Wegintegral/Vektorraum/Berechnung für 1-Form mit Basis/Werte in K/Bemerkung

Ein Wegintegral wird folgendermaßen berechnet. Es sei eine reellwertige -Form auf offen in einem endlichdimensionalen -Vektorraum, auf dem eine Basis mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen fixiert sei. Die Differentialform ist dann nach Fakt als

gegeben, wobei die messbare Funktionen sind. Es sei eine stetig differenzierbare Kurve gegeben mit den (stetig differenzierbaren) Komponentenfunktionen . Die Ableitung in einem Punkt wird dann nach Fakt durch den Vektor beschrieben. Die zurückgezogene Differentialform hat dann im Punkt in Richtung den Wert

Im mittleren Ausdruck wird eine Linearform auf einen Vektor angewendet. In wird also durch und durch ersetzt. Das Gesamtergebnis ist eine messbare -Form auf bzw. eine messbare Funktion von nach , die man integrieren kann.