Holomorphe Funktion/C/Lokale Beschreibung/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge, ${}P\in U$ ein Punkt und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkonstante holomorphe Funktion.

Dann gibt es eine offene Umgebung ${}P\in V\subseteq U$ derart, dass die Einschränkung von ${}f$ auf ${}V$ biholomorph äquivalent zu einer Potenzabbildung ist.

Das bedeutet, dass es ein ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ und biholomorphe Abbildungen

$\theta \colon V\longrightarrow V'$

mit ${}V'\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Kreisscheibe um ${}0$ und eine Verschiebung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

derart gibt, dass

${}\varphi \circ f\circ \theta ^{-1}=w^{k}\,$

auf ${}V'$ gilt (wobei ${}w$ die Variable auf ${}V'$ bezeichnet).

Beweis

Wir wählen für ${}V$ eine Kreisscheibenumgebung von ${}P$, auf der ${}f$ durch eine Potenzreihe dargestellt wird. Die Potenzreihe sei ${}c_{0}+\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n}$ mit ${}c_{1},\ldots ,c_{k-1}=0$ und ${}c_{k}\neq 0$. Durch eine Verschiebung im Ausgangsbereich und im Bildbereich können wir ${}P=0$ und ${}c_{0}=0$ annehmen. Die Potenzreihe kann man also als

${}\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}z^{n}=z^{k}{\left(\sum _{m=0}^{\infty }c_{m+k}z^{m}\right)}=z^{k}g(z)\,$

mit ${}g(0)\neq 0$ schreiben. Nach Fakt gibt es eine holomorphe Funktion ${}h$ mit ${}g=h^{k}$ und damit ist auch ${}f=(zh)^{k}$. Die Abbildung ${}\theta (z)=zh(z)$ besitzt die Ableitung ${}h(z)+zh'(z)$ und hat in ${}0$ den Wert ${}h(0)\neq 0$. Daher ist ${}\theta$ nach Fakt in einer geeigneten offenen Umgebung ${}V$ von ${}0$ biholomorph zu einer offenen Kreisscheibe ${}V'$. Mit der Variablen ${}w$ auf ${}V'$ ist dann

${}f(\theta ^{-1}(w))={\left(\theta ^{-1}(w)h(\theta ^{-1}(w))\right)}^{k}={\left(\theta {\left(\theta ^{-1}(w)\right)}\right)}^{k}=w^{k}\,.$

$\Box$

Man kann also sagen, dass nach einem biholomorphen Koordinatenwechsel lokal jede holomorphe Abbildung ${}\neq 0$ eine Potenzierung ist. Diese lokale Beschreibung der Funktion nennen wir ihre lokale Normalform, und das ${}k$ nennen wir den lokalen Exponenten der Funktion im Punkt ${}P$. Man spricht, je nach Kontext, auch vom Verzweigungsindex oder von der Ordnung. Wenn die Ableitung ${}f'(P)\neq 0$ ist, so kann man den Satz über die lokale Umkehrabbildung anwenden und in einem solchen Punkt ist ${}k=1$, dies ist der Standardfall. Nur für die Punkte einer diskreten Teilmenge kann ${}k\geq 2$ sein, siehe Aufgabe.