Sinus und Kosinus/C/Periodizitätseigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund der Kreisgleichung

${}(\cos z)^{2}+(\sin z)^{2}=1\,$

ist ${}{\left(\sin {\frac {\pi }{2}}\right)}^{2}=1$, also ist ${}\sin {\frac {\pi }{2}}=1$ wegen der Überlegung im Beweis zu Fakt. Daraus folgen mit den Additionstheoremen die in (3) angegebenen Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus, beispielsweise ist

${}\cos \left(z+{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(z\right)\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)-\sin \left(z\right)\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)=-\sin \left(z\right)\,.$

Es genügt daher, die Aussagen für den Kosinus zu beweisen. Alle Aussagen folgen dann aus der Definition von ${}\pi$ und aus (3). Dass die trigonometrischen Funktionen außer den angegebenen reellen Nullstellen keine weiteren Nullstellen in ${}{\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R}$ besitzen wurde in Aufgabe bewiesen.

Zur bewiesenen Aussage