Es sei die Seitenlänge des Quadrates. Dann ist der Umfang des Quadrates gleich , und das ist auch die Länge des Intervalls . Wir konstruieren rekursiv eine Folge von Quadraten mit
als Startquadrat. Dabei zerlegt man durch Halbierung der Seitenlängen in vier Teilquadrate. Unter diesen wird in folgender Weise ausgewählt: Es sei der gleichmäßige
(stückweise lineare)
Weg entlang des Randes von , der gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen werde und rechts unten anfängt. Es seien die entsprechenden Wege der Ränder der Teilquadrate. Dann gilt
-
da in der Summe rechts die äußeren Seiten der Teilquadrate einfach und die inneren Seiten der Teilquadrate zweifach mit wechselnder Orientierung durchlaufen werden. Wir wählen nun als dasjenige Teilquadrat, für das der Betrag von unter diesen vier Wegintegralen maximal ist. Dabei gilt
-
und induktiv erhält man die Abschätzung
-
Es sei nun der durch die Folge der Quadrate bestimmte Punkt der Ebene
(die Folge der -Seiten und der -Seiten bilden ja jeweils eine Intervallhalbierung, und legen daher nach
Fakt
einen eindeutigen Punkt fest).
Aufgrund der komplexen Differenzierbarkeit in gibt es nach
Fakt
ein
und eine Funktion
-
mit
stetig
in und
und mit
-
Wir möchten
-
zeigen. Dazu zeigen wir, dass
-
für jedes vorgegebene positive ist. Es sei also ein
vorgegeben. Aufgrund der Stetigkeit von gibt es ein
mit der Eigenschaft, dass für mit
die Abschätzung
gilt.
Es sei derart, dass
-
gilt. Das Quadrat hat die Seitenlänge und den Umfang , und es ist
-
Daher ist auf alle Punkte aus und insbesondere auf seinen Rand die Abschätzung für anwendbar. Daher ist
(die Wegintegrale zu den beiden vorderen Summanden
und
sind nach
Fakt
gleich , da sie eine Stammfunktion besitzen)
Es folgt