Die Implikation folgt aus
Fakt.
Es sei umgekehrt die Eigenschaft erfüllt. Wir können nach
Aufgabe
annehmen, dass
ist. Wir geben eine auf definierte Funktion an, die total differenzierbar ist und deren
totales Differential
gleich der vorgegebenen Form ist. Dazu sei ein Punkt
fixiert. Für jeden Punkt
gibt es einen
stetig differenzierbaren Weg
-
mit
und .
Wir setzen
-
Aufgrund der vorausgesetzten Wegunabhängigkeit des Integrals ist wohldefiniert. Wir zeigen zuerst, dass diese so definierte Funktion in jedem Punkt
und in jede Richtung
differenzierbar
ist und die Richtungsableitung mit übereinstimmt. Dazu betrachten wir
-
wobei der verbindende lineare Weg von nach auf sei
(und hinreichend klein sei, sodass
ist).
Für den
Differentialquotienten
ist
nach
Fakt.
Somit existiert die Richtungsableitung von in Richtung und hängt, wegen der Stetigkeit der Differentialform, stetig von ab. Daher ist stetig differenzierbar und somit nach
Fakt
auch total differenzierbar. Die letzte Gleichung bedeutet dann
-
sodass exakt mit der Stammform ist.