Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 7

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}z$ eine komplexe Zahl, ${}z\neq 1$. Beweise für ${}n\in \mathbb {N}$ durch Induktion die Beziehung

${}\sum _{k=0}^{n}z^{k}={\frac {z^{n+1}-1}{z-1}}\,.$

Aufgabe *

Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.

Aufgabe

Bestimme eine beschreibende Potenzreihe für die komplexe Invertierung im Entwicklungspunkt ${}1$ mit Hilfe von Satz 7.3.

Aufgabe *

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} },\,\vert {z}\vert <1$. Bestimme und beweise eine Formel für die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{k}.$

Aufgabe

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} },\,\vert {z}\vert <1$. Bestimme und beweise eine Formel für die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }{\mathrm {i} }^{k}z^{k}.$

Aufgabe

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ , ${}\vert {z}\vert <1$. Bestimme (in Abhängigkeit von ${}z$) die Summen der beiden Reihen

$\sum _{k=0}^{\infty }z^{2k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }z^{2k+1}.$

Aufgabe *

Bestimme, für welche komplexe Zahlen ${}z$ die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }n^{n}z^{n}$

konvergiert.

Aufgabe *

Es seien

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}{\text{ und }}\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$

zwei absolut konvergente Potenzreihen in ${}z\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}{\text{ mit }}c_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$

gegeben ist.

Aufgabe

Es sei

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$

eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen ${}z^{0},z^{1},z^{2},z^{3},z^{4}$ in der dritten Potenz

${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}={\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\right)}^{3}\,.$

Aufgabe

Es sei

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$

eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen ${}z^{0},z^{1},z^{2},z^{3},z^{4},z^{5}$ in der vierten Potenz

${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}={\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\right)}^{4}\,.$

Aufgabe *

Beweise den Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.

Aufgabe *

Beweise die Funktionalgleichung für die komplexe Exponentialfunktion.

Aufgabe *

Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.

Der Verlauf der Hyperbelfunktionen im Reellen.

Die für ${}z\in {\mathbb {C} }$ durch

$\sinh z:={\frac {1}{2}}(e^{z}-e^{-z})$

definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.

Die für ${}z\in {\mathbb {C} }$ durch

${}\cosh z={\frac {1}{2}}{\left(e^{z}+e^{-z}\right)}\,$

definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.

Aufgabe

Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus (dabei ist ${}z\in {\mathbb {C} }$.)

1. $\cosh z+\sinh z=e^{z}.$

2. $\cosh z-\sinh z=e^{-z}.$

3. $(\cosh z)^{2}-(\sinh z)^{2}=1.$

4. $\cosh {\mathrm {i} }z=\cos z{\text{ und }}\sinh {\mathrm {i} }z={\mathrm {i} }\cdot \sin z.$

Aufgabe

Beweise die Additionstheoreme für die Hyperbelfunktionen, also

a)

${}\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\,.$

b)

${}\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\,.$

Aufgabe *

Zeige, dass die Funktionen

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cos z,$

und

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,$

für ${}z,w\in {\mathbb {C} }$ folgende Eigenschaften erfüllen.

1. Für ${}z=x+{\mathrm {i} }y$ ist

   ${}\exp z=(\exp x)(\cos y+{\mathrm {i} }\sin y)\,.$

   Speziell gilt die eulersche Formel

   ${}\exp {\mathrm {i} }y=\cos y+{\mathrm {i} }\sin y\,.$

2. Es ist ${}\cos 0=1$ und ${}\sin 0=0$.
3. Es ist ${}\cos \left(-z\right)=\cos z$ und ${}\sin \left(-z\right)=-\sin z$.
4. Es ist

   ${}\cos z={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)+\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)}{2}}\,$

   und

   ${}\sin z={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)-\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)}{2{\mathrm {i} }}}\,.$

5. Es gelten die Additionstheoreme

   ${}\cos(z+w)=\cos z\,\cos w-\sin z\,\sin w\,$

   und

   ${}\sin(z+w)=\sin z\,\cos w+\cos z\,\sin w\,.$

6. Es gilt

   ${}(\cos z)^{2}+(\sin z)^{2}=1\,.$

Aufgabe *

Zeige, dass die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion in ${}{\mathbb {C} }$ die folgenden Periodizitätseigenschaften erfüllen.

1. Es ist ${}\cos \left(z+2\pi \right)=\cos z$ und ${}\sin \left(z+2\pi \right)=\sin z$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.
2. Es ist ${}\cos \left(z+\pi \right)=-\cos z$ und ${}\sin \left(z+\pi \right)=-\sin z$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.
3. Es ist ${}\cos \left(z+\pi /2\right)=-\sin z$ und ${}\sin \left(z+\pi /2\right)=\cos z$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.
4. Es ist ${}\cos 0=1$, ${}\cos \pi /2=0$, ${}\cos \pi =-1$ ${}\cos 3\pi /2=0$ und ${}\cos 2\pi =1$. Die Nullstellen des Kosinus sind von der Form ${}{\frac {\pi }{2}}+n\pi$, ${}n\in \mathbb {Z}$.
5. Es ist ${}\sin 0=0$, ${}\sin \pi /2=1$, ${}\sin \pi =0$, ${}\sin 3\pi /2=-1$ und ${}\sin 2\pi =0$. Die Nullstellen des Sinus sind von der Form ${}n\pi$, ${}n\in \mathbb {Z}$.

Aufgabe

Bestimme die Koeffizienten bis zu ${}z^{6}$ in der Produktreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ aus der Sinusreihe und der Kosinusreihe.

Aufgabe

Bestimme für die geometrische Reihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}$ die Zerlegung in Realteil und Imaginärteil, d.h. bestimme die Funktionen ${}g(x,y)$ und ${}h(x,y)$, derart dass

${}\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\left(x+{\mathrm {i} }y\right)}^{n}=g(x,y)+{\mathrm {i} }h(x,y)\,$

gilt. Vergleiche das Ergebnis mit der Zerlegung der rationalen Funktion ${}{\frac {1}{1-z}}$.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}{\mathbb {K} }$. Es sei ${}T$ eine nichtleere Menge und ${}f_{n}\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ die konstante Funktion mit dem Wert ${}x_{n}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent.
2. Die Funktionenfolge ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist punktweise konvergent.
3. Die Funktionenfolge ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist gleichmäßig konvergent.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine endliche Menge und sei

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktionenfolge auf ${}T$. Zeige, das ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ genau dann punktweise konvergiert, wenn ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gleichmäßig konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}\mathbb {R}$. Wir betrachten auf einem reellen Intervall ${}[a,b]$ die Funktionenfolge

$f_{n}\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto tx_{n}.$

Zeige, dass diese Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, und bestimme die Grenzfunktion.

Aufgabe *

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}\mathbb {R}$. Wir betrachten die Funktionenfolge

$f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto tx_{n}.$

Zeige, dass diese Funktionenfolge punktweise, aber im Allgemeinen nicht gleichmäßig konvergiert. Was ist die Grenzfunktion?

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine Menge und ${}f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion, wir betrachten die Funktionenfolge

${}f_{n}:={\frac {1}{n}}f\,$

zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Funktionenfolge ${}f_{n}$ konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion.
2. Die Konvergenz ist genau dann gleichmäßig, wenn ${}f$ beschränkt ist.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion, wir betrachten die Funktionenfolge ${}f_{n}$, die durch

${}f_{n}(x):={\begin{cases}f(x),{\text{ wenn }}x\in [-n,n],\\0{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

definiert ist.

1. Zeige, dass die Funktionenfolge ${}f_{n}$ punktweise gegen ${}f$ konvergiert.
2. Charakterisiere die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge.

Aufgabe

Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ betrachten wir die Funktionen

$f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f_{n}(x),$

die durch

${}f_{n}(x)={\begin{cases}0,{\text{ für }}x\leq 0,\\nx{\text{ für }}0<x\leq 1/n,\\2-nx{\text{ für }}1/n<x\leq 2/n,\\0,{\text{ für }}x>2/n\,.\end{cases}}\,$

definiert sind. Zeige, dass diese Funktionen stetig sind, und dass diese Funktionenfolge punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine Menge und es seien

$f_{n},g_{n},h_{n}\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

Funktionenfolgen mit

${}f_{n}(x)\leq g_{n}(x)\leq h_{n}(x)\,$

für alle ${}x\in T$ und alle ${}n\in \mathbb {N}$. Die Funktionenfolgen ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(h_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ seien gleichmäßig konvergent gegen die Grenzfunktion ${}f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$. Zeige, dass auch ${}{\left(g_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gleichmäßig gegen ${}f$ konvergiert.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer Funktionenfolge

$f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

derart, dass sämtliche ${}f_{n}$ nicht stetig sind, die Funktionenfolge aber gleichmäßig gegen eine stetige Grenzfunktion konvergiert.

Aufgabe *

Wir betrachten für ${}n\in \mathbb {N}$ die Funktionenfolge ${}f_{n}$ auf ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$ mit

${}f_{n}(x):={\frac {\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor }{10^{n}}}\,.$

1. Berechne die Funktionswerte ${}f_{n}(x)$ für

   ${}x=11,793105\,$

   und für ${}n=0,1,2$.

2. Skizziere die Funktionen ${}f_{1}$ und ${}f_{2}$ auf dem Intervall ${}[0,1]$.
3. Begründe, dass die ${}f_{n}$ nicht stetig sind.
4. Zeige, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert. Was ist die Grenzfunktion?
5. Zeige, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert.

Aufgabe

Betrachte die Funktionenfolge

$f_{n}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{1/n}.$

Zeige, dass diese Folge für ${}I=\mathbb {R} _{\geq 0}$ punktweise konvergiert, und untersuche die Folge auf gleichmäßige Konvergenz für die verschiedenen Definitionsmengen

$I=\mathbb {R} _{\geq 0},\,\mathbb {R} _{+},\,[1,\infty ],\,[{\frac {1}{5}},5],\,]0,1],\,[0,1].$

Aufgabe *

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und es sei

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Folge von gleichmäßig stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion ${}f$ konvergiert. Zeige, dass ${}f$ gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe *

Es sei ${}T$ eine Menge und seien

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

und

$g_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

zwei gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen. Zeige, dass auch die Summenfolge

$f_{n}+g_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },\,t\longmapsto f_{n}(t)+g_{n}(t),$

gleichmäßig konvergent ist.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine Menge und

${}M={\left\{f:T\rightarrow {\mathbb {C} }\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,$

die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf ${}T$. Zeige, dass ${}M$ ein komplexer Vektorraum ist.

Aufgabe *

Beweise den Satz über die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

Aufgabe

Zeige, dass die Exponentialreihe auf ${}{\mathbb {C} }$ nicht gleichmäßig konvergiert.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}F={\sum }_{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ eine komplexe Potenzreihe mit ${}c_{n}=a_{n}+{\mathrm {i} }b_{n}$. Bestimme für ${}F$ die Zerlegung in Realteil und Imaginärteil, d.h. bestimme die reellwertigen Funktionen ${}g(x,y)$ und ${}h(x,y)$, derart dass

${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}{\left(x+{\mathrm {i} }y\right)}^{n}=g(x,y)+{\mathrm {i} }h(x,y)\,$

gilt. In welchem Sinne ist dabei diese Gleichheit zu verstehen?

Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

1. Zerlege

   ${}\cos z=\cos \left(x+y{\mathrm {i} }\right)\,$

   in Realteil und Imaginärteil.

2. Bestätige die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen für Real- und Imaginärteil aus Teil (1).

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und es sei

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Folge von gleichmäßig stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion ${}f$ konvergiert. Zeige, dass dann ${}f$ gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}T$ eine Menge und

${}M={\left\{f:T\rightarrow {\mathbb {C} }\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,$

die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf ${}T$. Zeige, dass die Supremumsnorm auf ${}M$ folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${}\Vert {f}\Vert \geq 0$ für alle ${}f\in M$.
2. ${}\Vert {f}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}f=0$ ist.
3. Für ${}\lambda \in {\mathbb {C} }$ und ${}f\in M$ gilt

   ${}\Vert {\lambda f}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {f}\Vert \,.$

4. Für ${}g,f\in M$ gilt

   ${}\Vert {g+f}\Vert \leq \Vert {g}\Vert +\Vert {f}\Vert \,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}d\in \mathbb {N}$ und sei für jedes ${}i\in \{0,1,\ldots ,d\}$ eine konvergente Folge

${\left(c_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

in ${}{\mathbb {C} }$ gegeben, deren Limes mit ${}c_{i}$ bezeichnet sei. Wir betrachten die Folge ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ von Polynomen vom Grad ${}\leq d$, die durch

${}f_{n}:=c_{dn}x^{d}+c_{d-1\,n}x^{d-1}+\cdots +c_{2n}x^{2}+c_{1n}x+c_{0n}\,$

definiert sind. Zeige, dass diese Funktionenfolge auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe ${}B\left(0,r\right)$ gleichmäßig gegen

${}f=c_{d}x^{d}+c_{d-1}x^{d-1}+\cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}\,$

konvergiert.