Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 2/latex
\setcounter{section}{2}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
Wir erinnern an die folgenden Definitionen.
Ein nichtleerer
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
$X$ heißt \definitionswort {wegzusammenhängend}{,} wenn es zu je zwei Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {X
} {}
mit
\mathkor {} {\gamma(a)=x} {und} {\gamma(b) =y} {}
gibt.
Ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} heißt \definitionswort {zusammenhängend}{,} wenn es genau zwei Teilmengen von $X$ gibt \zusatzklammer {nämlich \mathkor {} {\emptyset} {und} {X} {} selbst} {} {,} die sowohl \definitionsverweis {offen}{}{} als auch \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} sind.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der $\R^n$ \definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Zeige, dass $\R^n \setminus \{P\}$
\definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ eine \definitionsverweis {offene}{}{} \zusatzklammer {oder \definitionsverweis {abgeschlossene}{}{}} {} {} \definitionsverweis {Kugel}{}{} im $\R^n$. Zeige, dass $T$ \definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_n
}
{ \in }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
endlich viele Punkte und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \R^2 \setminus \{ P_1 , \ldots , P_n \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es zu je zwei Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {[0,1]} {M
} {}
mit
\mathkor {} {\varphi(0)=P} {und} {\varphi(1)=Q} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {wegzusammenhängender}{}{} \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{U \subseteq \R^n}{} eine offene
\definitionsverweis {zusammenhängende Teilmenge}{}{.}
Zeige, dass $U$ auch
\definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{}
ist.
}
{} {}
Insbesondere braucht man bei einer offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht zwischen zusammenhängend und wegzusammenhängend zu unterscheiden.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {x^3 } {,} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} Funktion ist, deren \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} nicht differenzierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {x^3+x } {,} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} Funktion ist, die nicht \definitionsverweis {affin-linear}{}{} ist und deren \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} ebenfalls differenzierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{} einer \definitionsverweis {gebrochen-linearen Funktion}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Ableitungsfunktion}{}{}
einer
\definitionsverweis {gebrochen-linearen Funktion}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} \setminus \{ - { \frac{ d }{ c } } \} } { {\mathbb C}
} {z} { { \frac{ az+b }{ cz+d } }
} {,}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ ad-bc
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
und insbesondere die Ableitung
\zusatzklammer {bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
im Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {gebrochen-linearen Funktionen}{}{}
der Form
\mathl{z \mapsto { \frac{ z+c }{ 1+ \overline{ c }z } }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { c }
}
{ < }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die offene Kreisscheibe
\mathl{U { \left( 0,1 \right) }}{} in sich abbilden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {gebrochen-linearen Funktionen}{}{}
\mathl{z \mapsto { \frac{ az+b }{ c z+ d } }}{,} die den Rand der Einheitskreisscheibe auf sich abbilden, auf die Form
\mathdisp {\alpha \cdot { \frac{ z+\beta }{ \overline{ \beta } z +1 } }} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { \alpha }
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { \beta }
}
{ \neq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gebracht werden können.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {gebrochen-linearen Funktionen}{}{}
der Form
\mathl{z \mapsto { \frac{ az+b }{ \overline{ b } z+ \overline{ a } } }}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { a }^2 - \betrag { b }^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
eine Untergruppe der gebrochen-linearen Funktionen mit der Hintereinanderschaltung bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {gebrochen-linearen Funktionen}{}{}
der Form
\mathl{z \mapsto { \frac{ az+b }{ \overline{ b } z+ \overline{ a } } }}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { a }^2 - \betrag { b }^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die offene Kreisscheibe
\mathl{U { \left( 0,1 \right) }}{} in sich abbilden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ U { \left( 0,1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {gebrochen-lineare Funktion}{}{}
$g$ der Form
\mathl{z \mapsto { \frac{ az+b }{ \overline{ b } z+ \overline{ a } } }}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { a }^2 - \betrag { b }^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(0)
}
{ = }{ w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \neq }{ Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
komplexe Zahlen. Zeige, dass
\mathkor {} {{\mathbb C} \setminus \{P,Q\}} {und} {{\mathbb C} \setminus \{0,1\}} {}
zueinander
\definitionsverweis {biholomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {abgeschlossene}{}{}
\definitionsverweis {Kreisscheibe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B \left( 0,2 \right)
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und darauf die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {B \left( 0,2 \right) } {B \left( 0,2 \right)
} { \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix}
\operatorname{cos} \, \sqrt{a^2+b^2} \pi & - \operatorname{sin} \, \sqrt{a^2+b^2} \pi \\
\operatorname{sin} \, \sqrt{a^2+b^2} \pi & \operatorname{cos} \, \sqrt{a^2+b^2} \pi
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix}
} {.}
\aufzaehlungvier{Zeige, dass $\varphi$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}{Beschreibe die Wirkungsweise von $\varphi$ mit Worten.
}{Was sind die
\definitionsverweis {Fixpunkte}{}{}
von $\varphi$?
}{Wie ist die Wirkungsweise von $\varphi$ auf dem Einheitskreis?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} und
\mathl{Q_1 , \ldots , Q_n}{} jeweils verschiedene Punkte in der reellen Ebene $\R^2$. Skizziere einen Beweisansatz, dass
\mathkor {} {\R^2 \setminus \{ P_1 , \ldots , Q_n \}} {und} {\R^2 \setminus \{ Q_1 , \ldots , Q_n \}} {}
zueinander
\definitionsverweis {homöomorph}{}{}
sind.
}
{} {Dabei hilft
Aufgabe 2.17.}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb H} } { {\mathbb C} \setminus { \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } \leq 0 , \, \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } = 0 \right\} } } { z} { - z^2 } {,} eine \definitionsverweis {biholomorphe Abbildung}{}{} zwischen der \definitionsverweis {oberen Halbebene}{}{} ${\mathbb H}$ und der längs der negativen reellen Achse geschlitzten Ebene ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} der \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb H} } { U { \left( 0,1 \right) } } { z} { { \frac{ z- { \mathrm i} }{ z + { \mathrm i} } } } {,} und \maabbeledisp {\psi} { U { \left( 0,1 \right) } } { {\mathbb H} } {w} { { \frac{ (w+1) { \mathrm i} }{ 1-w } } } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {punktierte Kreisscheibe}{}{}
\mathl{U { \left( 0,1 \right) } \setminus \{0\}}{} und der nach außen unbeschränkte
\definitionsverweis {Kreisring}{}{}
\mathl{{\mathbb C} \setminus B \left( 0,1 \right)}{}
\definitionsverweis {biholomorph}{}{}
zueinander sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $U(r,R)$ der
\definitionsverweis {offene Kreisring}{}{}
zu den Radien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ < }{ r
}
{ < }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
um den Nullpunkt. Zeige, dass die
\definitionsverweis {komplexe Invertierung}{}{}
eine
\definitionsverweis {biholomorphe Abbildung}{}{}
\maabbdisp {} {U(r,R)} { U(R^{-1},r^{-1})
} {}
induziert.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass die Menge der
\definitionsverweis {affin-linearen Abbildungen}{}{}
auf ${\mathbb C}$, also Abbildungen der Form
\mathl{z \mapsto uz+v}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
mit der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
von Abbildungen, eine nichtkommutative
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {gebrochen-lineare Funktion}{}{}
auf ${\mathbb C}$ durch eine Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}{} mit
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
$1$ repräsentiert werden kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb H} } { U { \left( 0,1 \right) } } { z} { { \frac{ z- { \mathrm i} }{ z + { \mathrm i} } } } {,} und \maabbeledisp {\psi} { U { \left( 0,1 \right) } } { {\mathbb H} } {w} { { \frac{ (w+1) { \mathrm i} }{ 1-w } } } {,} zueinander invers sind unter Verwendung von Lemma 2.5.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $L$ eine reelle Gerade in ${\mathbb C}$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine der dadurch definierten offenen Halbebenen. Stifte eine
\definitionsverweis {biholomorphe Abbildung}{}{}
zwischen $E$ und der
\definitionsverweis {oberen Halbebene}{}{}
${\mathbb H}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5 (1+4)}
{
\aufzaehlungzwei {Charakterisiere, wann ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C} [X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {injektive Abbildung}{}{}
\maabbdisp {P} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {}
definiert.
} {Charakterisiere, wann eine rationale Funktion
\mathl{P/Q}{} eine injektive Abbildung
\maabbdisp {P/Q} { U } { {\mathbb C}
} {}
definiert
\zusatzklammer {wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der maximale Definitionsbereich sei} {} {.}
}
}
{} {Verwende den Fundamentalsatz der Algebra}