Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 13/latex
\setcounter{section}{13}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{,}
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {komplex differenzierbare}{}{}
Funktion und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein achsenparalleles abgeschlossenes Rechteck, und sei
\maabbdisp {\gamma} {I} {R
} {}
der stetige, stückweise lineare Weg, der den Rand von $R$ gleichmäßig durchläuft. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma fdz
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B \left( P,r \right)
}
{ \subseteq }{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit $U$
\definitionsverweis {offen}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ > }{ r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B \left( P,r \right)
}
{ \subseteq }{ U { \left( P,s \right) }
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{}
${ \frac{ dz }{ z } }$ auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ < }{ \betrag { P }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabb {\gamma} { I} { U
} {}
der Weg, der den Kreis mit Mittelpunkt $P$ und Radius $r$ einfach gegen den Uhrzeigersinn durchläuft. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma { \frac{ dz }{ z } }
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{}
${ \frac{ dz }{ z } }$ auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ > }{ \betrag { P }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabb {\gamma} { I} { U
} {}
der Weg, der den Kreis mit Mittelpunkt $P$ und Radius $r$ einfach gegen den Uhrzeigersinn durchläuft. Zeige mit
Korollar 13.5,
dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma { \frac{ dz }{ z } }
}
{ =} { 2 \pi { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Halbannullus
\mathl{{ \left( B \left( 0,2 \right) \setminus B \left( 0,1 \right) \right) } \cap {\mathbb H}}{} nicht
\definitionsverweis {sternförmig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Brechne das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
zur
\definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ z^2-1 } } dz}{} zum einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreisweg mit Mittelpunkt
\mathl{(0,0)}{} und Radius $2$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise Satz 13.7 direkt für ein Polynom $f$ unter Verwendung von Beispiel 12.6.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise
Satz 13.7
direkt für eine Funktion $f$, die durch eine
\definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{}
auf
\mathl{U { \left( P,r \right) }}{} gegeben ist, unter Verwendung von
Beispiel 12.6.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme den maximalen Sektor des Annullus
\mathl{B \left( 0,2 \right) \setminus B \left( 0,1 \right)}{,} der
\definitionsverweis {sternförmig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Brechne das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
zur
\definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ z^3-1 } } dz}{} zum einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreisweg mit Mittelpunkt
\mathl{(-5,0)}{} und Radius $5$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $f$ eine auf einer offenen Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der $0$
\definitionsverweis {komplex differenzierbare}{}{}
Funktion derart, dass auch
\mathl{{ \frac{ f }{ z } }}{} komplex-differenzierbar ist. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}