Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 22/latex
\setcounter{section}{22}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ fdz
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{}
auf $U$. Zeige, dass durch
\maabbeledisp {F} {U_\omega} { {\mathbb C}
} {(P, G(P))} { G(P)
} {,}
eine wohldefinierte Funktion auf der
\definitionsverweis {Integralüberlagerung}{}{}
$U_\omega$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ fdz
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sei
\maabb {} {[a,b]} { U
} {}
ein
\definitionsverweis {stetiger Weg}{}{}
und sei
\maabb {\theta} {[c,d]} {[a,b]
} {}
stetig mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \theta(c)
}
{ = }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \theta(d)
}
{ = }{ b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma \omega
}
{ =} { \int_{ \theta \circ \gamma} \omega
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \notin }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabb {L} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}
Zeige, dass $L$ genau dann ein
\definitionsverweis {Logarithmus}{}{}
ist, wenn $L$ ein
\definitionsverweis {Schnitt}{}{}
zur
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
\maabbdisp {\exp} {\exp^{-1}(U) } { U
} {}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \notin }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabb {L} {U} { {\mathbb C}
} {}
ein
\definitionsverweis {Logarithmus}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L (1)
}
{ =} { n e \pi { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \notin }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sei
\maabb {L} {U} { {\mathbb C}
} {}
ein
\definitionsverweis {Logarithmus}{}{}
und sei
\maabbdisp {\tilde{L}} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine weitere
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}
Zeige, dass $\tilde{L}$ genau dann ein Logarithmus ist, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{L} - L
}
{ =} { n e \pi { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexen Potenzfunktionen}{}{} zu einem ganzzahligen Exponenten $n$ unabhängig von gewählten \definitionsverweis {Logarithmus}{}{} gleich $z^n$ sind.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe ist eine Verallgemeinerung von Korollar 20.13 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {komplexe Potenzfunktion}{}{}
$z^a$
\zusatzklammer {bezüglich eines fixierten
\definitionsverweis {Logarithmus}{}{}
auf einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
die Ableitungseigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( z^a \right) }'
}
{ =} { a z^{a-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U,V
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmengen}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {U} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{.}
Es sei $\omega$ eine
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{}
auf $V$. Zeige, dass für die Auswertung der Fundamentalgruppe zu einer Differentialform ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}\pi(U) & \stackrel{ \pi(\varphi) }{\longrightarrow} & \pi(V) & \\ & \!\!\! \!\! \Psi_{\varphi^*(\omega) } \searrow & \downarrow \Psi_\omega \!\!\! \!\! & \\ & & {\mathbb C} & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass $G$ genau dann
\definitionsverweis {kommutativ}{}{}
ist, wenn die
\definitionsverweis {Kommutatoruntergruppe}{}{}
\mathl{K(G)}{} trivial ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige die Beziehung
\mathl{\varphi (K(G)) \subseteq K(H)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mathl{K(G)}{} ihre
\definitionsverweis {Kommutatorgruppe}{}{.}
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{$K(G)$ ist ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
in $G$.
}{Die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{G/K(G)}{} ist
\definitionsverweis {abelsch}{}{.}
}{Die Gruppe $G$ ist genau dann abelsch, wenn
\mathl{K(G)}{} trivial ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {\varphi} {X} {Y } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {wegzusammenhängenden}{}{} \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {.} Zeige, dass es einen natürlichen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {H(\varphi)} {H_1(X,\Z)} {H_1(Y,\Z) } {} zwischen den zugehörigen \definitionsverweis {Homologiegruppen}{}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{X,Y,Z}{}
\definitionsverweis {wegzusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{,}
es seien
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
und
\maabbdisp {\psi} {Y} {Z
} {}
\definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass die zugehörigen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {ersten Homologiegruppen}{}{}
die folgenden Eigenschaften erfüllen.
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H_1 ( \psi \circ \varphi)
}
{ =} { H_1(\psi) \circ H_1 ( \varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Wenn
\mathkor {} {\varphi} {und} {\psi} {}
invers zueinander sind
\zusatzklammer {was
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
voraussetzt} {} {,}
so sind
\mathkor {} {H_1 (\psi)} {und} {H_1 (\varphi)} {}
invers zueinander.
}{Wenn $\varphi$ ein
\definitionsverweis {Homöomorphismus}{}{}
ist, dann ist $H_1 ( \varphi)$ ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{.}
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ fdz
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{}
auf $U$. Zeige, dass $f$ genau dann eine Stammfunktion auf $U$ besitzt, wenn die
\definitionsverweis {Integralüberlagerung}{}{}
$U_\omega$
\definitionsverweis {trivial}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{U_\omega}{} die
\definitionsverweis {Integralüberlagerung}{}{}
zur
\definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ { \frac{ dz }{ z } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es eine Abbildung
\maabb {G} { {\mathbb C} } { U_\omega
} {}
derart gibt, dass das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} {\mathbb C} & \stackrel{ G }{\longrightarrow} & U_\omega & \\ & \!\!\! \!\! \exp \searrow & \downarrow p \!\!\! \!\! & \\ & & U & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass
\mathl{{ \mathrm i}^{ \mathrm i}}{} reell ist und bestimme diese Zahl mit einer Genauigkeit von drei Nachkommastellen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6 (2+2+2)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{,}
es bezeichne
\mathl{H(U,\Omega)}{} den Vektorraum aller
\definitionsverweis {holomorphen Differentialformen}{}{}
auf $U$ und
\mathl{H(U,\Omega)_{\text{exakt} }}{} den Untervektorraum der
\definitionsverweis {exakten}{}{}
Differentialformen.
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Die Abbildung
\zusatzklammer {vergleiche
Lemma 22.11} {} {}
\maabbeledisp {\Psi} {H(U,\Omega) } { \operatorname{Hom} { \left( H_1(U,\Z), {\mathbb C} \right) }
} { \omega} { \Psi_\omega
} {,}
ist
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {linear}{}{.}
}{Die Abbildung $\Psi$ aus (1) induziert eine lineare Abbildung
\maabbdisp {\Psi} {H(U,\Omega)/H(U,\Omega)_{\text{exakt} } } { \operatorname{Hom} { \left( H_1(U,\Z), {\mathbb C} \right) }
} {,}
}{Die Abbildung aus (2) ist
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}
}
}
{} {}