Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 15



Übungsaufgaben

Zeige, dass der Satz von Liouville nicht für eine offene Kreisscheibe gilt.



Zeige, dass die punktierte komplexe Ebene und die punktierte offene Kreisscheibe nicht biholomorph zueinander sind.





Es seien zwei komplexe (bzw. reelle) Polynome und

die zugehörige Abbildung. Die Determinante der Jacobi-Matrix zu sei in jedem Punkt von verschieden.

  1. Zeige, dass bei die Determinante konstant ist.
  2. Zeige durch ein Beispiel, dass bei die Determinante nicht konstant sein muss.



Es sei eine ganze Funktion. Zeige, dass das Bild von dicht in ist.



Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne von Satz 15.5 der Funktion

in jedem Punkt .



Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne von Satz 15.5 der komplexen Exponentialfunktion

in jedem Punkt .


Zu einer nichtkonstanten holomorphen Funktion

auf einem Gebiet und einem Punkt nennt man dasjenige mit

und

die Nullstellenordnung von in .



Es sei ein Gebiet, ein Punkt und sei nicht konstant. Zeige, dass der lokale Exponent von in mit der Nullstellenordnung von in übereinstimmt.



Bestimme den lokalen Exponenten eines Polynoms

(mit verschiedenen ) in den Punkten .



Bestimme den lokalen Exponenten eines Polynoms , dessen Ableitung durch

(mit verschiedenen ) gegeben ist, in jedem Punkt .



Es sei eine zusammenhängende offene Teilmenge und eine nichtkonstante holomorphe Funktion. Zeige, dass die Menge der Punkte , für die der lokale Exponent ist, diskret ist.



Es sei eine zusammenhängende offene Teilmenge, ein Punkt und eine nichtkonstante holomorphe Funktion. Zeige, dass der lokale Exponent von im Punkt mit der Ordnung von in Ring der konvergenten Potenzreihen übereinstimmt.



Es sei eine zusammenhängende offene Teilmenge, ein Punkt und eine nichtkonstante holomorphe Funktion mit . Es sei der lokale Exponent von im Punkt und sei

der zugehörige Ringhomomorphismus zwischen den konvergenten Potenzreihenringen. Zeige, dass

für alle gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine ganze Funktion. Es gelte eine Abschätzung der Form

für alle mit für ein . Zeige, dass eine Polynomfunktion vom Grad ist.



Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne von Satz 15.5 der komplexen Sinusfunktion

in jedem Punkt .



Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine zusammenhängende offene Teilmenge und eine nichtkonstante holomorphe Funktion. Zeige, dass es zu jedem Punkt eine offene Umgebung derart gibt, dass die Anzahl der Punkte in den Fasern zu , , konstant ist.



Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei eine zusammenhängende offene Teilmenge, ein Punkt und seien , nichtkonstante holomorphe Funktion, deren lokaler Exponent gleich bzw. sei.

  1. Zeige, dass der lokale Exponent von zumindest ist (es sei ).
  2. Zeige, dass der lokale Exponent von zwischen und liegt.




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