Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/13/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	2	2	4	4	2	4	3	4	4	3	3	2	2	1	3	6	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Beschreibe mit Quantoren die Eigenschaft einer Abbildung

$F\colon L\longrightarrow M,$

konstant zu sein.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten auf der Menge

${}M=\{a,b,c,d\}\,$

die durch die Tabelle

${}\star$	${}a$	${}b$	${}c$	${}d$
${}a$	${}b$	${}a$	${}c$	${}a$
${}b$	${}d$	${}a$	${}b$	${}b$
${}c$	${}a$	${}b$	${}c$	${}c$
${}d$	${}b$	${}d$	${}d$	${}d$

gegebene Verknüpfung ${}\star$.

1. Berechne

   $b\star (a\star (d\star a)).$

2. Besitzt die Verknüpfung ${}\star$ ein neutrales Element?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}a\in R$ ein Element in einem kommutativen Ring. Berechne ${}20a$ mit maximal fünf Additionen.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}a,b\in M$ zwei verschiedene Elemente. Definiere durch eine Fallunterscheidung eine Bijektion von ${}M$ nach ${}M$, die ${}a$ und ${}b$ vertauscht, und sonst alle Elemente unverändert lässt.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Eindeutigkeit der Multiplikation auf ${}\mathbb {N}$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}\preccurlyeq$ eine Ordnung auf ${}M$. Zeige durch Induktion über ${}n\geq 2$ die Aussage: Wenn für Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in M$ die Beziehung

${}a_{1}\preccurlyeq a_{2}\preccurlyeq \ldots \preccurlyeq a_{n-1}\preccurlyeq a_{n}\,$

und

${}a_{n}\preccurlyeq a_{1}\,$

gilt, dann sind alle ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ gleich.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Gabi Hochster hat sich wieder über Frau Maier-Sengupta geärgert. Sie möchte sagen „Frau Maier-Sengupta ist unterbelichtet“, doch weil sie keinen neuen Vermerk kassieren will, ändert sie in dem Satz jeden Vokal (stellenweise) zu einem anderen Vokal (ohne Umlaute) und jeden Diphthong (für uns sind das au, ai und eu) zu einem anderen Diphthong. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten die rekursive Beziehung

${}{\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,$

erfüllen.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}a,b,c,d$ natürliche Zahlen mit

${}a+b=c+d\,.$

Es sei ${}a\geq c$. Zeige, dass dann ${}d\geq b$ ist und dass

${}a-c=d-b\,$

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}a,b,c,d$ positive natürliche Zahlen. Es sei ${}b$ ein Teiler von ${}a$ und ${}d$ ein Teiler von ${}c$. Ferner sei ${}{\frac {c}{d}}$ ein Teiler von ${}{\frac {a}{b}}$. Zeige, dass dann ${}bc$ ein Teiler von ${}ad$ ist, und dass die Beziehung

${}{\frac {\,\,{\frac {a}{b}}\,\,}{\,\,{\frac {c}{d}}\,\,}}={\frac {ad}{bc}}\,$

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen ${}d,n$ mit ${}d>0$ eindeutig bestimmte ganze Zahlen ${}k,s$ mit

${}n=kd+s\,$

und mit

${}-{\frac {d}{2}}<s\leq {\frac {d}{2}}\,$

gibt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${}3146$ und ${}1515$ und man gebe eine Darstellung des ${}\operatorname {ggT}$ von ${}3146$ und ${}1515$ mittels dieser Zahlen an.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache und den größten gemeinsamen Teiler der drei Zahlen

$3^{4}\cdot 5^{2},\,2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{1}\cdot 7^{1},\,2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}.$

Die Ergebnisse sollen ausgerechnet vorliegen.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Mustafa Müller beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Schokolade seiner Lieblingssorte „Gaumenfreude“ zu ernähren. Eine Tafel besitzt einen Energiewert von ${}2300$ kJ und sein Tagesbedarf an Energie ist ${}10000$ kJ. Wie viele Tafeln muss er am Tag (gerundet auf zwei Nachkommastellen) und wie viele Tafeln muss er in der Woche essen?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass für die Differenz von rationalen Zahlen die Gleichheit

${}{\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}\,$

gilt.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

An der Tafel steht der Bruch

${\frac {541000}{3520000}},$

es ist aber nicht klar, auf welches Stellensystem er sich bezieht. Welche Vereinfachung kann man auf jeden Fall vornehmen?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die algebraische Struktur der Dezimalbrüche.

Aufgabe * (6 (3+2+1) Punkte)Referenznummer erstellen

In einer Äpfelpackung befinden sich stets sechs Äpfel, die zusammen ein Kilo wiegen sollen, wobei eine Toleranz zwischen ${}995$ und ${}1005$ Gramm erlaubt ist. Der kleinste Apfel in der Packung muss mindestens ${}90$ Prozent des Gewichts des größten Apfels der Packung haben.

1. Wie schwer (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung maximal sein?
2. Wie leicht (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung minimal sein?
3. Um wie viel Prozent ist der größtmögliche Apfel schwerer als der kleinstmögliche Apfel?

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe explizit ein ${}m$ mit der Eigenschaft an, dass für alle ${}n\geq m$ die Abschätzung

${}1,03^{n}\geq n^{2}\,$

gilt.