Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales

Einleitung

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Satz des Thales
 
Geometrische Darstellung des Satzes des Thales im (Prä-)Hilbertraum.

Diese Seite kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Den Satz des Thales auf Prähilberträume zu übertragen ist dabei nur eine Option der Verallgemeinerung[1].

Zielsetzung

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Diese Lernressource hat das Ziel, den Satz des Thales in (Prä-)Hilbert-Räumen zu beweisen. Dabei gibt es eine zusätzlich Einschränkung in (Prä-)Hilbert-Räumen über den komplexen Zahlen, die so aus der euklidschen Geometrie der Eben nicht bekannt sind.

Zielgruppe

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Die Zielgruppe der Lernressource sind Lehramtstudierende, die die Verallgemeinerung von Sätzen aus der Sekundarstufe I auf Hilbert-Räumen kennen lernen möchten.


Satz des Thales

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Sei   ein Prä-Hilbert-Raum über  . Das Dreieck wird durch folgende Vektoren dargestellt.

  •   ("Durchmesser Kreis") und  
  •  ,  ,   mit  .
  • für Prä-Hilberträume über   verlangt man ferner  .

Dann gilt   (d.h. das Dreieck rechtwinklig).

In dem Beweis zeigen wir über die Eigenschaften des Skalarproduktes, dass die Katheten in dem Dreieck senkrecht aufeinander stehen. Sei   ein Prä-Hilbert-Raum über  . Dabei liefert die Eigenschaft  , das die Ecken des Dreieck auf einem Kreis liegen.

Bemerkung zur Übertragung in (Prä-)Hilbert-Räume

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Die bekannten geometrischen Eigenschaften aus der Ebene wurden dabei wie folgt auf (Prä-)Hilbert-Räume übertragen:

  •   und  , bedeutet, dass   der Mittelpunkt der Strecke   ist.
  •  ,   sind die Katheten des Dreiecks,
  • Durch   und   liegt der Punkt   auf einem Halbkreis mit dem Radius  .

Beweis 1 - Orthogonalität der Katheten

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Man berechnet nun   durch Einsetzung und Anwendung der Eigenschaften des Skalarproduktes:

 

Beweis 2 - Orthogonalität der Katheten

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Damit gilt   und das Dreieck mit den obigen Katheten   und der Hypotenuse   ist rechtwinklig.  

Aufgaben für Studierende

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  • Formulieren und beweisen Sie die Umkehrung auf (Prä-)Hilbert-Räumen, bei der nach Vorausetzung in einem rechtwinkligen Dreieck der Punkt   in dem Dreieck  , an dem ein rechter Winkel vorliegt, auf einem Halbkreis über der Hypotenuse   liegt.

Literatur/Quellennachweise

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  1. G. Weiß, F.Gruber (2008), Den Satz von THALES verallgemeinern - aber wie?, Scientific and Professional Journal of the Croatian Society for Geometry and Graphics, KoG•12–2008, S. 8-18


Siehe auch

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Seiteninformation

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