Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 13

Das Lemma von Goursat

Das Besondere der folgenden Aussagen, beginnend mit dem Lemma von Goursat, ist, im Vergleich zu Satz 12.16, dass die Differentialform ${}fdz$ bzw. die Funktion ${}f$ nur als komplex-differenzierbar, aber nicht als stetig komplex differenzierbar vorausgesetzt wird. Letztlich wird sich in Satz 14.2 ergeben, dass die Stetigkeit der Ableitung in diesem Fall automatisch gilt.

Satz

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion und sei ${}Q\subseteq U$ ein achsenparalleles abgeschlossenes Quadrat, und sei

$\gamma \colon I\longrightarrow R$

der stetige stückweise lineare Weg, der den Rand von ${}Q$ gleichmäßig durchläuft.

Dann ist

${}\int _{\gamma }fdz=0\,.$

Beweis

Es sei ${}L$ die Seitenlänge des Quadrates. Dann ist der Umfang des Quadrates gleich ${}4L$, und das ist auch die Länge des Intervalls ${}I$. Wir konstruieren rekursiv eine Folge von Quadraten ${}Q_{n}$ mit ${}Q_{0}=Q$ als Startquadrat. Dabei zerlegt man ${}Q_{n}$ durch Halbierung der Seitenlängen in vier Teilquadrate. Unter diesen wird ${}Q_{n+1}$ in folgender Weise ausgewählt: Es sei ${}\gamma _{n}$ der gleichmäßige (stückweise lineare) Weg entlang des Randes von ${}Q_{n}$, der gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen werde und rechts unten anfängt. Es seien ${}\gamma _{n+1,1},\gamma _{n+1,2},\gamma _{n+1,3},\gamma _{n+1,4}$ die entsprechenden Wege der Ränder der Teilquadrate. Dann gilt

$\int _{\gamma _{n}}fdz=\int _{\gamma _{n+1,1}}fdz+\int _{\gamma _{n+1,2}}fdz+\int _{\gamma _{n+1,3}}fdz+\int _{\gamma _{n+1,4}}fdz\,,$

da in der Summe rechts die äußeren Seiten der Teilquadrate einfach und die inneren Seiten der Teilquadrate zweifach mit wechselnder Orientierung durchlaufen werden. Wir wählen nun ${}Q_{n+1}$ als dasjenige Teilquadrat, für das der Betrag von ${}\int _{\gamma _{n+1,i}}fdz$ unter diesen vier Wegintegralen maximal ist. Dabei gilt

${}\vert {\int _{\gamma _{n}}fdz}\vert \leq 4\cdot \vert {\int _{\gamma _{n+1}}fdz}\vert \,,$

und induktiv erhält man die Abschätzung

${}\vert {\int _{\gamma }fdz}\vert \leq 4^{n}\cdot \vert {\int _{\gamma _{n}}fdz}\vert \,.$

Es sei nun ${}a$ der durch die Folge der Quadrate ${}Q_{n}$ bestimmte Punkt der Ebene (die Folge der ${}x$-Seiten und der ${}y$-Seiten bilden ja jeweils eine Intervallhalbierung, und legen daher nach Satz 7.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) einen eindeutigen Punkt fest). Aufgrund der komplexen Differenzierbarkeit in ${}a$ gibt es nach Satz 1.2 ein ${}s\in {\mathbb {C} }$ und eine Funktion

$r\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

mit ${}r$ stetig in ${}a$ und ${}r(a)=0$ und mit

${}f(z)=f(a)+s(z-a)+r(z)(z-a)\,.$

Wir möchten

${}\int _{\gamma }fdz=0\,$

zeigen. Dazu zeigen wir, dass

${}\vert {\int _{\gamma }fdz}\vert \leq \epsilon \,$

für jedes vorgegebene positive ${}\epsilon$ ist. Es sei also ein ${}\epsilon \in \mathbb {R} _{+}$ vorgegeben. Aufgrund der Stetigkeit von ${}r$ gibt es ein ${}\delta >0$ mit der Eigenschaft, dass für ${}z$ mit ${}\vert {z-a}\vert \leq \delta$ die Abschätzung ${}\vert {r(z)}\vert \leq {\frac {\epsilon }{8L^{2}}}$ gilt.

Es sei ${}n$ derart, dass

${}{\frac {1}{2^{n}}}\leq {\frac {\delta }{2L}}\,$

gilt. Das Quadrat ${}Q_{n}$ hat die Seitenlänge ${}{\frac {L}{2^{n}}}$ und den Umfang ${}{\frac {4L}{2^{n}}}$, und es ist

${}Q_{n}\subseteq U{\left(a,{\frac {2L}{2^{n}}}\right)}\subseteq U{\left(a,\delta \right)}\,.$

Daher ist auf alle Punkte ${}z$ aus ${}Q_{n}$ und insbesondere auf seinen Rand die Abschätzung für ${}r(z)$ anwendbar. Daher ist (die Wegintegrale zu den beiden vorderen Summanden ${}f(a)$ und ${}s(z-a)$ sind nach Korollar 12.12 gleich ${}0$, da sie eine Stammfunktion besitzen)

${}{\begin{aligned}\vert {\int _{\gamma _{n}}f(z)dz}\vert &=\vert {\int _{\gamma _{n}}f(a)+s(z-a)+r(z)(z-a)dz}\vert \\&=\vert {\int _{\gamma _{n}}r(z)(z-a)dz}\vert \\&=\vert {\int _{I_{n}}r(\gamma _{n}(t))(\gamma _{n}(t)-a)\gamma '_{n}(t)dt}\vert \\&\leq \int _{I_{n}}\vert {r(\gamma _{n}(t))(\gamma _{n}(t)-a)\gamma '_{n}(t)}\vert dt\\&\leq \int _{I_{n}}{\frac {\epsilon }{8L^{2}}}\cdot {\frac {2L}{2^{n}}}dt\\&={\frac {4L}{2^{n}}}\cdot {\frac {\epsilon }{8L^{2}}}\cdot {\frac {2L}{2^{n}}}\\&={\frac {\epsilon }{4^{n}}}.\end{aligned}}$

Es folgt

${}{\begin{aligned}\vert {\int _{\gamma }fdz}\vert &\leq 4^{n}\cdot \vert {\int _{\gamma _{n}}fdz}\vert \\&=4^{n}\cdot {\frac {\epsilon }{4^{n}}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

$\Box$

Satz

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion, sei ${}D\subseteq U$ ein Dreieck, und sei

$\gamma \colon I\longrightarrow D$

der stetige, stückweise lineare Weg, der den Rand von ${}D$ gleichmäßig durchläuft.

Dann ist

${}\int _{\gamma }fdz=0\,.$

Beweis

Dies wird ähnlich wie Satz 13.1 bewiesen.

$\Box$

Die folgenden Sätze nennt man Integralsatz von Cauchy (für sternförmige Mengen, für Kreisscheiben).

Satz

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine sternförmige offene Menge, ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion und sei ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ein stetig differenzierbarer geschlossener Weg.

Dann ist

${}\int _{\gamma }fdz=0\,.$

Beweis

Ohne Einschränkung sei ${}U$ sternförmig bezüglich des Punktes ${}0$. Zu ${}Q\in U$ definieren wir ${}\varphi (Q)$ über das Wegintegral zur Differentialform ${}fdz$ zum linearen Verbindungsweg von ${}0$ nach ${}Q$, den wir mit ${}[0,Q]$ bezeichnen (die Durchlaufgeschwindigkeit ist irrelevant), also

${}\varphi (Q):=\int _{[0,Q]}fdz\,.$

Es sei ${}P\in U$ fixiert. Für eine hinreichend kleine Kreisscheibenumgebung ${}B\left(P,r\right)$ (in ${}U$) von ${}P$ ist für ${}Q\in B\left(P,r\right)$ das Dreieck mit den Ecken ${}0,P,Q$ ganz in ${}U$ und wegen Satz 13.2 gilt

${}\varphi (Q)=\varphi (P)+\int _{[P,Q]}fdz\,.$

Wir betrachten den Differenzenquotienten

${}\psi (Q)={\frac {\varphi (Q)-\varphi (P)}{Q-P}}={\frac {\int _{[P,Q]}fdz}{Q-P}}\,.$

Unter Verwendung von Lemma 12.10 ist

${}{\begin{aligned}\vert {\psi (Q)-f(P)}\vert &=\vert {{\frac {\int _{[P,Q]}fdz}{Q-P}}-f(P)}\vert \\&={\frac {1}{\vert {Q-P}\vert }}\vert {\int _{[P,Q]}fdz-f(P)(Q-P)}\vert \\&={\frac {1}{\vert {Q-P}\vert }}\vert {\int _{[P,Q]}(fdz-f(P))}\vert \\&\leq {\frac {1}{\vert {Q-P}\vert }}\Vert {f-f(P)}\Vert _{[P,Q]}\cdot \vert {Q-P}\vert \\&\leq \Vert {f-f(P)}\Vert _{B\left(P,r\right)}.\end{aligned}}$

Wegen der Stetigkeit von ${}f$ folgt, dass der Funktionslimes von ${}\psi (Q)$ für ${}Q\rightarrow P$ gleich ${}f(P)$ ist. D.h., dass der Differentialquotient existiert und somit ist ${}\varphi$ komplex differenzierbar. Die Aussage folgt daher aus Korollar 12.12.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion. Es sei ${}B\left(P,r\right)\subseteq U$ eine abgeschlossene Kreisscheibe und es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow B$

der stetige Weg, der den Rand von ${}B$ gleichmäßig durchläuft.

Dann ist

${}\int _{\gamma }fdz=0\,.$

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Satz 13.3 unter Berücksichtigung von Aufgabe 13.2.

$\Box$

Korollar

Es seien ${}P,Q\in {\mathbb {C} }$ und seien Radien ${}r,s$ gegeben mit ${}B\left(P,r\right)\subseteq B\left(Q,s\right)$. Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, die ${}B\left(Q,s\right)\setminus U{\left(P,r\right)}$ umfasst. Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion.

Dann gilt für die gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Randwege ${}\gamma$ bzw. ${}\delta$ der beiden Kreise die Gleichheit

${}\int _{\gamma }fdz=\int _{\delta }fdz\,.$

Beweis

Man kann die beiden ineinander liegenden Kreisränder durch eine endliche Familie von Geradenstücken verbinden (beispielsweise vom kleinen Kreis radial nach außen) derart, dass benachbarte Geradenstücke mit den anliegenden Kreisbögen eine sternförmige Menge bilden (und auch in einer offenen sternförmigen Menge innerhalb von ${}U$ liegen). Nach Satz 13.3 ist das Wegintegral über einen solchen (gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen) Weg gleich ${}0$. Aufsummieren dieser Wegintegrale ergibt die Behauptung, da dabei die Geradenstücke insgesamt in beide Richtungen einmal durchlaufen werden.

$\Box$

Beispiel

Für die holomorphe Differentialform ${}{\frac {dz}{z}}$ auf ${}U={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ kann man Korollar 13.5 für jeden einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreis ${}\gamma$ anwenden, der ${}0$ umrundet, und erhält

${}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z}}=2\pi {\mathrm {i} }\,$

mit Beispiel 12.6. Siehe auch Aufgabe 13.4.

Die Integralformel von Cauchy

Das Erstaunliche an der folgenden Aussage, der Integralformel von Cauchy, ist, dass man den Wert einer komplexe differenzierbaren Funktion ${}f$ in einem Punkt ${}a$ bestimmen kann, indem man das Wegintegral zu ${}{\frac {f(z)}{z-a}}$ über einen Kreisweg auswertet, der gar nicht durch ${}a$ läuft.

Satz

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion. Es sei ${}B\left(P,r\right)\subseteq U$ eine abgeschlossene Kreisscheibe und es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow B$

der stetige Weg, der den Rand von ${}B$ gleichmäßig durchläuft. Es sei ${}a\in U{\left(P,r\right)}$.

Dann ist

${}f(a)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}dz\,.$

Beweis

Es sei ${}s>0$ derart, dass

${}B\left(a,s\right)\subseteq B\left(P,r\right)\,$

ist. Die Funktion ${}{\frac {f(z)}{z-a}}$ ist dann auf ${}U\setminus \{a\}$ definiert und holomorph. Wir können daher Korollar 13.5 anwenden und erhalten

${}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}dz=\int _{\delta _{s}}{\frac {f(z)}{z-a}}dz\,,$

wobei ${}\delta _{s}$ der Kreisweg um ${}a$ mit Radius ${}s$ sei. Man beachte, dass diese Gleichung für jedes positive hinreichend kleine ${}s$ gilt, und insbesondere der Term rechts unabhängig von einem solchen ${}s$ ist. Wir schreiben

${}\int _{\delta _{s}}{\frac {f(z)}{z-a}}dz=\int _{\delta _{s}}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}dz+\int _{\delta _{s}}{\frac {f(a)}{z-a}}dz\,.$

Der Differenzenquotient ${}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}$ konvergiert für ${}s$ gegen ${}0$ gegen die Ableitung ${}f'(a)$. Insbesondere ist dieser Term beschränkt in einer Umgebung von ${}a$ und daher konvergiert das linke Integral auf der rechten Seite nach Lemma 12.10 gegen ${}0$, da ja die Länge des Weges beliebig klein wird. Das rechte Integral auf der linken Seite ist unabhängig von ${}s$ wegen Beispiel 12.6 gleich ${}2\pi {\mathrm {i} }f(a)$.

$\Box$

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