbert-Räume
BearbeitenDie bekannten geometrischen Eigenschaften aus der Ebene wurden dabei wie folgt auf (Prä-)Hilbert-Räume übertragen:
- und , bedeutet, dass der Mittelpunkt der Strecke ist.
- , sind die Katheten des Dreiecks,
- Durch und liegt der Punkt auf einem Halbkreis mit dem Radius .
Beweis 1 - Orthogonalität der Katheten
BearbeitenMan berechnet nun durch Einsetzung und Anwendung der Eigenschaften des Skalarproduktes:
Beweis 2 - Orthogonalität der Katheten
BearbeitenDamit gilt und das Dreieck mit den obigen Katheten und der Hypotenuse ist rechtwinklig.
Aufgaben für Studierende
Bearbeiten- Formulieren und beweisen Sie die Umkehrung auf (Prä-)Hilbert-Räumen, bei der nach Vorausetzung in einem rechtwinkligen Dreieck der Punkt in dem Dreieck , an dem ein rechter Winkel vorliegt, auf einem Halbkreis über der Hypotenuse liegt.
Literatur/Quellennachweise
Bearbeiten- ↑ G. Weiß, F.Gruber (2008), Den Satz von THALES verallgemeinern - aber wie?, Scientific and Professional Journal of the Croatian Society for Geometry and Graphics, KoG•12–2008, S. 8-18
Siehe auch
BearbeitenSeiteninformation
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Wiki2Reveal
BearbeitenDieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Funktionalanalysis' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.
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- Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales
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