Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 14

Potenzreihenentwicklung für komplex differenzierbare Funktionen

Wir möchten zeigen, dass eine komplex differnzierbare Funktion in jedem Punkt durch eine Potenzreihe darstellbar ist. Dazu werden wir die Integralformel von Cauchy dahingehend verallgemeinern, dass nicht nur der Wert von ${}f$ in ${}a$ durch ein den Punkt umlaufendes Wegintegral zu einer geeigneten Differentialform festgelegt ist, sondern auch die übrigen Koeffizienten in der Potenzreihe. Dies ergibt sich mit Hilfe der geometrischen Reihe.

Für ${}\vert {z}\vert <1$ besitzt die geometrische Reihe das Konvergenzverhalten

${}\sum _{i=0}^{\infty }z^{i}={\frac {1}{1-z}}\,.$

Wir schreiben die Integralformel von Cauchy als

${}f(z)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}dw\,,$

um zu betonen, dass wir an der Abhängigkeit von ${}f$ von ${}z$ interessiert sind. Den Integranden schreiben wir als

${}{\frac {f(w)}{w-z}}={\frac {f(w)}{w}}\cdot {\frac {w}{w-z}}={\frac {f(w)}{w}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z}{w}}}}\,.$

Da in der Integralformel vorausgesetzt wird, dass ${}z$ im Innern des Kreises liegt und ${}w$ auf dem Rand, ist ${}\vert {\frac {z}{w}}\vert <1$ und daher kann man auf den zweiten Faktor des Integranden die Formel der geometrischen Reihe, also

${}{\frac {1}{1-{\frac {z}{w}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {z}{w}}\right)^{k}\,$

anwenden, bzw.

${}{\frac {1}{w-z}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{w^{k+1}}}\,.$

Satz

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen, ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion und ${}a\in U$ ein Punkt.

Dann wird ${}f$ in einer Umgebung von ${}a$ durch die Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ beschrieben, wobei die Koeffizienten durch

${}c_{n}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz\,$

gegeben sind, und ${}\gamma$ einen einfachen Umlaufweg um ${}a$ innerhalb von ${}U$ bezeichnet.

Beweis

Zur Notationsvereinfachung sei ${}a=0$. Nach der Integralformel gilt für jedes ${}z\in U$

${}f(z)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\delta }{\frac {f(w)}{w-z}}dw\,$

mit einem einfachen Umlaufweg

$\delta \colon [0,1]\longrightarrow U,\,t\longmapsto z+re^{2\pi {\mathrm {i} }t},$

um ${}z$ in ${}U$. Nach Korollar 13.5 gilt auch

${}f(z)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}dw\,$

mit einem Umlaufweg um ${}0$ in ${}U$, wobei ${}B\left(0,r\right)\subseteq U$ gelten und ${}z$ im Innern dieses Kreises sein muss. Wir schreiben den Integranden als

${}{\frac {f(w)}{w-z}}={\frac {f(w)}{w}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z}{w}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(w)}{w}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{k}\,.$

Hierbei ist ${}f(w)$ auf dem Kreis (bzw. ${}f{\left(re^{2\pi {\mathrm {i} }t}\right)}$ auf dem Intervall) beschränkt und daher konvergiert diese Reihe für festes ${}z$ absolut und (als Funktion in ${}w$) gleichmäßig gegen die Grenzfunktion. Nach Lemma 23.16 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) (angewendet auf Real- und Imaginärteil), kann man den Grenzwert der Reihe mit dem Integral vertauschen, daher ist

${}{\begin{aligned}f(z)&=\int _{\gamma }{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {f(w)}{w-z}}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(w)}{w}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{k}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w}}\cdot {\frac {1}{w^{k}}}dw\right)}z^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w^{k+1}}}dw\right)}z^{k}.\end{aligned}}$

Da dies für jedes ${}z$ im Innern der Kreisscheibe gilt und die Koeffizienten unabhängig von ${}z$ sind, liegt eine beschreibende konvergente Potenzreihe vor.

$\Box$

Jetzt können wir den Hauptsatz über komplex differenzierbare Funktionen beweisen.

Satz

Für eine auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte Funktion

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist komplex differenzierbar.
2. ${}f$ ist unendlich oft (stetig) komplex differenzierbar.
3. ${}f$ lässt sich in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickeln, d.h. ${}f$ ist komplex-analytisch.

Beweis

Von (1) nach (3) ist Satz 14.1, von (3) nach (2) ist Korollar 8.13, von (2) nach (1) ist trivial.

$\Box$

Aus Satz 14.1 folgt insbesondere, dass der Konvergenzradius der beschreibenden Potenzreihe zumindest so groß ist, wie es vom Definitionsbereich der komplex differenzierbaren Funktion her möglich ist, siehe Aufgabe 14.2. Ab jetzt sprechen wir konsequent von holomorphen Funktionen.

Korollar

Es sei

${}U=U{\left(P,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }\,$

ein offener Ball und sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.

Dann besitzt ${}f$ eine Stammfunktion auf ${}U$.

Beweis

Nach dem Beweis zu Satz 14.1 wird ${}f$ auf ${}U$ durch eine konvergente Potenzreihe beschrieben. Diese besitzt nach Satz 8.17 eine Stammfunktion.

$\Box$

In Sätzen wie Korollar 12.17 und Korollar 12.18 können wir jetzt allein mit der Voraussetzung komplex differenzierbar (statt stetig komplex differenzierbar) formulieren.

Satz

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine sternförmige offene Teilmenge und sei

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine komplex differenzierbare Funktion.

Dann besitzt ${}f$ eine Stammfunktion, und die holomorphe Differentialform ${}fdz$ ist exakt.

Beweis

Dies folgt wegen Satz 14.2 direkt aus Korollar 12.17.

$\Box$

Der riemannsche Hebbarkeitssatz

Satz

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen, ${}P\in G$ ein Punkt und ${}f\colon G\setminus \{P\}\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. Es gibt eine stetige Fortsetzung

   ${\tilde {f}}\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   von ${}f$.

2. Der Betrag von ${}f$ ist in einer offenen Umgebung von ${}P$ beschränkt.
3. Es ist

   ${}\operatorname {lim} _{z\rightarrow P}\,(z-P)f(z)=0\,.$

4. Es gibt eine holomorphe Fortsetzung

   ${\tilde {f}}\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   von ${}f$.

Beweis

Die Implikationen von (1) nach (2), von (2) nach (3) und von (4) nach (1) sind klar. Sei also (3) erfüllt. Zur Notationsvereinfachung sei ${}P=0$. Wir betrachten die Funktion

${}g(z)=zf(z)\,,$

die wir durch ${}g(0)=0$ zu einer Funktion auf ${}G$ fortsetzen. Diese ist stetig nach Voraussetzung in Verbindung mit Korollar 12.14 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)). Ferner setzen wir

${}h(z)=zg(z)\,.$

Wir lesen die Gleichung

${}h(z)=zg(z)=0+0z+zg(z)\,$

als eine affin-lineare Approximation für ${}h$ (vergleiche Satz 1.2). Daher ist ${}h$ im Nullpunkt komplex differenzierbar und damit auf ganz ${}G$ holomorph. Nach Satz 14.1 gibt es für ${}h$ eine Beschreibung als Potenzreihe in einer offenen Umgebung,

${}h(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}\,.$

Aufgrund der Definition von ${}h$ ist ${}c_{0}=c_{1}=0$ und damit ist

${}{\begin{aligned}h(z)&=\sum _{n=2}^{\infty }c_{n}z^{n}\\&=z^{2}{\left(\sum _{n=2}^{\infty }c_{n}z^{n-2}\right)}\\&=z^{2}{\left(\sum _{k=0}^{\infty }c_{k+2}z^{k}\right)}.\end{aligned}}$

Daher ist

${}{\tilde {f}}=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k+2}z^{k}\,$

eine holomorphe Fortsetzung von ${}f$.

$\Box$

Der Identitätssatz für holomorphe Funktionen

Eine diskrete Teilmenge ${}D\subseteq {\mathbb {C} }$ ist eine Teilmenge mit der Eigenschaft, dass es zu jedem Punkt ${}P\in D$ eine Kreisumgebung ${}U{\left(P,r\right)}$ mit ${}U{\left(P,r\right)}\cap D=\{P\}$ gibt. Dies bedeutet, dass die induzierte Topologie von ${}{\mathbb {C} }$ auf ${}D$ die diskrete Topologie ist. Polynome ${}\neq 0$ besitzen nach Korollar 11.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) nur endlich viele Nullstellen und endliche Teilmengen sind diskret. Aber auch die trigonometrischen Funktionen besitzen eine diskrete (aber nicht endliche) Nullstellenmenge. Dies gilt für beliebige holomorphe Funktionen.

Satz

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine von der Nullfunktion verschiedene holomorphe Funktion.

Dann ist die Nullstellenmenge von ${}f$ diskret und abgeschlossen (in ${}U$).

Beweis

Nehmen wir an, dass die Nullstellenmenge nicht diskret ist. Dann gibt es nach Aufgabe 14.16 einen Häufungspunkt ${}a$ der Nullstellenmenge, der wegen der Abgeschlossenheit der Nullstellenmenge insbesondere zu ${}U$ gehört . Nach Satz 14.2 wird ${}f$ in jedem Punkt durch eine Potenzreihe beschrieben, mit Lemma 8.9 folgt, dass die Potenzreihe zu ${}a$ die Nullreihe ist und dass daher ${}f$ in einer Umgebung von ${}a$ gleich ${}0$ ist.

Wir betrachten nun

$N={\left\{w\in U\mid {\text{ die beschreibende Potenzreihe um }}w{\text{ ist die Nullreihe}}\right\}}\,.$

Nach Voraussetzung gehört ${}a$ zu ${}N$, die Menge ${}N$ ist also nicht leer. Die Menge ${}N$ ist offen: Wenn ${}w\in N$ ist, so ist die Funktion ${}f$ in einer offenen Umgebung ${}U{\left(w,r\right)}$ die Nullfunktion, daher ist auch für alle Punkte ${}w'\in U{\left(w,r\right)}$ die beschreibende Potenzreihe die Nullreihe. Die Menge ${}N$ ist aber auch abgeschlossen. Es sei ${}w_{n}$ eine Folge in ${}N$, die gegen ${}w\in U{\left(0,R\right)}$ konvergiere. Da die Potenzreihen mit Entwicklungspunkt ${}w_{n}$ die Nullreihen sind, ist insbesondere ${}f(w_{n})=0$. Für die Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${}w$ ergibt sich also, dass der Entwicklungspunkt ein Häufungspunkt der Nullstellen ist. Daraus folgt wieder nach Lemma 8.9, dass diese Potenzreihe ebenfalls die Nullreihe ist, also zu ${}N$ gehört. ${}N$ ist also offen und abgeschlossen und nicht leer, also ist es ganz ${}U{\left(0,R\right)}$.

$\Box$

Die beiden folgenden Aussagen (die zweite heißt Identitätssatz) folgen daraus unmittelbar.

Korollar

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.

Wenn die Nullstellenmenge von ${}f$ einen Häufungspunkt in ${}U$ besitzt, so ist ${}f$ die Nullfunktion.

Beweis

Dies ist eine Umformulierung von Satz 14.6.

$\Box$

Es kann dabei aber durchaus sein, dass die Nullstellenmenge einen Häufungspunkt in ${}{\mathbb {C} }$ besitzt, siehe Aufgabe 14.18.

Korollar

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und seien ${}f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen. Die Übereinstimmungsmenge von ${}f$ und ${}g$, also ${}{\left\{z\in U\mid f(z)=g(z)\right\}}$ besitze einen Häufungspunkt in ${}U$.

Dann ist ${}f=g$.

Beweis

Dies folgt direkt aus Korollar 14.7, wenn man die Differenz ${}f-g$ betrachtet.

$\Box$

Das Maximumsprinzip

Lemma

Es sei ${}B=B\left(a,r\right)\subseteq {\mathbb {C} }$ ein abgeschlossener Ball und sei ${}f\colon B\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine stetige Funktion, die in ${}U{\left(a,r\right)}$ holomorph sei.

Dann gilt für den Weg

${}\gamma (t)=a+re^{{\mathrm {i} }t}\,$

die Gleichheit

${}f(a)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}dz={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}dt\,.$

Beweis

Die erste Gleichung ist die Integralformel von Cauchy. Mit dem angegebenen Weg ${}\gamma (t)=a+re^{{\mathrm {i} }t}$ ist ${}\gamma '(t)=r{\mathrm {i} }e^{{\mathrm {i} }t}$ und damit ist

${}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}}{re^{{\mathrm {i} }t}}}r{\mathrm {i} }e^{{\mathrm {i} }t}dt={\mathrm {i} }\int _{0}^{2\pi }f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}dt\,.$

$\Box$

Diese Aussage wird insbesondere auf holomorphe Funktionen ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ und abgeschlossene Kreisscheiben ${}B\left(a,r\right)\subseteq U$ angewendet, wo die Holomorphie sichert, dass die Funktion auf dem Rand stetig ist. Der folgende Satz heißt Maximumsprinzip.

Satz

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft: Es gebe einen Punkt ${}a\in G$ mit

${}\vert {f(z)}\vert \leq \vert {f(a)}\vert \,$

für alle ${}z\in G$.

Dann ist ${}f$ konstant.

Beweis

Wir zeigen, dass ${}f$ in einer offenen Kreisscheibenumgebung von ${}a$ konstant ist und daher wegen Korollar 14.8 überhaupt konstant ist. Es sei

${}B\left(a,r\right)\subseteq U\,.$

Mit Lemma 14.9 ist dann

${}{\begin{aligned}\vert {f(a)}\vert &=\vert {{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}dt}\vert \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\vert {f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}}\vert dt\\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\vert {f(a)}\vert dt\\&=\vert {f(a)}\vert ,\end{aligned}}$

daher muss hier sogar überall Gleichheit gelten. Dies bedeutet insbesondere

${}\int _{0}^{2\pi }\vert {f(a)}\vert -\vert {f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}}\vert dt=0\,,$

wobei der Integrand wegen der Maximumsbedingung nichtnegativ ist. Dann ist aber nach Aufgabe 23.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) der Integrand bereits konstant gleich ${}0$. Dies gilt auch für jeden Radius ${}\leq r$, und daher ist überhaupt ${}\vert {f(z)}\vert =\vert {f(a)}\vert$ in einer offenen Umgebung von ${}a$. Aus Korollar 3.8 ergibt sich, dass ${}f$ selbst in der Umgebung konstant ist.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion und ${}B\left(a,r\right)\subseteq U$.

Dann wird das Maximum von ${}\vert {f(z)}\vert$ auf ${}B\left(a,r\right)$ auf dem Rand von ${}B\left(a,r\right)$ angenommen.

Beweis

Wegen der Kompaktheit der abgeschlossenen Kreisscheibe nimmt die stetige Funktion ${}f$ nach Satz 14.10 ihr Maximum an, sagen wir im Punkt ${}P\in B\left(a,r\right)$. Nach Satz 14.10 kann dieser Punkt (außer bei ${}f$ konstant) nicht auf der offenen Kreisscheibe, sondern muss auf dem Rand liegen.

$\Box$

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