Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 13

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion und sei ${}R\subseteq U$ ein achsenparalleles abgeschlossenes Rechteck, und sei

$\gamma \colon I\longrightarrow R$

der stetige, stückweise lineare Weg, der den Rand von ${}R$ gleichmäßig durchläuft. Zeige, dass

${}\int _{\gamma }fdz=0\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}B\left(P,r\right)\subseteq U\subseteq {\mathbb {C} }$ mit ${}U$ offen. Zeige, dass es ein ${}s>r$ mit ${}B\left(P,r\right)\subseteq U{\left(P,s\right)}\subseteq U$ gibt.

Aufgabe

Wir betrachten die holomorphe Differentialform ${}{\frac {dz}{z}}$ auf ${}U={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Es sei ${}P\in U$, ${}r<\vert {P}\vert$ und sei ${}\gamma \colon I\rightarrow U$ der Weg, der den Kreis mit Mittelpunkt ${}P$ und Radius ${}r$ einfach gegen den Uhrzeigersinn durchläuft. Zeige

${}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z}}=0\,.$

Aufgabe

Wir betrachten die holomorphe Differentialform ${}{\frac {dz}{z}}$ auf ${}U={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Es sei ${}P\in U$, ${}r>\vert {P}\vert$ und sei ${}\gamma \colon I\rightarrow U$ der Weg, der den Kreis mit Mittelpunkt ${}P$ und Radius ${}r$ einfach gegen den Uhrzeigersinn durchläuft. Zeige mit Korollar 13.5, dass

${}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z}}=2\pi {\mathrm {i} }\,$

ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Halbannullus ${}{\left(B\left(0,2\right)\setminus B\left(0,1\right)\right)}\cap {\mathbb {H} }$ nicht sternförmig ist.

Aufgabe

Brechne das Wegintegral zur holomorphen Differentialform ${}{\frac {1}{z^{2}-1}}dz$ zum einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreisweg mit Mittelpunkt ${}(0,0)$ und Radius ${}2$.

Aufgabe

Beweise Satz 13.7 direkt für ein Polynom ${}f$ unter Verwendung von Beispiel 12.6.

Aufgabe

Beweise Satz 13.7 direkt für eine Funktion ${}f$, die durch eine konvergente Potenzreihe auf ${}U{\left(P,r\right)}$ gegeben ist, unter Verwendung von Beispiel 12.6.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den maximalen Sektor des Annullus ${}B\left(0,2\right)\setminus B\left(0,1\right)$, der sternförmig ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Brechne das Wegintegral zur holomorphen Differentialform ${}{\frac {1}{z^{3}-1}}dz$ zum einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreisweg mit Mittelpunkt ${}(-5,0)$ und Radius ${}5$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}f$ eine auf einer offenen Umgebung ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ der ${}0$ komplex differenzierbare Funktion derart, dass auch ${}{\frac {f}{z}}$ komplex-differenzierbar ist. Zeige ${}f(0)=0$.