Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 6/latex
\setcounter{section}{6}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\mathcal R$ die Menge aller \definitionsverweis {komplexen Reihen}{}{} und $\mathcal F$ die Menge aller \definitionsverweis {komplexen Folgen}{}{.} Zeige, dass die Zuordnungen \maabbeledisp {} {{\mathcal R} } { {\mathcal F} } { \sum_{k = 0}^\infty a_k} { (x_n)_{n \in \N} \text{ mit } x_n \defeq \sum_{k = 0}^n a_k } {,} und \maabbeledisp {} {{\mathcal F} } { {\mathcal R} } { (x_n)_{n \in \N} } { \sum_{k = 0}^\infty a_k \text{ mit } a_0 \defeq x_0 \text{ und } a_k \defeq x_{k} - x_{k-1} \text{ für } k \geq 1 } {,} zueinander invers sind und eine Bijektion zwischen \mathkor {} {\mathcal R} {und} {\mathcal F} {} festlegen. Zeige, dass sich dabei die Konvergenzbegriffe entsprechen und dass sich reelle Reihen und reelle Folgen entsprechen. Zeige ferner, dass sich im reellen Fall Reihen mit nichtnegativen Reihengliedern und wachsende Folgen entsprechen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k } \text{ und } \sum_{ k = 0}^\infty b_{ k }} { }
\definitionsverweis {konvergente Reihen}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
mit den Summen
\mathkor {} {s} {und} {t} {.}
Beweise die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Die Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty c_{ k }}{} mit
\mathl{c_k=a_k+b_k}{} ist ebenfalls konvergent mit der Summe
\mathl{s+t}{.}
} {Für
\mathl{\lambda \in {\mathbb C}}{} ist auch die Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty d_{ k }}{} mit
\mathl{d_k = \lambda a_k}{} konvergent mit der Summe $\lambda s$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise das Cauchy-Kriterium für Reihen komplexer Zahlen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty c_{ k }}{} eine
\definitionsverweis {konvergente Reihe}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_k
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die durch die Reihenglieder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ \defeq} { c_{2n} + c_{2n+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
ebenfalls und zwar gegen die gleiche Summe konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
$\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }$
eine
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{k \rightarrow \infty} a_k
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $\sum_{n = 0}^\infty a_n$ eine
\definitionsverweis {komplexe Reihe}{}{}
unnd es gebe ein reelles $q$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \leq }{ q
}
{ < }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt[n]{ \betrag { a_n } }
}
{ \leq} { q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $n$. Zeige, dass dann die Reihe
\definitionsverweis {absolut}{}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die Reihe
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ z^n }{ n^n } }} { }
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {absolut konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass das Cauchy-Produkt von absolut konvergenten Reihen absolut gegen das Produkt der beiden Summen konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man mache sich klar, dass die \definitionsverweis {Partialsummen}{}{} des \definitionsverweis {Cauchy-Produkts}{}{} von zwei \definitionsverweis {Reihen}{}{} nicht das Produkt der Partialsummen der beiden Reihen sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zu
\definitionsverweis {Reihen}{}{}
\mathkor {} {\sum_{ i = 0}^\infty a_{ i }} {und} {\sum_{ j = 0}^\infty b_{ j }} {}
\definitionsverweis {komplexer Zahlen}{}{}
nennen wir die Reihe
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty d_{ k } \text{ mit } d_k = \sum_{ j = 0 }^{ k } a_k b_{j} + \sum_{i = 0}^{k-1} a_ib_k} { }
das \anfuehrung{Quadratrandprodukt}{} der beiden Reihen.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass jedes Produkt
\mathl{a_ib_j}{} genau zu einem $d_k$ beiträgt.
}{Die beiden Reihen seien konvergent. Zeige, dass auch die Reihe
\mathl{\sum_{k = 0}^\infty d_k}{} konvergent ist, und dass deren Summe gleich dem Produkt der beiden Reihen ist.
}{
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }}{} eine
\definitionsverweis {absolut konvergente}{}{}
\definitionsverweis {komplexe Reihe}{}{.}
Zeige, dass dann auch jede
\definitionsverweis {Umordnung}{}{}
der Reihe gegen den gleichen Grenzwert konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathbed {a_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {summierbare Familie}{}{}
\definitionsverweis {komplexer Zahlen}{}{}
und $J \subseteq I$ eine Teilmenge. Zeige, dass auch die Teilfamilie
\mathbed {a_i} {}
{i \in J} {}
{} {} {} {,}
summierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathbed {a_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
eine Familie
\definitionsverweis {komplexer Zahlen}{}{.}
Zeige, dass die Familie genau dann
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist, wenn die Familie der
\definitionsverweis {Realteile}{}{}
\mathbed {\operatorname{Re} \, { \left( a_j \right) }} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
und die Familie der
\definitionsverweis {Imaginärteile}{}{}
\mathbed {\operatorname{Im} \, { \left( a_j \right) }} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
summierbar ist. Zeige, das in diesem Fall
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ j \in J} a_j
}
{ =} { ( \sum_{ j \in J}
\operatorname{Re} \, { \left( a_j \right) }) + { \mathrm i} ( \sum_{ j \in J} \operatorname{Im} \, { \left( a_j \right) })
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $I$ eine
\definitionsverweis {Indexmenge}{}{}
und
\mathbed {a_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Familie}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} Die Betragsfamilie
\mathbed {\betrag { a_i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
sei
\definitionsverweis {summierbar}{}{.}
Zeige, dass
\mathbed {a_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
summierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $I$ eine
\definitionsverweis {Indexmenge}{}{}
und
\mathbed {a_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Familie}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} Die Familie
\mathbed {a_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
sei
\definitionsverweis {summierbar}{}{.}
Zeige, dass
\mathbed {\betrag { a_i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
summierbar ist.
}
{} {Tipp: Man zeige dieses Resultat zuerst für reelle Familien und ziehe dann
Aufgabe 6.14
heran.}
Für Familien, anders als wie bei Reihen, gibt es also keinen Unterschied zwischen summierbar und absolut summierbar.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $I$ eine
\definitionsverweis {Indexmenge}{}{}
und
\mathbed {a_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Familie}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} Zeige, dass diese Familie genau dann
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist, wenn die Familie
\mathdisp {\betrag { a_E } = \betrag { \sum_{ i \in E} a_i } , E \subseteq I,\, E \text{ endlich}} { , }
\definitionsverweis {nach oben beschränkt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Eine echte Potenz ist eine natürliche Zahl der Form $n^k$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n,k
}
{ \in }{ \N_{\geq 2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Familie der Kehrwerte der echten Potenzen
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei
\mathbed {z \in {\mathbb C}} {}
{\betrag { z } <1} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Familie}{}{}
\mathdisp {z^k z^\ell, \, (k, \ell) \in \N^2} { , }
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei
\mathbed {z \in {\mathbb C}} {}
{\betrag { z } <1} {}
{} {} {} {.}
Berechne zur
\definitionsverweis {summierbaren Familie}{}{}
\mathdisp {z^k z^\ell, \, (k, \ell) \in \N^2} { , }
die Teilsummen
\mathdisp {s_k = \sum_{\ell \in \N} z^k z^\ell} { }
zu jedem $k \in \N$ und berechne $\sum_{k \in \N} s_k$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei
\mathbed {z \in {\mathbb C}} {}
{\betrag { z } <1} {}
{} {} {} {.}
Zu $j \in \Z$ sei
\mathdisp {I_j= { \left\{ (k, \ell) \in \N^2 \mid k-\ell = j \right\} }} { . }
Berechne zu jedem $j \in \Z$ zur
\definitionsverweis {summierbaren Familie}{}{}
\mathdisp {z^k z^\ell, \, (k, \ell) \in \N^2} { , }
die Teilsummen
\mathdisp {t_j = \sum_{(k, \ell) \in I_j } z^k z^\ell} { }
und berechne $\sum_{j \in \Z} t_j$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme, ob die Familie
\mathdisp {\frac{1}{q^2}, \, q \in \Q\, \cap \, [2,3]} { , }
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Familie
\mathbeddisp {{ \frac{ k^n }{ n! } }} {}
{(k,n) \in \N \times \N} {}
{} {} {} {.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass diese Familie nicht
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist.
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha
}
{ \in }{\R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ist die Teilfamilie
\mathbeddisp {{ \frac{ k^n }{ n! } }} {}
{(k,n) \in \N \times \N} {}
{k \leq \alpha} {} {} {,}
summierbar?
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \beta
}
{ \in }{\R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ist die Teilfamilie
\mathbeddisp {{ \frac{ k^n }{ n! } }} {}
{(k,n) \in \N \times \N} {}
{k \leq \beta n} {} {} {,}
summierbar?
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathbed {a_{ k }} {}
{k \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Familie}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.}
Zeige, dass diese Familie genau dann
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist, wenn die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }} { }
\definitionsverweis {absolut konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\maabb {f} { \Q} { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{,}
aber nicht die Nullfunktion. Zeige, dass die Wertefamilie
\mathbed {f(q)} {}
{q \in \Q} {}
{} {} {} {,}
nicht
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $M \subseteq \N_+$ diejenige Teilmenge der natürlichen Zahlen, die aus allen Zahlen besteht, in deren Dezimalentwicklung keine $9$ vorkommt. Zeige, dass
\mathdisp {\sum_{n \in M} \frac{1}{n}} { }
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme, ob die Familie
\mathdisp {\frac{1}{a^2+b^2}, \, a,b \in \N_+} { , }
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $I$ eine Indexmenge und
\mathbed {a_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine
\definitionsverweis {summierbare Familie}{}{} von
\definitionsverweis {nichtnegativen}{}{}
\definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{.} Zeige, dass die Teilmenge
\mathdisp {J = { \left\{ i \in I \mid a_i \neq 0 \right\} }} { }
\definitionsverweis {abzählbar}{}{} ist.
}
{} {}