Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 7 3 4 5 5 7 7 2 3 0 0 4 2 0 55




Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Gebiet .
  2. Die Sinusreihe.
  3. Ein diskreter Bewertungsring.
  4. Eine isolierte Singularität.
  5. Der Hauptteil einer meromorphen Funktion auf einer offenen Teilmenge in einem Punkt .
  6. Die Windungszahl um zu einem stetigen, stückweise stetig differenzierbaren Weg



Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Holomorphie und antiholomorphe Ableitung.
  2. Die Integralformel von Cauchy für die Kreisscheibe.
  3. Der Identitätssatz für holomorphe Abbildungen.



Aufgabe * (7 Punkte)

Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen , die den Rand der Einheitskreisscheibe auf sich abbilden, auf die Form

mit und gebracht werden können.



Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei offen und seien reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die antiholomorphe Ableitung die Produktregel

erfüllt.



Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Zu Reihen und komplexer Zahlen nennen wir die Reihe

das „Quadratrandprodukt“ der beiden Reihen.

  1. Zeige, dass jedes Produkt genau zu einem beiträgt.
  2. Die beiden Reihen seien konvergent. Zeige, dass auch die Reihe konvergent ist, und dass deren Summe gleich dem Produkt der beiden Reihen ist.



Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine auf konvergente Potenzreihe und sei ein Punkt derart, dass die umentwickelte Potenzreihe mit Entwicklungspunkt die Nullreihe sei. Zeige, dass dann auch die Ausgangsreihe die Nullreihe ist.



Aufgabe * (5 (1+4) Punkte)

  1. Bestimme die Taylorreihe zur Funktion

    im Entwicklungspunkt .

  2. Es sei

    und es sei

    die Taylorreihe zu im Entwicklungspunkt . Bestimme die Koeffizienten aus der Gleichung



Aufgabe * (7 (3+4) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

(mit ) und

und die Differentialform

auf dem .

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform auf dem .

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform zum Weg in Abhängigkeit von .



Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Potenzreihenentwicklungssatz von Cauchy.



Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine diskrete Teilmenge , die nicht abgeschlossen ist.



Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den Ort, wo die Laurent-Reihe konvergiert und welche Funktion sie darstellt.



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Fundamentalgruppe eines kontrahierbaren Raumes trivial ist.



Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine offene Menge mit und sei eine holomorphe Funktion. Es sei

(mit einer Konstanten ) auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von . Zeige, dass dann

gilt.



Aufgabe (0 Punkte)