Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 7/latex

\setcounter{section}{7}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $z$ eine \definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \neq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Beweise für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch Induktion die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 0}^n z^k }
{ =} { { \frac{ z^{n+1} -1 }{ z-1 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine beschreibende Potenzreihe für die \definitionsverweis {komplexe Invertierung}{}{} im Entwicklungspunkt $1$ mit Hilfe von Satz 7.3.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $z \in {\mathbb C},\, \betrag { z } <1$. Bestimme und beweise eine Formel für die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty (-1)^k z^k} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $z \in {\mathbb C},\, \betrag { z } <1$. Bestimme und beweise eine Formel für die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty { \mathrm i}^k z^k} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathbed {z \in {\mathbb C}} {,}
{\betrag { z } <1} {}
{} {} {} {.} Bestimme \zusatzklammer {in Abhängigkeit von $z$} {} {} die \definitionsverweis {Summen}{}{} der beiden \definitionsverweis {Reihen}{}{}
\mathdisp {\sum_{k=0 }^\infty z^{2k} \text{ und } \sum_{k=0 }^\infty z^{2k+1}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme, für welche komplexe Zahlen $z$ die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ n = 0}^\infty n^nz^n} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n } \text{ und } \sum _{ n= 0}^\infty b_n z^{ n }} { }
zwei \definitionsverweis {absolut konvergente}{}{} \definitionsverweis {Potenzreihen}{}{} in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Cauchy-Produkt}{}{} der beiden Reihen durch
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n } \text{ mit } c_n = \sum_{i=0}^{n} a_i b_{n-i}} { }
gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }} { }
eine \definitionsverweis {absolut konvergente}{}{} \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{.} Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen $z^0,z^1,z^2,z^3,z^4$ in der dritten \definitionsverweis {Potenz}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n } }
{ =} {{ \left( \sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n } \right) }^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }} { }
eine \definitionsverweis {absolut konvergente}{}{} \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{.} Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen $z^0,z^1,z^2,z^3,z^4,z^5$ in der vierten \definitionsverweis {Potenz}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n } }
{ =} { { \left( \sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n } \right) }^4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise den Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise die Funktionalgleichung für die komplexe Exponentialfunktion.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.

}
{} {}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Sinh-cosh-r-28pt.svg} }
\end{center}
\bildtext {Der Verlauf der Hyperbelfunktionen im Reellen.} }

\bildlizenz { Sinh-cosh-r-28pt.svg } {} {Emdee} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}


Die für $z \in {\mathbb C}$ durch
\mathdisp {\sinh z := \frac{1}{2}(e^z - e^{-z})} { }
definierte \definitionsverweis {Funktion}{}{} heißt \definitionswort {Sinus hyperbolicus}{.}


Die für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cosh z }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( e^z + e^{-z} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte \definitionsverweis {Funktion}{}{} heißt \definitionswort {Kosinus hyperbolicus}{.}





\inputaufgabe
{}
{

Zeige die folgenden Eigenschaften von \definitionsverweis {Sinus hyperbolicus}{}{} und \definitionsverweis {Kosinus hyperbolicus}{}{} \zusatzklammer {dabei ist $z \in {\mathbb C}$.} {} {} \aufzaehlungvier{
\mathdisp {\cosh z+ \sinh z = e^z} { . }
}{
\mathdisp {\cosh z - \sinh z = e^{-z}} { . }
}{
\mathdisp {( \cosh z )^2 - ( \sinh z )^2 = 1} { . }
}{
\mathdisp {\cosh { \mathrm i} z = \cos z \text{ und } \sinh { \mathrm i} z = { \mathrm i} \cdot \sin z} { . }
}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise die Additionstheoreme für die \definitionsverweis {Hyperbelfunktionen}{}{,} also

a)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sinh (x + y) }
{ =} { \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cosh(x + y) }
{ =} {\cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die Funktionen \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { \cos z } {,} und \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { \sin z } {,} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z,w }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgende Eigenschaften erfüllen. \aufzaehlungsechs{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ = }{x+ { \mathrm i} y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp z }
{ =} { (\exp x) ( \cos y + { \mathrm i} \sin y ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Speziell gilt die \stichwort {eulersche Formel} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp { \mathrm i} y }
{ =} { \cos y + { \mathrm i} \sin y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es ist \mathkor {} {\cos 0 =1} {und} {\sin 0 =0} {.} }{Es ist \mathkor {} {\cos \left( -z \right) = \cos z} {und} {\sin \left( -z \right) = - \sin z} {.} }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos z }
{ =} { { \frac{ \exp \left( { \mathrm i} z \right) + \exp \left( -{ \mathrm i} z \right) }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin z }
{ =} { { \frac{ \exp \left( { \mathrm i} z \right) - \exp \left( -{ \mathrm i} z \right) }{ 2 { \mathrm i} } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es gelten die Additionstheoreme
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos (z+w) }
{ =} { \cos z \, \cos w - \sin z \, \sin w }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin (z+w) }
{ =} { \sin z \, \cos w + \cos z \, \sin w }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \cos z)^2 + (\sin z)^2 }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion in ${\mathbb C}$ die folgenden \stichwort {Periodizitätseigenschaften} {} erfüllen. \aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( z+2 \pi \right) }
{ = }{ \cos z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( z+2 \pi \right) }
{ = }{ \sin z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( z+ \pi \right) }
{ = }{ - \cos z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( z+ \pi \right) }
{ = }{ - \sin z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( z+ \pi/2 \right) }
{ = }{ - \sin z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( z+ \pi/2 \right) }
{ = }{ \cos z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos 0 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \pi/2 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \pi }
{ = }{ -1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos 3\pi/2 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos 2 \pi }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die Nullstellen des Kosinus sind von der Form
\mathbed {{ \frac{ \pi }{ 2 } } +n \pi} {}
{n \in \Z} {}
{} {} {} {.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin 0 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \pi/2 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \pi }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin 3\pi/2 }
{ = }{ -1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin 2 \pi }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die Nullstellen des Sinus sind von der Form
\mathbed {n \pi} {}
{n \in \Z} {}
{} {} {} {.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Koeffizienten bis zu $z^6$ in der \definitionsverweis {Produktreihe}{}{} $\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }$ aus der \definitionsverweis {Sinusreihe}{}{} und der \definitionsverweis {Kosinusreihe}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die \definitionsverweis {geometrische Reihe}{}{} $\sum_{n = 0}^\infty z^n$ die Zerlegung in Realteil und Imaginärteil, d.h. bestimme die Funktionen \mathkor {} {g(x,y)} {und} {h(x,y)} {,} derart dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{n = 0}^\infty z^n }
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty { \left( x+ { \mathrm i} y \right) }^n }
{ =} { g(x,y)+ { \mathrm i} h(x,y) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Vergleiche das Ergebnis mit der Zerlegung der rationalen Funktion
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 1-z } }}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in ${\mathbb K}$. Es sei $T$ eine nichtleere Menge und \maabb {f_n} {T} { {\mathbb K} } {} die \definitionsverweis {konstante Funktion}{}{} mit dem Wert $x_n$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{Die Folge ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ ist \definitionsverweis {konvergent}{}{.} }{Die Funktionenfolge
\mathl{{ \left( f_n \right) }_{n \in \N }}{} ist \definitionsverweis {punktweise konvergent}{}{.} }{Die Funktionenfolge
\mathl{{ \left( f_n \right) }_{n \in \N }}{} ist \definitionsverweis {gleichmäßig konvergent}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ eine endliche Menge und sei \maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K} } {} eine Funktionenfolge auf $T$. Zeige, das ${ \left( f_n \right) }_{n \in \N }$ genau dann \definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{,} wenn ${ \left( f_n \right) }_{n \in \N }$ \definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{} in $\R$. Wir betrachten auf einem \definitionsverweis {reellen Intervall}{}{} $[a,b]$ die \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \maabbeledisp {f_n} {[a,b]} {\R } {t} {t x_n } {.} Zeige, dass diese Funktionenfolge \definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{,} und bestimme die \definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{} in $\R$. Wir betrachten die \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \maabbeledisp {f_n} {\R} {\R } {t} {t x_n } {.} Zeige, dass diese Funktionenfolge \definitionsverweis {punktweise}{}{,} aber im Allgemeinen nicht \definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{.} Was ist die \definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ eine Menge und \maabb {f} { T} { \R } {} eine Funktion, wir betrachten die \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n }
{ \defeq} { { \frac{ 1 }{ n } } f }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungzwei {Die Funktionenfolge $f_n$ \definitionsverweis {konvergiert punktweise}{}{} gegen die Nullfunktion. } {Die Konvergenz ist genau dann \definitionsverweis {gleichmäßig}{}{,} wenn $f$ \definitionsverweis {beschränkt}{}{} ist. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {f} { \R} { \R } {} eine Funktion, wir betrachten die \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} $f_n$, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n (x) }
{ \defeq} { \begin{cases} f(x), \text{ wenn } x \in [-n,n] , \\ 0 \text{ sonst} , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert ist. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass die Funktionenfolge $f_n$ \definitionsverweis {punktweise}{}{} gegen $f$ konvergiert. } {Charakterisiere die \definitionsverweis {gleichmäßige Konvergenz}{}{} der Funktionenfolge. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} betrachten wir die Funktionen \maabbeledisp {f_n} {\R} {\R } {x} {f_n(x) } {,} die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n(x) }
{ =} { \begin{cases} 0, \text{ für } x \leq 0 , \\ nx \text{ für } 0 < x \leq 1/n , \\ 2- n x \text{ für } 1/n < x \leq 2/n , \\ 0, \text{ für } x > 2/n \, .\end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert sind. Zeige, dass diese Funktionen \definitionsverweis {stetig}{}{} sind, und dass diese \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \definitionsverweis {punktweise}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {gleichmäßig}{}{} gegen die \definitionsverweis {Nullfunktion}{}{} konvergiert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ eine Menge und es seien \maabbdisp {f_n,g_n,h_n} {T} { \R } {} \definitionsverweis {Funktionenfolgen}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_n(x) }
{ \leq} { g_n(x) }
{ \leq} { h_n(x) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die Funktionenfolgen \mathkor {} {{ \left( f_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( h_n \right) }_{n \in \N }} {} seien \definitionsverweis {gleichmäßig konvergent}{}{} gegen die Grenzfunktion \maabb {f} {T} { \R } {.} Zeige, dass auch
\mathl{{ \left( g_n \right) }_{n \in \N }}{} gleichmäßig gegen $f$ konvergiert.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \maabbdisp {f_n} {\R} {\R } {} derart, dass sämtliche $f_n$ nicht \definitionsverweis {stetig}{}{} sind, die Funktionenfolge aber \definitionsverweis {gleichmäßig}{}{} gegen eine stetige \definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{} konvergiert.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Funktionenfolge $f_n$ auf $\R_{\geq 0}$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n (x) }
{ \defeq} { { \frac{ \left \lfloor 10^n x \right \rfloor }{ 10^n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungfuenf{Berechne die Funktionswerte
\mathl{f_n(x)}{} für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {11,793105 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{0,1,2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Skizziere die Funktionen \mathkor {} {f_1} {und} {f_2} {} auf dem Intervall $[0,1]$. }{Begründe, dass die $f_n$ nicht stetig sind. }{Zeige, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert. Was ist die Grenzfunktion? }{Zeige, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \maabbeledisp {f_n} {I} {\R } {x} {x^{1/n} } {.} Zeige, dass diese Folge für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ = }{ \R_{\geq 0} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{,} und untersuche die Folge auf \definitionsverweis {gleichmäßige Konvergenz}{}{} für die verschiedenen Definitionsmengen
\mathdisp {I=\R_{\geq 0},\, \R_+,\, [1, \infty],\, [\frac{1}{5}, 5],\, ]0,1],\, [0,1]} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{T \subseteq {\mathbb K}}{} eine Teilmenge und es sei \maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K} } {} eine Folge von \definitionsverweis {gleichmäßig stetigen Funktionen}{}{,} die \definitionsverweis {gleichmäßig}{}{} gegen die Funktion $f$ konvergiert. Zeige, dass $f$ gleichmäßig stetig ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $T$ eine Menge und seien \maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K} } {} und \maabbdisp {g_n} {T} { {\mathbb K} } {} zwei \definitionsverweis {gleichmäßig konvergente}{}{} \definitionsverweis {Funktionenfolgen}{}{.} Zeige, dass auch die Summenfolge \maabbeledisp {f_n+g_n} {T } { {\mathbb K} } {t} { f_n(t) +g_n(t) } {,} gleichmäßig konvergent ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ eine Menge und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ f:T \rightarrow {\mathbb C} \mid \Vert {f} \Vert_T < \infty \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Menge der beschränkten \definitionsverweis {komplexwertigen}{}{} \definitionsverweis {Funktionen}{}{} auf $T$. Zeige, dass $M$ ein \definitionsverweis {komplexer Vektorraum}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise den Satz über die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge \maabbdisp {f_n} {T} {{\mathbb K} } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{} auf ${\mathbb C}$ nicht \definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ = }{ {\sum }_{ n=0 }^{ \infty } c_{ n } z ^{ n } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {komplexe Potenzreihe}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_n }
{ = }{ a_n + { \mathrm i} b_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme für $F$ die Zerlegung in Realteil und Imaginärteil, d.h. bestimme die reellwertigen Funktionen \mathkor {} {g(x,y)} {und} {h(x,y)} {,} derart dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{n = 0}^\infty c_n z^n }
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty c_n { \left( x+ { \mathrm i} y \right) }^n }
{ =} { g(x,y)+ { \mathrm i} h(x,y) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. In welchem Sinne ist dabei diese Gleichheit zu verstehen?

}
{} {}




\inputaufgabe
{4 (3+1)}
{

\aufzaehlungzwei {Zerlege
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos z }
{ =} { \cos \left( x+ y { \mathrm i} \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in Realteil und Imaginärteil. } {Bestätige die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen für Real- und Imaginärteil aus Teil (1). }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{ {\mathbb K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge und es sei \maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K} } {} eine Folge von \definitionsverweis {gleichmäßig stetigen}{}{} Funktionen, die \definitionsverweis {gleichmäßig}{}{} gegen die Funktion $f$ konvergiert. Zeige, dass dann $f$ gleichmäßig stetig ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $T$ eine Menge und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ f:T \rightarrow {\mathbb C} \mid \Vert {f} \Vert_T < \infty \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Menge der beschränkten \definitionsverweis {komplexwertigen}{}{} \definitionsverweis {Funktionen}{}{} auf $T$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{} auf $M$ folgende Eigenschaften erfüllt. \aufzaehlungvier{
\mathl{\Vert {f} \Vert \geq 0}{} für alle $f \in M$. }{
\mathl{\Vert {f} \Vert = 0}{} genau dann, wenn
\mathl{f=0}{} ist. }{Für
\mathl{\lambda \in {\mathbb C}}{} und
\mathl{f \in M}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\lambda f} \Vert }
{ =} {\betrag { \lambda } \cdot \Vert {f} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Für
\mathl{g,f \in M}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {g+f} \Vert }
{ \leq} { \Vert {g} \Vert + \Vert {f} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i }
{ \in }{ \{ 0,1 , \ldots , n \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {konvergente}{}{} Folge
\mathdisp {{ \left( c_{in} \right) }_{ n \in \N }} { }
in ${\mathbb C}$ gegeben, deren \definitionsverweis {Limes}{}{} mit $c_i$ bezeichnet sei. Wir betrachten die Folge ${ \left( f_n \right) }_{n \in \N }$ von Polynomen vom Grad $\leq d$, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n }
{ \defeq} {c_{dn}x^d + c_{d-1 \, n }x^{d-1} + \cdots + c_{2n}x^2 + c_{1 n }x +c_{0n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert sind. Zeige, dass diese Funktionenfolge auf jeder \definitionsverweis {abgeschlossenen Kreisscheibe}{}{} $B \left( 0,r \right)$ \definitionsverweis {gleichmäßig}{}{} gegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f }
{ =} {c_{d}x^d + c_{d-1 }x^{d-1} + \cdots + c_{2}x^2 + c_{1 }x +c_{0} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} konvergiert.

}
{} {}