Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 12

Wegintegrale

Definition

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge und ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{}(G,W)$ eine messbare ${}W$-wertige Differentialform. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow G$

eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt

${}\int _{\gamma }\omega =\int _{[a,b]}\gamma ^{*}\omega =\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))\,dt\,$

das Wegintegral von ${}\omega$ längs ${}\gamma$.

Dabei ist ${}\gamma ^{*}\omega$ der Rückzug der Differentialform ${}\omega$ auf das reelle Intervall ${}[a,b]$, der die Gestalt ${}g(t)dt$ mit einer messbaren Abbildung

$g\colon [a,b]\longrightarrow W$

besitzt. Integriert wird dann die Abbildung ${}g$ über die Komponenten. Wichtig sind insbesondere stetige Differentialformen. Wenn der Weg nur stetig und stückweise stetig differenzierbar ist, so definiert man das Wegintegral als Summe der Wegintegrale zu den stetig differenzierbaren Teilwegen. Für ${}W$ sind hauptsächlich die Fälle ${}W=\mathbb {R}$ oder ${}W={\mathbb {C} }$ relevant. Die Differentialformen werden zumeist stetig und nicht nur messbar sein.

Bemerkung  

Im physikalischen Kontext beschreibt eine reellwertige ${}1$- Differentialform (bzw. ihre duale Version, ein Vektorfeld) eine Kraft; das Wegintegral ist dann der Arbeitsaufwand oder die Energie, die gebraucht oder freigesetzt wird, wenn sich ein Teilchen auf dem Weg bewegt.

Bemerkung  

Ein Wegintegral wird folgendermaßen berechnet. Es sei ${}\omega$ eine reellwertige ${}1$-Form auf ${}G\subseteq V$ offen in einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum, auf dem eine Basis mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ fixiert sei. Die Differentialform ist dann nach Lemma 11.3 als

${}\omega =f_{1}dx_{1}+\cdots +f_{n}dx_{n}\,$

gegeben, wobei die ${}f_{j}\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }$ messbare Funktionen sind. Es sei eine stetig differenzierbare Kurve ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow G$ gegeben mit den (stetig differenzierbaren) Komponentenfunktionen ${}\gamma _{j}$. Die Ableitung in einem Punkt ${}t\in [a,b]$ wird dann nach Lemma 37.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) durch den Vektor ${}\left(\gamma _{1}'(t),\,\ldots ,\,\gamma _{n}'(t)\right)$ beschrieben. Die zurückgezogene Differentialform ${}\gamma ^{*}\omega$ hat dann im Punkt ${}t$ in Richtung ${}1$ den Wert

${}{\begin{aligned}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))&={\left(f_{1}(\gamma (t))dx_{1}+\cdots +f_{n}(\gamma (t))dx_{n}\right)}{\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t)\\\vdots \\\gamma _{n}'(t)\end{pmatrix}}\\&=f_{1}(\gamma (t))\gamma _{1}'(t)+\cdots +f_{n}(\gamma (t))\gamma _{n}'(t).\end{aligned}}$

Im mittleren Ausdruck wird eine Linearform auf einen Vektor angewendet. In ${}f_{j}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ wird also ${}x_{i}$ durch ${}\gamma _{i}(t)$ und ${}dx_{i}$ durch ${}\gamma _{i}'(t)dt$ ersetzt. Das Gesamtergebnis ist eine messbare ${}1$-Form auf ${}[a,b]$ bzw. eine messbare Funktion von ${}[a,b]$ nach ${}{\mathbb {K} }$, die man integrieren kann.

Bemerkung  

In der Situation von Bemerkung 12.3 sei ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ und sei eine komplexe Basis mit den zugehörigen komplexwertigen Koordinatenfunktionen ${}z_{1},\ldots ,z_{n}$ und den zugehörigen reellwertigen Koordinatenfunktionen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ und ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ mit ${}z_{j}=x_{j}+y_{j}{\mathrm {i} }$. Die Differentialform kann man in der Form

${}{\begin{aligned}\omega &=f_{1}dz_{1}+\cdots +f_{n}dz_{n}\\&={\left(g_{1}+h_{1}{\mathrm {i} }\right)}d{\left(x_{1}+y_{1}{\mathrm {i} }\right)}+\cdots +{\left(g_{n}+h_{n}{\mathrm {i} }\right)}d{\left(x_{n}+y_{n}{\mathrm {i} }\right)}\\&={\left(g_{1}dx_{1}-h_{1}dy_{1}+\cdots +g_{n}dx_{n}-h_{n}dy_{n}\right)}+{\mathrm {i} }{\left(g_{1}dy_{1}+h_{1}dx_{1}+\cdots +g_{n}dy_{n}+h_{n}dx_{n}\right)}\end{aligned}}$

schreiben. Mit

${}\gamma _{j}=\alpha _{j}+{\mathrm {i} }\beta _{j}\,$

ist für den Integranden

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\omega (\gamma (t);\gamma '(t))\\&=f_{1}(\gamma (t))\gamma _{1}'(t)+\cdots +f_{n}(\gamma (t))\gamma _{n}'(t)\\&={\left(g_{1}(\gamma (t))+h_{1}(\gamma (t)){\mathrm {i} }\right)}{\left(\alpha _{1}'(t)+{\mathrm {i} }\beta _{1}'(t)\right)}+\cdots +{\left(g_{n}(\gamma (t))+h_{n}(\gamma (t)){\mathrm {i} }\right)}{\left(\alpha '_{n}(t)+{\mathrm {i} }\beta '_{n}(t)\right)}\\&={\left(g_{1}(\gamma (t))\alpha _{1}'(t)-h_{1}(\gamma (t))\beta _{1}'(t)+\cdots +g_{n}(\gamma (t))\alpha _{n}'(t)-h_{n}(\gamma (t))\beta _{n}'(t)\right)}+{\mathrm {i} }{\left(g_{1}(\gamma (t))\beta _{1}'(t)+h_{1}(\gamma (t))\alpha _{1}'(t)+\cdots +g_{n}(\gamma (t))\beta _{n}'(t)+h_{n}(\gamma (t))\alpha _{n}'(t)\right)}.\,\end{aligned}}$

Es macht also keinen Unterschied, ob man mit der komplexen Differentialform das Wegintegral im Sinne von Bemerkung 12.3 oder mit der reell formulierten Differentialform berechnet.

Beispiel

Wir betrachten die holomorphe Differentialform ${}z^{2}dz$ und den Weg

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto t^{2}-t{\mathrm {i} }.$

Es ist ${}\gamma '(t)=2t-{\mathrm {i} }$ und somit ist

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }z^{2}dz&=\int _{0}^{1}(\gamma (t))^{2}\cdot \gamma '(t)dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(t^{2}-t{\mathrm {i} }\right)}^{2}{\left(2t-{\mathrm {i} }\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(t^{4}-t^{2}-2{\mathrm {i} }t^{3}\right)}{\left(2t-{\mathrm {i} }\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(2t^{5}-2t^{3}-2t^{3}+{\left(-t^{4}+t^{2}-4t^{4}\right)}{\mathrm {i} }\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(2t^{5}-4t^{3}+{\left(-5t^{4}+t^{2}\right)}{\mathrm {i} }\right)}dt\\&=\left({\frac {1}{3}}t^{6}-t^{4}\right)|_{0}^{1}+{\mathrm {i} }\left(-t^{5}+{\frac {1}{3}}t^{3}\right)|_{0}^{1}\\&=-{\frac {2}{3}}-{\frac {2}{3}}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$

Beispiel

Ein wichtiges Standardbeispiel ist die holomorphe Differentialform ${}{\frac {dz}{z}}$ auf ${}U={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Längs des Einheitskreises mit der trigonometrischen Parametrisierung

$\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,t\longmapsto \cos t+{\mathrm {i} }\sin t,$

ist

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z}}&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{\cos t+{\mathrm {i} }\sin t}}{\left(-\sin t+{\mathrm {i} }\cos t\right)}dt\\&={\mathrm {i} }\int _{0}^{2\pi }{\left(\cos t-{\mathrm {i} }\sin t\right)}{\left(\cos t+{\mathrm {i} }\sin t\right)}dt\\&={\mathrm {i} }\int _{0}^{2\pi }\cos ^{2}t+\sin ^{2}tdt\\&={\mathrm {i} }\int _{0}^{2\pi }1dt\\&=2\pi {\mathrm {i} }.\end{aligned}}$

Den trigonometrisch parametrisierten (einfachen) Kreisweg (egal, ob mit ${}[0,1]$ oder mit ${}[0,2\pi ]$ als Definitionsintervall) nennen wir auch die Standardumrundung um den Punkt ${}P$ mit Radius ${}r$.

Lemma

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und seien ${}\omega ,\tau$ stetige Differentialformen auf ${}U$ mit Werten in ${}W$. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

eine (stückweise) stetig differenzierbare Kurve. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für ${}r,s\in {\mathbb {K} }$ ist

   ${}\int _{\gamma }r\omega +s\tau =r\int _{\gamma }\omega +s\int _{\gamma }\tau \,.$

2. Es ist

   ${}\int _{-\gamma }\omega =-\int _{\gamma }\omega \,,$

   wobei ${}-\gamma$ den umgekehrt durchlaufenen Weg bezeichnet.

3. Wenn

   $\delta \colon [b,c]\longrightarrow U$

   ein weiterer (stückweise) stetig differenzierbarer Weg mit ${}\delta (b)=\gamma (b)$ ist, so ist

   ${}\int _{\gamma *\delta }\omega =\int _{\gamma }\omega +\int _{\delta }\omega \,,$

   wobei ${}\gamma *\delta$ den aneinander gelegten Weg bezeichnet.

Beweis

Siehe Aufgabe 12.7.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige ${}1$- Differentialform auf ${}U$. Es sei ${}U'\subseteq V'$ eine offene Menge in einem weiteren endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum und

$\varphi \colon U'\longrightarrow U$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U'$

ein stückweise stetig differenzierbarer Weg.

Dann ist

${}\int _{\gamma }\varphi ^{*}\omega =\int _{\varphi \circ \gamma }\omega \,.$

Beweis

Wir können davon ausgehen, dass ${}\gamma$ stetig differenzierbar ist. Dann ergibt sich die Aussage unter Verwendung von Lemma 11.16 direkt aus

${}\int _{\varphi \circ \gamma }\omega =\int _{a}^{b}(\varphi \circ \gamma )^{*}\omega =\int _{a}^{b}\gamma ^{*}{\left(\varphi ^{*}\omega \right)}=\int _{\gamma }\varphi ^{*}\omega \,.$

$\Box$

Lemma

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge und ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{}(G,W)$ eine messbare ${}W$-wertige Differentialform. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow G$

eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei

$g\colon [c,d]\longrightarrow [a,b]$

eine bijektive, monoton wachsende, stetig differenzierbare Funktion und sei ${}{\tilde {\gamma }}=\gamma \circ g$.

Dann gilt

${}\int _{\gamma }\omega =\int _{\tilde {\gamma }}\omega \,.$

Beweis

Wegen Lemma 11.16 können wir direkt davon ausgehen, dass ${}\omega$ eine Differentialform auf ${}[a,b]$ ist, also ${}\omega =gdt$. Durch Betrachten der Komponentenfunktionen (siehe Aufgabe 12.8) können wir weiter davon ausgehen, dass ${}W=\mathbb {R}$ ist. Die Aussage folgt somit aus der Substitutionsregel.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale normierte ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige stetige ${}1$- Differentialform auf ${}U$. Es sei ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ein stetig differenzierbarer Weg und sei ${}B$ eine obere Schranke für ${}\Vert {\omega (P)}\Vert _{\text{max}}$ auf ${}\gamma ([a,b])$.

Dann gilt die Abschätzung

${}\Vert {\int _{\gamma }\omega }\Vert \leq B\cdot L(\gamma )\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 12.11.

$\Box$

Wegintegrale und exakte Differentialformen

Satz

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige stetige ${}1$- Differentialform auf ${}U$. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U'$

ein stückweise stetig differenzierbarer Weg. Es sei ${}\omega$ exakt mit der Stammform ${}\varphi$.

Dann ist

${}\int _{\gamma }\omega =\varphi (\gamma (b))-\varphi (\gamma (a))\,.$

Beweis

Unter Verwendung von Aufgabe 11.23, Lemma 11.3 und Korollar 24.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\int _{\gamma }d\varphi \\&=\int _{a}^{b}\gamma ^{*}(d\varphi )\\&=\int _{a}^{b}d{\left(\gamma ^{*}\varphi \right)}\\&=\int _{a}^{b}d{\left(\varphi \circ \gamma \right)}\\&=\int _{a}^{b}{\left(\varphi \circ \gamma \right)}'dt\\&=\varphi (\gamma (b))-\varphi (\gamma (a)).\end{aligned}}$

$\Box$

Korollar

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine exakte ${}W$-wertige stetige ${}1$- Differentialform auf ${}U$. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U'$

ein stückweise stetig differenzierbarer geschlossener Weg.

Dann ist

${}\int _{\gamma }\omega =0\,.$

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Satz 12.11.

$\Box$

Beispiel

Aus Beispiel 12.6 und Korollar 12.12 folgt, dass die holomorphe Differentialform ${}{\frac {dz}{z}}$ nicht exakt ist, sie ist allerdings aufgrund von Lemma 11.13 geschlossen.

Satz

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige stetige ${}1$- Differentialform auf ${}U$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es ist ${}\omega$ exakt.
2. Für jeden stetig differenzierbaren Weg ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ hängt das Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ nur vom Anfangspunkt ${}\gamma (a)$ und Endpunkt ${}\gamma (b)$ ab.

Beweis

Die Implikation ${}(1)\Rightarrow (2)$ folgt aus Satz 12.11.
Es sei umgekehrt die Eigenschaft ${}(2)$ erfüllt. Wir können nach Aufgabe 12.8 annehmen, dass ${}W=\mathbb {R}$ ist. Wir geben eine auf ${}U$ definierte Funktion ${}\varphi$ an, die total differenzierbar ist und deren totales Differential gleich der vorgegebenen Form ${}\omega$ ist. Dazu sei ein Punkt ${}P\in U$ fixiert. Für jeden Punkt ${}Q\in U$ gibt es einen stetig differenzierbaren Weg

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

mit ${}\gamma (a)=P$ und ${}\gamma (b)=Q$. Wir setzen

${}\varphi (Q):=\int _{\gamma }\omega \,.$

Aufgrund der vorausgesetzten Wegunabhängigkeit des Integrals ist ${}\varphi (Q)$ wohldefiniert. Wir zeigen zuerst, dass diese so definierte Funktion in jedem Punkt ${}Q\in U$ und in jede Richtung ${}v\in V$ differenzierbar ist und die Richtungsableitung mit ${}\omega (Q,v)$ übereinstimmt. Dazu betrachten wir

${}\varphi (Q+tv)-\varphi (Q)=\int _{\delta }\omega =\int _{0}^{t}\omega (Q+sv,v)ds\,,$

wobei ${}\delta$ der verbindende lineare Weg von ${}Q$ nach ${}Q+tv$ auf ${}[0,t]$ sei (und ${}t$ hinreichend klein sei, sodass ${}Q+tv\in U$ ist). Für den Differentialquotienten ist

${}{\begin{aligned}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {\varphi (Q+tv)-\varphi (Q)}{t}}&=\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\omega (Q+sv,v)ds\\&=\omega (Q,v)\end{aligned}}$

nach Satz 24.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)). Somit existiert die Richtungsableitung von ${}\varphi$ in Richtung ${}v$ und hängt, wegen der Stetigkeit der Differentialform, stetig von ${}Q$ ab. Daher ist ${}\varphi$ stetig differenzierbar und somit nach Satz 46.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) auch total differenzierbar. Die letzte Gleichung bedeutet dann

${}{\left(D\varphi \right)}_{Q}{\left(v\right)}={\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(Q\right)}=\omega (Q,v)\,,$

sodass ${}\omega$ exakt mit der Stammform ${}\varphi$ ist.

$\Box$

Definition

Eine Teilmenge ${}T\subseteq V$ in einem reellen Vektorraum ${}V$ heißt sternförmig bezüglich eines Punktes ${}P\in T$, wenn für jeden Punkt ${}Q\in T$ die Verbindungsstrecke ${}sQ+(1-s)P$, ${}s\in [0,1]$, ganz in ${}T$ liegt.

Satz

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine sternförmige offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige stetig differenzierbare ${}1$- Differentialform auf ${}U$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es ist ${}\omega$ exakt.
2. Es ist ${}\omega$ geschlossen.
3. Für jeden stetig differenzierbaren Weg ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ hängt das Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ nur vom Anfangspunkt ${}\gamma (a)$ und Endpunkt ${}\gamma (b)$ ab.

Beweis

Die Äquivalenz ${}(1)\Longleftrightarrow (3)$ folgt aus Satz 12.14 und die Implikation ${}(1)\Longrightarrow (2)$ aus Lemma 11.12. Es bleibt also ${}(2)\Longrightarrow (1)$ zu zeigen, wobei wir explizit eine Stammform ${}\varphi$ zur Differentialform ${}\omega$ angeben. Es sei ${}P\in U$ ein Punkt derart, dass ${}U$ bezüglich ${}P$ sternförmig ist. Wir definieren ${}\varphi (Q)$ über das Wegintegral zu ${}\omega$ zum linearen Verbindungsweg

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow U,\,t\longmapsto P+t(Q-P),$

also

${}\varphi (Q):=\int _{\gamma }\omega =\int _{0}^{1}\omega (\gamma (t),Q-P)dt\,.$

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ mit den Koordinaten ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ und ohne Einschränkung sei ${}W=\mathbb {R}$. Wir schreiben

${}\omega =\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}dx_{j}\,$

mit stetig differenzierbaren Funktionen ${}\psi _{j}\colon U\rightarrow \mathbb {R}$. Wir müssen zeigen, dass die partiellen Ableitungen zu ${}\varphi$ in ${}Q$ gleich ${}\omega (Q,v_{i})=\psi _{i}(Q)$ sind. Dafür können wir ${}P=0$ annehmen und wir schreiben ${}z$ statt ${}Q$. Mit diesen Bezeichnungen und Voraussetzungen ist

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\varphi (z)&={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\left(\int _{0}^{1}\omega (tz,z)dt\right)}\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\omega (tz,z)\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\left(\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}(tz)\cdot z_{j}\right)}\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}t\sum _{j=1}^{n}z_{j}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\psi _{j}\right)}(tz)+\psi _{i}(tz)dt\\&=\int _{0}^{1}t\sum _{j=1}^{n}z_{j}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\psi _{i}\right)}(tz)+\psi _{i}(tz)dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(t\mapsto t\cdot \psi _{i}(tz)\right)}^{\prime }dt\\&={\left(t\cdot \psi _{i}(tz)\right)}{|}_{0}^{1}\\&=\psi _{i}(z).\end{aligned}}$

Dabei beruht die zweite Gleichung auf der Vertauschbarkeit von Integration und Differentiation (angewendet auf die stetig differenzierbare Funktion ${}[0,1]\times U\longrightarrow \mathbb {R}$, ${}(t,z)\longmapsto \omega (tz,z)$), die fünfte Gleichung auf der Geschlossenheit, die sechste Gleichung auf der Kettenregel und der Produktregel und die siebte Gleichung auf der Newton-Leibniz-Formel.

$\Box$

Die folgende Aussage ist eine wesentliche Verallgemeinerung von Korollar 11.9, weitere Verallgemeinerungen werden folgen, siehe Korollar 22.6.

Korollar

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine sternförmige offene Teilmenge und sei

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine stetig komplex differenzierbare Funktion.

Dann besitzt ${}f$ eine Stammfunktion, und die holomorphe Differentialform ${}fdz$ ist exakt.

Beweis

Nach Voraussetzung ist ${}fdz$ stetig komplex differenzierbar, nach Lemma 11.13 ist ${}fdz$ also geschlossen und nach wie vor stetig differenzierbar. Nach Satz 12.16 ist sie daher exakt.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine sternförmige offene Teilmenge und sei

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine stetig komplex differenzierbare Funktion.

Dann hängt für jeden stetig differenzierbaren Weg ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ das Wegintegral nur von ${}\gamma (a)$ und ${}\gamma (b)$ ab.

Beweis

Dies folgt aus Korollar 12.17 und aus Satz 12.11.

$\Box$

In Satz 14.4 werden wir sehen, dass diese beiden Aussagen allein unter der Voraussetzung komplex differenzierbar gelten.

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