Kurs:Funktionentheorie/10/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 7 | 3 | 4 | 5 | 5 | 7 | 7 | 2 | 3 | 0 | 0 | 4 | 2 | 0 | 55 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein Gebiet .
- Die Sinusreihe.
- Ein diskreter Bewertungsring.
- Eine isolierte Singularität.
- Der Hauptteil einer meromorphen Funktion auf einer offenen Teilmenge in einem Punkt .
- Die
Windungszahl
um zu einem stetigen, stückweise
stetig differenzierbaren Weg
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über Holomorphie und antiholomorphe Ableitung.
- Die Integralformel von Cauchy für die Kreisscheibe.
- Der Identitätssatz für holomorphe Abbildungen.
Aufgabe * (7 Punkte)
Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen , die den Rand der Einheitskreisscheibe auf sich abbilden, auf die Form
mit und gebracht werden können.
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei offen und seien reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die antiholomorphe Ableitung die Produktregel
erfüllt.
Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)
Zu Reihen und komplexer Zahlen nennen wir die Reihe
das „Quadratrandprodukt“ der beiden Reihen.
- Zeige, dass jedes Produkt genau zu einem beiträgt.
- Die beiden Reihen seien konvergent. Zeige, dass auch die Reihe konvergent ist, und dass deren Summe gleich dem Produkt der beiden Reihen ist.
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei eine auf konvergente Potenzreihe und sei ein Punkt derart, dass die umentwickelte Potenzreihe mit Entwicklungspunkt die Nullreihe sei. Zeige, dass dann auch die Ausgangsreihe die Nullreihe ist.
Aufgabe * (5 (1+4) Punkte)
- Bestimme die Taylorreihe zur Funktion
im Entwicklungspunkt .
- Es sei
und es sei
die Taylorreihe zu im Entwicklungspunkt . Bestimme die Koeffizienten aus der Gleichung
Aufgabe * (7 (3+4) Punkte)
Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen
(mit ) und
und die Differentialform
auf dem .
a) Berechne die zurückgezogene Differentialform auf dem .
b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform zum Weg in Abhängigkeit von .
Aufgabe * (7 Punkte)
Beweise den Potenzreihenentwicklungssatz von Cauchy.
Aufgabe * (2 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für eine diskrete Teilmenge , die nicht abgeschlossen ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme den Ort, wo die Laurent-Reihe konvergiert und welche Funktion sie darstellt.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Zeige, dass die Fundamentalgruppe eines kontrahierbaren Raumes trivial ist.
Aufgabe * (2 Punkte)
Es sei eine offene Menge mit und sei eine holomorphe Funktion. Es sei
(mit einer Konstanten ) auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von . Zeige, dass dann
gilt.
Aufgabe (0 Punkte)