Sinus und Kosinus/C/Periodizitätseigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion in ${}{\mathbb {C} }$ die folgenden Periodizitätseigenschaften erfüllen.

1. Es ist ${}\cos \left(z+2\pi \right)=\cos z$ und ${}\sin \left(z+2\pi \right)=\sin z$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.
2. Es ist ${}\cos \left(z+\pi \right)=-\cos z$ und ${}\sin \left(z+\pi \right)=-\sin z$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.
3. Es ist ${}\cos \left(z+\pi /2\right)=-\sin z$ und ${}\sin \left(z+\pi /2\right)=\cos z$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.
4. Es ist ${}\cos 0=1$, ${}\cos \pi /2=0$, ${}\cos \pi =-1$ ${}\cos 3\pi /2=0$ und ${}\cos 2\pi =1$. Die Nullstellen des Kosinus sind von der Form ${}{\frac {\pi }{2}}+n\pi$, ${}n\in \mathbb {Z}$.
5. Es ist ${}\sin 0=0$, ${}\sin \pi /2=1$, ${}\sin \pi =0$, ${}\sin 3\pi /2=-1$ und ${}\sin 2\pi =0$. Die Nullstellen des Sinus sind von der Form ${}n\pi$, ${}n\in \mathbb {Z}$.

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