Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 10/latex

\setcounter{section}{10}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten den Ring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{C(\R,\R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{} von $\R$ nach $\R$. Handelt es sich um einen \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es im Ring der \definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{C(\R,\R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Nichtnullteiler gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {,} stetige Funktionen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(a) }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es gebe ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (fg){{|}}_{[a-\epsilon,a+\epsilon]} }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass die Einschränkung
\mathl{g{{|}}_{[a-\delta,a+\delta]}}{} die Nullfunktion ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass es stetige Funktionen \maabbdisp {f,g} {\R_{\geq 0}} {\R } {,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ fg }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} weder
\mathl{f {{|}}_{[0, \delta]}}{} noch
\mathl{g {{|}}_{[0, \delta]}}{} die Nullfunktion ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass im Ring der \definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} {C(\R,\R) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I }
{ =} { { \left\{ f \in R \mid f(x) = 0 \text{ für alle } x \in T \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten das Ideal zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ = }{ \{0\} }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im Sinne von Aufgabe 10.5. Ist dies ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ = }{ \operatorname{C}^0 \, (\R, \R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Ring der stetigen Funktionen von $\R$ nach $\R$. Entscheide, ob die folgenden Teilmengen von $C$ einen \definitionsverweis {Unterring}{}{} bilden. \aufzaehlungdrei{Die Menge der stetigen $2 \pi$-\definitionsverweis {periodischen}{}{} Funktionen. }{Die Menge der stetigen \definitionsverweis {geraden Funktionen}{}{.} }{Die Menge der stetigen \definitionsverweis {ungeraden Funktionen}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ eine Teilmenge von $\R$ und $C(X, \R)$ der \definitionsverweis {Ring der stetigen Funktionen}{}{} von $X$ nach $\R$. Dann ist durch \maabbeledisp {\varphi} { C(\R, \R) } { C(X, \R) } {f} { f \vert_X } {,} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} gegeben. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, wenn $X$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist. } {Für welche Mengen $X$ ist $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{?} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} \zusatzklammer {oder \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} oder eine Teilmenge von $\R$ oder von ${\mathbb C}$} {} {.} Wir betrachten zu einer offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} den \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C(U) }
{ =} { { \left\{ f: U \rightarrow \R \mid f \text{ stetig} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {man kann auch ${\mathbb C}$ statt $\R$ nehmen, oder, falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X }
{ \subseteq }{ {\mathbb K}^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} offen ist, auch differenzierbare Funktionen} {} {.} Zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C_P }
{ =} { { \left\{ f: U \rightarrow \R \mid f \text{ stetig} , \, P \in U \text{ offene Umgebung} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} wobei zwei Funktionen
\mathl{f,g}{} miteinander identifiziert werden, wenn sie auf einer offenen Umgebung von $P$ übereinstimmen. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass $C_P$ ein kommutativer Ring ist \zusatzklammer {dieser Ring heißt \stichwort {Ring der Keime stetiger Funktionen} {}} {} {.} } {Zeige, dass $C_P$ ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ der \definitionsverweis {Ring der Keime stetiger Funktionen}{}{} in Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass in $R$ das \definitionsverweis {maximale Ideal}{}{} nicht von $X$ \zusatzklammer {also der Identität} {} {} \definitionsverweis {erzeugt}{}{} wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt und sei $R$ die Menge aller Keime von \definitionsverweis {analytischen Funktionen}{}{} \maabbdisp {f} {U} { {\mathbb C} } {,} die in einer offenen Umgebung $U$ von $P$ definiert sind \zusatzklammer {siehe Aufgabe 10.9} {} {.} Zeige, dass $R$ mit dem \definitionsverweis {Ring der konvergenten Potenzreihen}{}{} ${\mathbb C}\langle \! \langle T-P \rangle \!\rangle $ übereinstimmt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {X} {und} {Y} {} \definitionsverweis {topologische Räume}{}{} und sei \maabb {\varphi} {X} {Y } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q }
{ = }{ \varphi(P) }
{ = }{ Y }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zu jeder stetigen Funktion \maabb {} {V} { {\mathbb K} } {} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} gehört die stetige Funktion \maabbdisp {f \circ \varphi} { \varphi^{-1} (V)} { {\mathbb K} } {.} Zeige, dass durch diese Zuordnung ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi^*} {C_{Y,Q}} { C_{X,P} } {} zwischen den \definitionsverweis {Ringen der Keime stetiger Funktionen}{}{} festgelegt ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme zur Funktion \maabbeledisp {} { {\mathbb C} \setminus \{0 \} } { {\mathbb C} } {z} { z^{-1} } {,} die Potenzreihenentwicklung für jeden Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} über die \definitionsverweis {Taylorentwicklung}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} der Potenzreihe im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zur Funktion \maabbeledisp {} { {\mathbb C} \setminus \{0 \} } { {\mathbb C} } {z} { z^{-1} } {,} gleich $c$ ist \zusatzklammer {siehe Aufgabe 10.13} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ = }{{\sum }_{ n=0 }^{ \infty } c_{ n } T ^{ n } }
{ \in }{ {\mathbb C}\langle \! \langle T \rangle \!\rangle }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $F$ als konvergente Potenzreihe mit der Ordnung als formale Potenzreihe übereinstimmt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G }
{ =} { {\sum }_{ n=0 }^{ \infty } b_{ n } T ^{ n } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {G} \Vert_t }
{ < }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Komplexe Potenzreihe/t-Norm/Limes/Aufgabe

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige Lemma 10.2 mit Satz 10.7 unter Verwendung der geometrischen Reihe.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ = }{ \sum_{k = 0}^\infty a_k T^k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine formale Potenzreihe über ${\mathbb C}$ und seien $F_n$ Potenzreihen mit der Eigenschaft, dass die Koeffizienten bis zu $T^n$ von $F_n$ und von $F$ übereinstimmen. Für eine positive reelle Zahl $t$ gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f_n} \Vert_t }
{ \leq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle $n$. Zeige, dass dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert_t }
{ \leq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ der Ring aller konvergenten Potenzreihen, deren \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} zumindest $1$ ist. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass die analoge Aussage zu Lemma 10.2 in $R$ nicht gilt. }{Zeige, dass $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist. }{Zeige, dass $R$ kein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} ist. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} bis zur vierten Ordnung der Umkehrfunktion des \definitionsverweis {Sinus}{}{} im Punkt $0$ mit dem in Satz 9.19 beschriebenen Potenzreihenansatz.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { -3x + x^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x) }
{ =} {-3+3x^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist diese Funktion auf dem offen Intervall
\mathl{]-1,1[}{} streng fallend und damit injektiv \zusatzklammer {mit dem Bildintervall
\mathl{]-2,2 [}{}} {} {.} Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(y) }
{ =} {\sum_{k = 0}^\infty b_k y^k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Umkehrfunktion, die wir als eine Potenzreihe ansetzen. Bestimme aus der Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(g(f(x)) }
{ =} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Koeffizienten
\mathl{b_0,b_1,b_2,b_3,b_4}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

\aufzaehlungzwei {Bestimme die Taylorreihe zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {x^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Entwicklungspunkt $1$. } {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(y) }
{ =} { \sqrt{y} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b_0 + b_1(y-1) +b_2 (y-1)^2 + \ldots }
{ =} { \sum_{k = 0}^\infty b_k (y-1)^k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Taylorreihe zu $g$ im Entwicklungspunkt $1$. Bestimme die Koeffizienten
\mathl{b_0,b_1,b_2,b_3,b_4}{} aus der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(f(x) ) }
{ =} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G }
{ =} { S +3S^2 -2S^3 }
{ =} { S+S^2 (3-2S) }
{ =} { S+S^2 H }
{ \in} { {\mathbb C} [ \![S]\! ] }
} {}{}{} eine formale Potenzreihe mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H }
{ = }{ 3-2S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Berechne \mathkor {} {F_1} {und} {F_2} {} in der Rekursion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_{n+1} }
{ = }{ T- F_n^2 \cdot H(F_n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_0 }
{ = }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gebiet}{}{} und seien \maabb {f,g} {U} { {\mathbb C} } {} \definitionsverweis {komplex-analytische Funktionen}{}{.} Es gebe eine Folge $x_n$ in $U$ mit einem \definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} der von allen $x_n$ verschieden sei. Es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x_n) }
{ = }{ g(x_n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ = }{ g }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{6 (3+3)}
{

Bestimme für die \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ z^2-1 } }}{} die Potenzreihenentwicklung im Entwicklungspunkt $0$ durch \aufzaehlungzwei {Partialbruchzerlegung und geometrische Reihe. } {Taylorentwicklung. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{7 (2+1+1+1+2)}
{

Zeige, dass die $t$-\definitionsverweis {Norm}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Potenzreihen}{}{} die folgende Eigenschaften erfüllt. \zusatzklammer {dabei seien $F,G$ Potenzreihen mit Entwicklungspunkt $0$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.} \aufzaehlungfuenf{Für den \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} $R$ von $F$ gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R }
{ =} { \operatorname{sup} ( t , \Vert {F} \Vert_t < \infty ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {F} \Vert_t }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {F+G} \Vert_t }
{ \leq} { \Vert {F} \Vert_t + \Vert {G} \Vert_t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {w F } \Vert_t }
{ =} { \betrag { w } \cdot \Vert {F} \Vert_t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {F \cdot G} \Vert_t }
{ \leq} { \Vert {F} \Vert_t \cdot \Vert {G} \Vert_t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass es \definitionsverweis {formale Potenzreihen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F, G }
{ \in }{ {\mathbb C} [ \![T]\! ] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt, die beide nicht \definitionsverweis {konvergent}{}{} sind, aber so, dass ihr Produkt $FG$ konvergent ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ = }{ {\sum }_{ j=0 }^{ \infty } b_{ j } S ^{ j } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine konvergente Potenzreihe über ${\mathbb C}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_0 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass durch durch die Einsetzung
\mathl{F \mapsto F(G)}{} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { {\mathbb C}\langle \! \langle T \rangle \!\rangle } {{\mathbb C}\langle \! \langle S \rangle \!\rangle } {} gegeben ist. Wann ist dieser injektiv? Wann ist dieser surjektiv? Was passiert mit der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} unter dieser Abbildung?

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} bis zur vierten Ordnung des \definitionsverweis {natürlichen Logarithmus}{}{} im Entwicklungspunkt $1$ mit dem in Satz 9.19 beschriebenen Potenzreihenansatz aus der Potenzreihe der Exponentialfunktion.

}
{} {}