Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 15

Der Satz von Liouville

Lemma

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorph mit der Potenzreihenenwicklung

${}f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,$

im Punkt ${}a\in U$. Es sei ${}B\left(a,r\right)\subseteq U$ und es sei ${}B$ eine Schranke für ${}\vert {f(z)}\vert$ auf dem Rand von ${}B\left(a,r\right)$.

Dann gilt

${}\vert {c_{n}}\vert \leq {\frac {B}{r^{n}}}\,.$

Beweis

In der Situation von Satz 14.1 ist

${}c_{n}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz\,.$

Mit der Abschätzung

${}\vert {\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}\vert \leq {\frac {B}{r^{n+1}}}\,$

erhalten wir mit Lemma 12.10

${}{\begin{aligned}\vert {c_{n}}\vert &={\frac {1}{2\pi }}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz}\vert \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\cdot 2\pi r\cdot {\frac {B}{r^{n+1}}}\\&={\frac {B}{r^{n}}}.\end{aligned}}$

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Der folgende Satz heißt Satz von Liouville.

Satz

Es sei ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion, die beschränkt sei.

Dann ist ${}f$ konstant.

Beweis

Es sei ${}\vert {f(z)}\vert \leq B$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$. Man kann dann Lemma 15.1 für die Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ (für einen beliebigen Entwicklungspunkt ${}a$) für jeden Radius ${}r$ anwenden und erhält

${}\vert {c_{n}}\vert \leq {\frac {B}{r^{n}}}\,,$

woraus ${}c_{n}=0$ für alle ${}n\geq 1$ folgt.

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Beispiel

Die komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ und die offene Kreisscheibe ${}U{\left(0,1\right)}$ sind nicht biholomorph, da jede holomorphe Funktion ${}{\mathbb {C} }\rightarrow U{\left(0,1\right)}$ nach Satz 15.2 konstant ist.

Es gilt nicht, dass unter einer nichtkonstanten holomorphen Abbildung nichtbeschränkte Mengen auf nichtbeschränkte Mengen abgebildet werden. Beispielsweise ist die obere Halbebene, die ja unbeschränkt ist, nach Lemma 2.10 biholomorph zur offenen Einheitskreisscheibe. Der Satz von Liouville gilt entsprechend, wenn man aus ${}{\mathbb {C} }$ eine diskrete Teilmenge herausnimmt, siehe Aufgabe 18.24.

Mit dem Satz von Liouville kann man einen einfachen Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra geben.

Satz

Jedes nichtkonstante Polynom ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen

besitzt eine Nullstelle.

Beweis

Wir nehmen an, dass ${}P$ keine Nullstelle besitzt. Dann ist ${}{\frac {1}{P(z)}}$ eine ganze Funktion. Für ${}z\rightarrow \infty$ geht aber ${}\vert {P(z)}\vert$ gegen ${}\infty$ und insbesondere ist

${}\vert {P(z)}\vert \geq 1\,$

für ${}\vert {z}\vert$ hinreichend groß, siehe Aufgabe 1.12, sagen wir für ${}\vert {z}\vert \geq c$. Daher ist

${}\vert {\frac {1}{P(z)}}\vert \leq 1\,$

für ${}\vert {z}\vert \geq c$ und für ${}\vert {z}\vert \leq c$ ist ${}\vert {\frac {1}{P(z)}}\vert$ nach Satz 36.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ebenfalls beschränkt. Also ist ${}{\frac {1}{P(z)}}$ beschränkt im Widerspruch zu Satz 15.2.

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Lokale Beschreibung von holomorphen Funktionen

Wir fragen uns, inwiefern man eine holomorphe Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ lokal in einem Punkt ${}P\in U$ nach einem biholomorphen Koordinatenwechsel auf eine besonders einfache Gestalt bringen kann. Das bedeutet, wir suchen offene Mengen ${}P\in V\subseteq U$ und ${}V'\subseteq {\mathbb {C} }$ und biholomorphe Abbildungen ${}\theta \colon V\rightarrow V'$ und ${}\varphi \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ derart, dass die untere horizontale Abbildung in dem kommutativen Diagramm

${\begin{matrix}V&{\stackrel {f}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&\\\!\!\!\!\!\theta \!\!\!\downarrow &&\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\V'&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

möglichst einfach ist.

Satz

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge, ${}P\in U$ ein Punkt und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkonstante holomorphe Funktion.

Dann gibt es eine offene Umgebung ${}P\in V\subseteq U$ derart, dass die Einschränkung von ${}f$ auf ${}V$ biholomorph äquivalent zu einer Potenzabbildung ist.

Das bedeutet, dass es ein ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ und biholomorphe Abbildungen

$\theta \colon V\longrightarrow V'$

mit ${}V'\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Kreisscheibe um ${}0$ und eine Verschiebung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

derart gibt, dass

${}\varphi \circ f\circ \theta ^{-1}=w^{k}\,$

auf ${}V'$ gilt (wobei ${}w$ die Variable auf ${}V'$ bezeichnet).

Beweis

Wir wählen für ${}V$ eine Kreisscheibenumgebung von ${}P$, auf der ${}f$ durch eine Potenzreihe dargestellt wird. Die Potenzreihe sei ${}c_{0}+\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n}$ mit ${}c_{1},\ldots ,c_{k-1}=0$ und ${}c_{k}\neq 0$. Durch eine Verschiebung im Ausgangsbereich und im Bildbereich können wir ${}P=0$ und ${}c_{0}=0$ annehmen. Die Potenzreihe kann man also als

${}\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}z^{n}=z^{k}{\left(\sum _{m=0}^{\infty }c_{m+k}z^{m}\right)}=z^{k}g(z)\,$

mit ${}g(0)\neq 0$ schreiben. Nach Satz 5.10 gibt es eine holomorphe Funktion ${}h$ mit ${}g=h^{k}$ und damit ist auch ${}f=(zh)^{k}$. Die Abbildung ${}\theta (z)=zh(z)$ besitzt die Ableitung ${}h(z)+zh'(z)$ und hat in ${}0$ den Wert ${}h(0)\neq 0$. Daher ist ${}\theta$ nach Korollar 5.3 in einer geeigneten offenen Umgebung ${}V$ von ${}0$ biholomorph zu einer offenen Kreisscheibe ${}V'$. Mit der Variablen ${}w$ auf ${}V'$ ist dann

${}f(\theta ^{-1}(w))={\left(\theta ^{-1}(w)h(\theta ^{-1}(w))\right)}^{k}={\left(\theta {\left(\theta ^{-1}(w)\right)}\right)}^{k}=w^{k}\,.$

$\Box$

Man kann also sagen, dass nach einem biholomorphen Koordinatenwechsel lokal jede holomorphe Abbildung ${}\neq 0$ eine Potenzierung ist. Diese lokale Beschreibung der Funktion nennen wir ihre lokale Normalform, und das ${}k$ nennen wir den lokalen Exponenten der Funktion im Punkt ${}P$. Man spricht, je nach Kontext, auch vom Verzweigungsindex oder von der Ordnung. Wenn die Ableitung ${}f'(P)\neq 0$ ist, so kann man den Satz über die lokale Umkehrabbildung anwenden und in einem solchen Punkt ist ${}k=1$, dies ist der Standardfall. Nur für die Punkte einer diskreten Teilmenge kann ${}k\geq 2$ sein, siehe Aufgabe 15.11.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge, ${}P\in U$ ein Punkt und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkonstante holomorphe Funktion.

Dann ist der lokale Exponent von ${}f$ in ${}P$ genau dann ${}\geq 2$, wenn ${}f'(P)=0$ ist.

Beweis

Es sei ${}k$ der lokale Exponent. Aufgrund der Kettenregel kann man in Satz 15.5 die Ableitung ${}f'(P)$ mit der Ableitung der komplexen Potenzierung ${}w\mapsto w^{k}$ in Beziehung setzen. Da ${}\theta$ und ${}\varphi$ biholomorph sind, verschwindet ihre Ableitung nirgendwo und daher muss man nur noch das komplexe Potenzieren betrachten, wofür die Aussage klar ist.

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Allgemeiner kann man den lokalen Exponenten über die Nullstellenordnung der Ableitung charakterisieren, siehe Aufgabe 15.8.

Beispiel

Es sei

${}f(z)=z^{3}+7z-3\,.$

Dann ist

${}f'(z)=3z^{2}+7\,$

und die beiden Nullstellen von ${}f'$ sind

${}z=\pm {\sqrt {\frac {7}{3}}}{\mathrm {i} }\,.$

In diesen beiden Punkten ist der lokale Exponent gleich ${}2$, in allen weiteren Punkten gleich ${}1$.

Der folgende Offenheitssatz ist eine Verallgemeinerung von Lemma 5.5.

Satz

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkonstante holomorphe Funktion auf einer zusammenhängenden offenen Teilmenge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$.

Dann ist ${}f$ offen.

Beweis

Der Zusammenhang stellt in Verbindung mit Satz 14.6 sicher, dass die Funktion nirgendwo konstant ist. Es sei ${}V\subseteq U$ eine offene Teilmenge und ${}P\in V$ ein Punkt. Aufgrund von Satz 15.5 gibt es eine offene Umgebung ${}P\in W\subseteq V$, auf der die Abbildung biholomorph äquivalent zu einer Potenzabbildung ist. Das Bild einer Kreisscheibe ${}U{\left(0,r\right)}$ unter ${}z\mapsto z^{k}$ ist aber

${}{\left\{z^{k}\mid \vert {z}\vert <r\right\}}={\left\{w\mid \vert {w}\vert <r^{k}\right\}}\,$

und somit selbst eine offene Kreisscheibe. Daher ist ${}\varphi (W)$ offen in ${}{\mathbb {C} }$. Die Vereinigung solcher offener Mengen zeigt, dass das Bild von ${}V$ offen ist.

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Im Gegensatz zu Korollar 5.3 erfordert die folgende Aussage keine Voraussetzung an die Ableitung.

Satz

Es seien ${}U,V\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und sei ${}f\colon U\rightarrow V$ eine bijektive holomorphe Funktion.

Dann ist auch die Umkehrfunktion ${}f^{-1}\colon V\rightarrow U$ holomorph.

Beweis

Aufgrund der Bijektivität ist die Funktion ${}f$ nirgendwo konstant, wir können also Satz 15.5 anwenden. Da die Funktionen ${}z\mapsto z^{k}$ bei ${}k\geq 2$ in keiner offenen Umgebung des Nullpunktes injektiv sind, muss stets ${}k=1$ sein. Damit ist nach Lemma 15.6 ${}f'(P)\neq 0$ in jedem Punkt ${}P\in U$ und somit ist nach Korollar 5.3 die Umkehrfunktion ebenfalls holomorph.

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Lemma

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion auf einer offenen Menge ${}U$, und sei ${}f$ injektiv.

Dann ist die Ableitung nullstellenfrei.

Beweis

Es sei ${}a\in U$. Nach Satz 15.5 wird ${}f$ in einer offenen Umgebung ${}V$ von ${}a$ nach einer biholomorphen Abbildung durch eine komplexe Potenzierung ${}w\mapsto w^{k}$ beschrieben. Diese ist dann auch injektiv, was ${}k=1$ bedeutet. Nach Lemma 15.6 ist dann ${}f'(a)\neq 0$.

$\Box$

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