Integralsatz von Cauchy/Sternförmig/Stammform/Geschlossener Weg/Fakt/Beweis

Beweis

Ohne Einschränkung sei sternförmig bezüglich des Punktes . Zu definieren wir über das Wegintegral zur Differentialform zum linearen Verbindungsweg von nach , den wir mit bezeichnen (die Durchlaufgeschwindigkeit ist irrelevant), also

Es sei fixiert. Für eine hinreichend kleine Kreisscheibenumgebung (in ) von ist für das Dreieck mit den Ecken ganz in und wegen Fakt gilt

Wir betrachten den Differenzenquotienten

Unter Verwendung von Fakt ist

Wegen der Stetigkeit von folgt, dass der Funktionslimes von für gleich ist. D.h., dass der Differentialquotient existiert und somit ist komplex differenzierbar. Die Aussage folgt daher aus Fakt.