Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Exakt/Charakterisierung mit Wegintegralen/Fakt/Beweis

Beweis

Die Implikation folgt aus Fakt.
Es sei umgekehrt die Eigenschaft erfüllt. Wir können nach Aufgabe annehmen, dass ist. Wir geben eine auf definierte Funktion an, die total differenzierbar ist und deren totales Differential gleich der vorgegebenen Form ist. Dazu sei ein Punkt fixiert. Für jeden Punkt gibt es einen stetig differenzierbaren Weg

mit und . Wir setzen

Aufgrund der vorausgesetzten Wegunabhängigkeit des Integrals ist wohldefiniert. Wir zeigen zuerst, dass diese so definierte Funktion in jedem Punkt und in jede Richtung differenzierbar ist und die Richtungsableitung mit übereinstimmt. Dazu betrachten wir

wobei der verbindende lineare Weg von nach auf sei (und hinreichend klein sei, sodass ist). Für den Differentialquotienten ist

nach Fakt. Somit existiert die Richtungsableitung von in Richtung und hängt, wegen der Stetigkeit der Differentialform, stetig von ab. Daher ist stetig differenzierbar und somit nach Fakt auch total differenzierbar. Die letzte Gleichung bedeutet dann

sodass exakt mit der Stammform ist.