Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 7/latex
\setcounter{section}{7}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $z$ eine
\definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Beweise für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch Induktion die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 0}^n z^k
}
{ =} { { \frac{ z^{n+1} -1 }{ z-1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine beschreibende Potenzreihe für die \definitionsverweis {komplexe Invertierung}{}{} im Entwicklungspunkt $1$ mit Hilfe von Satz 7.3.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $z \in {\mathbb C},\, \betrag { z } <1$. Bestimme und beweise eine Formel für die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty (-1)^k z^k} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $z \in {\mathbb C},\, \betrag { z } <1$. Bestimme und beweise eine Formel für die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty { \mathrm i}^k z^k} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathbed {z \in {\mathbb C}} {,}
{\betrag { z } <1} {}
{} {} {} {.}
Bestimme
\zusatzklammer {in Abhängigkeit von $z$} {} {}
die
\definitionsverweis {Summen}{}{}
der beiden
\definitionsverweis {Reihen}{}{}
\mathdisp {\sum_{k=0 }^\infty z^{2k} \text{ und } \sum_{k=0 }^\infty z^{2k+1}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme, für welche komplexe Zahlen $z$ die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ n = 0}^\infty n^nz^n} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n } \text{ und } \sum _{ n= 0}^\infty b_n z^{ n }} { }
zwei
\definitionsverweis {absolut konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihen}{}{}
in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Cauchy-Produkt}{}{}
der beiden Reihen durch
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n } \text{ mit } c_n = \sum_{i=0}^{n} a_i b_{n-i}} { }
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }} { }
eine
\definitionsverweis {absolut konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{.}
Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen $z^0,z^1,z^2,z^3,z^4$ in der dritten
\definitionsverweis {Potenz}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }
}
{ =} {{ \left( \sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n } \right) }^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }} { }
eine
\definitionsverweis {absolut konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{.}
Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen $z^0,z^1,z^2,z^3,z^4,z^5$ in der vierten
\definitionsverweis {Potenz}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }
}
{ =} { { \left( \sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n } \right) }^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise den Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise die Funktionalgleichung für die komplexe Exponentialfunktion.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Sinh-cosh-r-28pt.svg} }
\end{center}
\bildtext {Der Verlauf der Hyperbelfunktionen im Reellen.} }
\bildlizenz { Sinh-cosh-r-28pt.svg } {} {Emdee} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Die für $z \in {\mathbb C}$ durch
\mathdisp {\sinh z := \frac{1}{2}(e^z - e^{-z})} { }
definierte
\definitionsverweis {Funktion}{}{} heißt \definitionswort {Sinus hyperbolicus}{.}
Die für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cosh z
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( e^z + e^{-z} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
heißt \definitionswort {Kosinus hyperbolicus}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige die folgenden Eigenschaften von
\definitionsverweis {Sinus hyperbolicus}{}{}
und
\definitionsverweis {Kosinus hyperbolicus}{}{}
\zusatzklammer {dabei ist $z \in {\mathbb C}$.} {} {}
\aufzaehlungvier{
\mathdisp {\cosh z+ \sinh z = e^z} { . }
}{
\mathdisp {\cosh z - \sinh z = e^{-z}} { . }
}{
\mathdisp {( \cosh z )^2 - ( \sinh z )^2 = 1} { . }
}{
\mathdisp {\cosh { \mathrm i} z = \cos z \text{ und } \sinh { \mathrm i} z = { \mathrm i} \cdot \sin z} { . }
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die Additionstheoreme für die \definitionsverweis {Hyperbelfunktionen}{}{,} also
a)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sinh (x + y)
}
{ =} { \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cosh(x + y)
}
{ =} {\cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die Funktionen
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} { \cos z
} {,}
und
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} { \sin z
} {,}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z,w
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgende Eigenschaften erfüllen.
\aufzaehlungsechs{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{x+ { \mathrm i} y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp z
}
{ =} { (\exp x) ( \cos y + { \mathrm i} \sin y )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Speziell gilt die \stichwort {eulersche Formel} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp { \mathrm i} y
}
{ =} { \cos y + { \mathrm i} \sin y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mathkor {} {\cos 0 =1} {und} {\sin 0 =0} {.}
}{Es ist
\mathkor {} {\cos \left( -z \right) = \cos z} {und} {\sin \left( -z \right) = - \sin z} {.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos z
}
{ =} { { \frac{ \exp \left( { \mathrm i} z \right) + \exp \left( -{ \mathrm i} z \right) }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin z
}
{ =} { { \frac{ \exp \left( { \mathrm i} z \right) - \exp \left( -{ \mathrm i} z \right) }{ 2 { \mathrm i} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es gelten die Additionstheoreme
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos (z+w)
}
{ =} { \cos z \, \cos w - \sin z \, \sin w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin (z+w)
}
{ =} { \sin z \, \cos w + \cos z \, \sin w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \cos z)^2 + (\sin z)^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion in ${\mathbb C}$ die folgenden \stichwort {Periodizitätseigenschaften} {} erfüllen.
\aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( z+2 \pi \right)
}
{ = }{ \cos z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( z+2 \pi \right)
}
{ = }{ \sin z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( z+ \pi \right)
}
{ = }{ - \cos z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( z+ \pi \right)
}
{ = }{ - \sin z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( z+ \pi/2 \right)
}
{ = }{ - \sin z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( z+ \pi/2 \right)
}
{ = }{ \cos z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos 0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \pi/2
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \pi
}
{ = }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos 3\pi/2
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos 2 \pi
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Nullstellen des Kosinus sind von der Form
\mathbed {{ \frac{ \pi }{ 2 } } +n \pi} {}
{n \in \Z} {}
{} {} {} {.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin 0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \pi/2
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \pi
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin 3\pi/2
}
{ = }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin 2 \pi
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Nullstellen des Sinus sind von der Form
\mathbed {n \pi} {}
{n \in \Z} {}
{} {} {} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Koeffizienten bis zu $z^6$ in der \definitionsverweis {Produktreihe}{}{} $\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }$ aus der \definitionsverweis {Sinusreihe}{}{} und der \definitionsverweis {Kosinusreihe}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die
\definitionsverweis {geometrische Reihe}{}{}
$\sum_{n = 0}^\infty z^n$ die Zerlegung in Realteil und Imaginärteil, d.h. bestimme die Funktionen
\mathkor {} {g(x,y)} {und} {h(x,y)} {,}
derart dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{n = 0}^\infty z^n
}
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty { \left( x+ { \mathrm i} y \right) }^n
}
{ =} { g(x,y)+ { \mathrm i} h(x,y)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Vergleiche das Ergebnis mit der Zerlegung der rationalen Funktion
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 1-z } }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in ${\mathbb K}$. Es sei $T$ eine nichtleere Menge und
\maabb {f_n} {T} { {\mathbb K}
} {}
die
\definitionsverweis {konstante Funktion}{}{}
mit dem Wert $x_n$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{Die Folge ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ ist
\definitionsverweis {konvergent}{}{.}
}{Die Funktionenfolge
\mathl{{ \left( f_n \right) }_{n \in \N }}{} ist
\definitionsverweis {punktweise konvergent}{}{.}
}{Die Funktionenfolge
\mathl{{ \left( f_n \right) }_{n \in \N }}{} ist
\definitionsverweis {gleichmäßig konvergent}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ eine endliche Menge und sei \maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K} } {} eine Funktionenfolge auf $T$. Zeige, das ${ \left( f_n \right) }_{n \in \N }$ genau dann \definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{,} wenn ${ \left( f_n \right) }_{n \in \N }$ \definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{} in $\R$. Wir betrachten auf einem \definitionsverweis {reellen Intervall}{}{} $[a,b]$ die \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \maabbeledisp {f_n} {[a,b]} {\R } {t} {t x_n } {.} Zeige, dass diese Funktionenfolge \definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{,} und bestimme die \definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{} in $\R$. Wir betrachten die \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \maabbeledisp {f_n} {\R} {\R } {t} {t x_n } {.} Zeige, dass diese Funktionenfolge \definitionsverweis {punktweise}{}{,} aber im Allgemeinen nicht \definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{.} Was ist die \definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ eine Menge und
\maabb {f} { T} { \R
} {}
eine Funktion, wir betrachten die
\definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n
}
{ \defeq} { { \frac{ 1 }{ n } } f
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Die Funktionenfolge $f_n$
\definitionsverweis {konvergiert punktweise}{}{}
gegen die Nullfunktion.
} {Die Konvergenz ist genau dann
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{,}
wenn $f$
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} { \R} { \R
} {}
eine Funktion, wir betrachten die
\definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{}
$f_n$, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n (x)
}
{ \defeq} { \begin{cases} f(x), \text{ wenn } x \in [-n,n] , \\ 0 \text{ sonst} , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert ist.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass die Funktionenfolge $f_n$
\definitionsverweis {punktweise}{}{}
gegen $f$ konvergiert.
} {Charakterisiere die
\definitionsverweis {gleichmäßige Konvergenz}{}{}
der Funktionenfolge.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
betrachten wir die Funktionen
\maabbeledisp {f_n} {\R} {\R
} {x} {f_n(x)
} {,}
die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n(x)
}
{ =} { \begin{cases} 0, \text{ für } x \leq 0 , \\ nx \text{ für } 0 < x \leq 1/n , \\ 2- n x \text{ für } 1/n < x \leq 2/n , \\ 0, \text{ für } x > 2/n \, .\end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert sind. Zeige, dass diese Funktionen
\definitionsverweis {stetig}{}{}
sind, und dass diese
\definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{}
\definitionsverweis {punktweise}{}{,}
aber nicht
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{}
gegen die
\definitionsverweis {Nullfunktion}{}{}
konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ eine Menge und es seien
\maabbdisp {f_n,g_n,h_n} {T} { \R
} {}
\definitionsverweis {Funktionenfolgen}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_n(x)
}
{ \leq} { g_n(x)
}
{ \leq} { h_n(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Funktionenfolgen
\mathkor {} {{ \left( f_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( h_n \right) }_{n \in \N }} {}
seien
\definitionsverweis {gleichmäßig konvergent}{}{}
gegen die Grenzfunktion
\maabb {f} {T} { \R
} {.}
Zeige, dass auch
\mathl{{ \left( g_n \right) }_{n \in \N }}{} gleichmäßig gegen $f$ konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \maabbdisp {f_n} {\R} {\R } {} derart, dass sämtliche $f_n$ nicht \definitionsverweis {stetig}{}{} sind, die Funktionenfolge aber \definitionsverweis {gleichmäßig}{}{} gegen eine stetige \definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{} konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Funktionenfolge $f_n$ auf $\R_{\geq 0}$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n (x)
}
{ \defeq} { { \frac{ \left \lfloor 10^n x \right \rfloor }{ 10^n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungfuenf{Berechne die Funktionswerte
\mathl{f_n(x)}{} für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {11,793105
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{0,1,2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Skizziere die Funktionen
\mathkor {} {f_1} {und} {f_2} {}
auf dem Intervall $[0,1]$.
}{Begründe, dass die $f_n$ nicht stetig sind.
}{Zeige, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert. Was ist die Grenzfunktion?
}{Zeige, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{}
\maabbeledisp {f_n} {I} {\R
} {x} {x^{1/n}
} {.}
Zeige, dass diese Folge für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{,}
und untersuche die Folge auf
\definitionsverweis {gleichmäßige Konvergenz}{}{}
für die verschiedenen Definitionsmengen
\mathdisp {I=\R_{\geq 0},\, \R_+,\, [1, \infty],\, [\frac{1}{5}, 5],\, ]0,1],\, [0,1]} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{T \subseteq {\mathbb K}}{} eine Teilmenge und es sei
\maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K}
} {}
eine Folge von
\definitionsverweis {gleichmäßig stetigen Funktionen}{}{,}
die
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{}
gegen die Funktion $f$ konvergiert. Zeige, dass $f$ gleichmäßig stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $T$ eine Menge und seien \maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K} } {} und \maabbdisp {g_n} {T} { {\mathbb K} } {} zwei \definitionsverweis {gleichmäßig konvergente}{}{} \definitionsverweis {Funktionenfolgen}{}{.} Zeige, dass auch die Summenfolge \maabbeledisp {f_n+g_n} {T } { {\mathbb K} } {t} { f_n(t) +g_n(t) } {,} gleichmäßig konvergent ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ eine Menge und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ f:T \rightarrow {\mathbb C} \mid \Vert {f} \Vert_T < \infty \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge der beschränkten
\definitionsverweis {komplexwertigen}{}{}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{}
auf $T$. Zeige, dass $M$ ein
\definitionsverweis {komplexer Vektorraum}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise den Satz über die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge \maabbdisp {f_n} {T} {{\mathbb K} } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{} auf ${\mathbb C}$ nicht \definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ {\sum }_{ n=0 }^{ \infty } c_{ n } z ^{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {komplexe Potenzreihe}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_n
}
{ = }{ a_n + { \mathrm i} b_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme für $F$ die Zerlegung in Realteil und Imaginärteil, d.h. bestimme die reellwertigen Funktionen
\mathkor {} {g(x,y)} {und} {h(x,y)} {,}
derart dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{n = 0}^\infty c_n z^n
}
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty c_n { \left( x+ { \mathrm i} y \right) }^n
}
{ =} { g(x,y)+ { \mathrm i} h(x,y)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. In welchem Sinne ist dabei diese Gleichheit zu verstehen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (3+1)}
{
\aufzaehlungzwei {Zerlege
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos z
}
{ =} { \cos \left( x+ y { \mathrm i} \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in Realteil und Imaginärteil.
} {Bestätige die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen für Real- und Imaginärteil aus Teil (1).
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und es sei
\maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K}
} {}
eine Folge von
\definitionsverweis {gleichmäßig stetigen}{}{}
Funktionen, die
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{}
gegen die Funktion $f$ konvergiert. Zeige, dass dann $f$ gleichmäßig stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $T$ eine Menge und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ f:T \rightarrow {\mathbb C} \mid \Vert {f} \Vert_T < \infty \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge der beschränkten
\definitionsverweis {komplexwertigen}{}{}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{}
auf $T$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{}
auf $M$ folgende Eigenschaften erfüllt.
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\lambda f} \Vert
}
{ =} { \betrag { \lambda } \cdot \Vert {f} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,f
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {g+f} \Vert
}
{ \leq} { \Vert {g} \Vert + \Vert {f} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \in }{ \{ 0,1 , \ldots , n \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
Folge
\mathdisp {{ \left( c_{in} \right) }_{ n \in \N }} { }
in ${\mathbb C}$ gegeben, deren
\definitionsverweis {Limes}{}{}
mit $c_i$ bezeichnet sei. Wir betrachten die Folge ${ \left( f_n \right) }_{n \in \N }$ von Polynomen vom Grad $\leq d$, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n
}
{ \defeq} {c_{dn}x^d + c_{d-1 \, n }x^{d-1} + \cdots + c_{2n}x^2 + c_{1 n }x +c_{0n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert sind. Zeige, dass diese Funktionenfolge auf jeder
\definitionsverweis {abgeschlossenen Kreisscheibe}{}{}
$B \left( 0,r \right)$
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{}
gegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} {c_{d}x^d + c_{d-1 }x^{d-1} + \cdots + c_{2}x^2 + c_{1 }x +c_{0}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
konvergiert.
}
{} {}