Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Information/Inhalt

Unter Funktionentheorie versteht man die Theorie der komplex-differenzierbaren Funktionen von (einer offenen Teilmenge von) ${}{\mathbb {C} }$ nach ${}{\mathbb {C} }$. Auf den ersten Blick werden dabei viele bekannte Funktionen vom Reellen ins Komplexe fortgesetzt. Das Erstaunliche ist aber, dass im Komplexen deutlich stärkere Gesetzmäßigkeiten gelten, beispielsweise, dass jede komplex-differenzierbare Funktion bereits unendlich oft differenzierbar ist, siehe Satz 14.2. Dagegen ist es keineswegs so, dass jede komplex-differenzierbare Funktion eine Stammfunktion besitzt, im starken Gegensatz zu Korollar 24.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)). Die Funktionentheorie bietet ein faszinierendes Zusammenspiel von Analysis (Differenzierbarkeit, Konvergenzbegriffe), Integrationstheorie (Integralsatz von Cauchy, Residuum), Differentialgleichungen (Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen, Differentialgleichung für die Weierstraßfunktion), linearer Algebra (lineare und antilineare Abbildungen, Winkeltreue Abbildungen), Algebra (Potenzreihenring, Funktionenkörper, Gitter) und Topologie (Fundamentalgruppe, Überlagerung, Homotopieprinzip, riemannscher Abbildungssatz).