Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 6

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {R}}$ die Menge aller komplexen Reihen und ${}{\mathcal {F}}$ die Menge aller komplexen Folgen. Zeige, dass die Zuordnungen

${\mathcal {R}}\longrightarrow {\mathcal {F}},\,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\longmapsto (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }{\text{ mit }}x_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k},$

und

${\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {R}},\,(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\longmapsto \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ mit }}a_{0}:=x_{0}{\text{ und }}a_{k}:=x_{k}-x_{k-1}{\text{ für }}k\geq 1,$

zueinander invers sind und eine Bijektion zwischen ${}{\mathcal {R}}$ und ${}{\mathcal {F}}$ festlegen. Zeige, dass sich dabei die Konvergenzbegriffe entsprechen und dass sich reelle Reihen und reelle Folgen entsprechen. Zeige ferner, dass sich im reellen Fall Reihen mit nichtnegativen Reihengliedern und wachsende Folgen entsprechen.

Aufgabe

Es seien

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$

konvergente Reihen von komplexen Zahlen mit den Summen ${}s$ und ${}t$. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ mit ${}c_{k}=a_{k}+b_{k}$ ist ebenfalls konvergent mit der Summe ${}s+t$.
2. Für ${}\lambda \in {\mathbb {C} }$ ist auch die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}$ mit ${}d_{k}=\lambda a_{k}$ konvergent mit der Summe ${}\lambda s$.

Aufgabe *

Beweise das Cauchy-Kriterium für Reihen komplexer Zahlen.

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ eine konvergente Reihe mit ${}c_{k}\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass die durch die Reihenglieder

${}a_{n}:=c_{2n}+c_{2n+1}\,$

definierte Reihe ebenfalls und zwar gegen die gleiche Summe konvergiert.

Aufgabe *

Es sei ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ eine konvergente Reihe von komplexen Zahlen. Zeige, dass dann

${}\lim _{k\rightarrow \infty }a_{k}=0\,$

gilt.

Aufgabe *

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.

Aufgabe *

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ eine komplexe Reihe unnd es gebe ein reelles ${}q$, ${}0\leq q<1$, mit

${}{\sqrt[{n}]{\vert {a_{n}}\vert }}\leq q\,$

für alle ${}n$. Zeige, dass dann die Reihe absolut konvergiert.

Aufgabe *

Zeige, dass die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{n}}}$

für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ absolut konvergiert.

Aufgabe *

Zeige, dass das Cauchy-Produkt von absolut konvergenten Reihen absolut gegen das Produkt der beiden Summen konvergiert.

Aufgabe

Man mache sich klar, dass die Partialsummen des Cauchy-Produkts von zwei Reihen nicht das Produkt der Partialsummen der beiden Reihen sind.

Aufgabe *

Zu Reihen ${}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und ${}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ komplexer Zahlen nennen wir die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}{\text{ mit }}d_{k}=\sum _{j=0}^{k}a_{k}b_{j}+\sum _{i=0}^{k-1}a_{i}b_{k}$

das „Quadratrandprodukt“ der beiden Reihen.

1. Zeige, dass jedes Produkt ${}a_{i}b_{j}$ genau zu einem ${}d_{k}$ beiträgt.
2. Die beiden Reihen seien konvergent. Zeige, dass auch die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}$ konvergent ist, und dass deren Summe gleich dem Produkt der beiden Reihen ist.

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ eine absolut konvergente komplexe Reihe. Zeige, dass dann auch jede Umordnung der Reihe gegen den gleichen Grenzwert konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine summierbare Familie komplexer Zahlen und ${}J\subseteq I$ eine Teilmenge. Zeige, dass auch die Teilfamilie ${}a_{i}$, ${}i\in J$, summierbar ist.

Aufgabe *

Es sei ${}a_{j}$, ${}j\in J$, eine Familie komplexer Zahlen. Zeige, dass die Familie genau dann summierbar ist, wenn die Familie der Realteile ${}\operatorname {Re} \,{\left(a_{j}\right)}$, ${}j\in J$, und die Familie der Imaginärteile ${}\operatorname {Im} \,{\left(a_{j}\right)}$, ${}j\in J$, summierbar ist. Zeige, das in diesem Fall

${}\sum _{j\in J}a_{j}=(\sum _{j\in J}\operatorname {Re} \,{\left(a_{j}\right)})+{\mathrm {i} }(\sum _{j\in J}\operatorname {Im} \,{\left(a_{j}\right)})\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Die Betragsfamilie ${}\vert {a_{i}}\vert$, ${}i\in I$, sei summierbar. Zeige, dass ${}a_{i}$, ${}i\in I$, summierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Die Familie ${}a_{i}$, ${}i\in I$, sei summierbar. Zeige, dass ${}\vert {a_{i}}\vert$, ${}i\in I$, summierbar ist.

Tipp: Man zeige dieses Resultat zuerst für reelle Familien und ziehe dann Aufgabe 6.14 heran.

Für Familien, anders als wie bei Reihen, gibt es also keinen Unterschied zwischen summierbar und absolut summierbar.

Aufgabe

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Zeige, dass diese Familie genau dann summierbar ist, wenn die Familie

$\vert {a_{E}}\vert =\vert {\sum _{i\in E}a_{i}}\vert ,E\subseteq I,\,E{\text{ endlich}},$

nach oben beschränkt ist.

Aufgabe *

Eine echte Potenz ist eine natürliche Zahl der Form ${}n^{k}$ mit ${}n,k\in \mathbb {N} _{\geq 2}$. Zeige, dass die Familie der Kehrwerte der echten Potenzen summierbar ist.

Aufgabe

Sei ${}z\in {\mathbb {C} }$, ${}\vert {z}\vert <1$. Zeige, dass die Familie

$z^{k}z^{\ell },\,(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2},$

summierbar ist.

Aufgabe

Sei ${}z\in {\mathbb {C} }$, ${}\vert {z}\vert <1$. Berechne zur summierbaren Familie

$z^{k}z^{\ell },\,(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2},$

die Teilsummen

$s_{k}=\sum _{\ell \in \mathbb {N} }z^{k}z^{\ell }$

zu jedem ${}k\in \mathbb {N}$ und berechne ${}\sum _{k\in \mathbb {N} }s_{k}$.

Aufgabe

Sei ${}z\in {\mathbb {C} }$, ${}\vert {z}\vert <1$. Zu ${}j\in \mathbb {Z}$ sei

$I_{j}={\left\{(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2}\mid k-\ell =j\right\}}.$

Berechne zu jedem ${}j\in \mathbb {Z}$ zur summierbaren Familie

$z^{k}z^{\ell },\,(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2},$

die Teilsummen

$t_{j}=\sum _{(k,\ell )\in I_{j}}z^{k}z^{\ell }$

und berechne ${}\sum _{j\in \mathbb {Z} }t_{j}$.

Aufgabe *

Bestimme, ob die Familie

${\frac {1}{q^{2}}},\,q\in \mathbb {Q} \,\cap \,[2,3],$

summierbar ist oder nicht.

Aufgabe

Wir betrachten die Familie

${\frac {k^{n}}{n!}},(k,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} .$

1. Zeige, dass diese Familie nicht summierbar ist.
2. Es sei ${}\alpha \in \mathbb {R} _{+}$. Ist die Teilfamilie

   ${\frac {k^{n}}{n!}},(k,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} ,k\leq \alpha ,$

   summierbar?

3. Es sei ${}\beta \in \mathbb {R} _{+}$. Ist die Teilfamilie

   ${\frac {k^{n}}{n!}},(k,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} ,k\leq \beta n,$

   summierbar?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}a_{k}$, ${}k\in \mathbb {N}$, eine Familie von komplexen Zahlen. Zeige, dass diese Familie genau dann summierbar ist, wenn die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

absolut konvergiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}f\colon \mathbb {Q} \rightarrow {\mathbb {K} }$ eine stetige Funktion, aber nicht die Nullfunktion. Zeige, dass die Wertefamilie ${}f(q)$, ${}q\in \mathbb {Q}$, nicht summierbar ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N} _{+}$ diejenige Teilmenge der natürlichen Zahlen, die aus allen Zahlen besteht, in deren Dezimalentwicklung keine ${}9$ vorkommt. Zeige, dass

$\sum _{n\in M}{\frac {1}{n}}$

summierbar ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme, ob die Familie

${\frac {1}{a^{2}+b^{2}}},\,a,b\in \mathbb {N} _{+},$

summierbar ist oder nicht.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine summierbare Familie von nichtnegativen reellen Zahlen. Zeige, dass die Teilmenge

$J={\left\{i\in I\mid a_{i}\neq 0\right\}}$

abzählbar ist.