Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/22/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	${}\sum$
Punkte	3	3	0	1	3	4	3	2	4	3	6	3	3	2	2	4	3	2	3	2	0	56

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Komplement zu einer Teilmenge ${}T$ in einer Menge ${}M$.
2. Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$.
3. Die Fakultät einer natürlichen Zahl ${}n$.
4. Eine rationale Zahl.
5. Das arithmetische Mittel zu Elementen ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
6. Der Betrag eines Elementes ${}x$ in einem angeordneten Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Wohldefiniertheit der Anzahl.
2. Die rekursive Beziehung zwischen den Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck).
3. Der Satz über die Lösbarkeit von Gleichungen in einer Gruppe ${}G$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (1 Punkt)

Es ist schulbekannt, dass der Schuldirektor gerne die Quantoren durcheinander bringt. Er bittet Sie als Lehererin zu einem ernsten Gespräch und sagt: „Alle Eltern der Klasse 3b haben sich über Sie beschwert“. Was ist Ihre Rückfrage?

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wir zählen im Einsilbensystem, also mit den Abweichungen

sechs, sie, ben, acht, ... , sechzehn, siezehn, benzehn, achtzehn, ..., sechsundsiezig, sieundsiezig, benundsiezig, achtundsiezig, .. ., sechsundbenzig, sieundbenzig, benundbenzig, achtundbenzig, ...

1. Drücke die übliche Zahl Siebenundachtzig als Einsilbenzahl aus.
2. Drücke die Einsilbenzahl Sieundachtzig in der üblichen Weise aus.
3. Drücke die Einsilbenzahl Bentausendsiehundertbenundbenzig in der üblichen Weise aus.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und seien ${}A\subseteq M$ und ${}B\subseteq N$ Teilmengen. Zeige die Gleichheit

${}{\left(A\times N\right)}\cap {\left(M\times B\right)}=A\times B\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion aus den Dedekind-Peano-Axiomen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}a,b,c$ natürliche Zahlen mit ${}a,b\geq c$. Zeige

${}(a-c)+b=a+(b-c)\,.$

Gilt

${}(8-5)+3=8+(3-5)\,$

in ${}\mathbb {N}$?

Aufgabe * (4 Punkte)

Finde die Zifferntupel ${}(a,b,c)\in \{1,2,\ldots ,9\}^{3}$, die die Gleichung

${}a\cdot ba=ac\,$

erfüllen, wobei ${}ba$ und ${}ac$ zweistellige Zahlen im Dezimalsystem bezeichnen. Schreibe die Gleichungen für die gefundenen Lösungen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die erste binomische Formel für einen kommutativen Halbring.

Aufgabe * (6 (1+1+3+1) Punkte)

Der VfB Stuttgart spielt gegen Bayern München und gewinnt auch in dieser Höhe verdient mit ${}8:3$.

1. Wie viele Möglichkeiten für die Torreihenfolge gibt es?
2. Wie viele Möglichkeiten für den Spielverlauf gibt es, wenn man unter Spielverlauf die Torreihenfolge und den Halbzeitstand versteht.
3. Das Spiel dauerte genau ${}90$ Minuten und in jeder Minute fiel höchstens ein Tor. Wie viele Möglichkeiten für den Spielverlauf gibt es, wenn man darunter versteht, welche Mannschaft in welcher Minute ein Tor geschossen hat (hier genügt eine Formel)?
4. Wie viele Möglichkeiten für die Torreihenfolge gibt es, wenn man weiß, dass Stuttgart, abgesehen vom anfänglichen ${}0:0$, stets in Führung lag.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte ${}i\cdot j$ mit ${}1\leq i,j\leq 9$ stehen.

1. Ist das Produkt über alle Einträge in der Hauptdiagonale (von links oben nach rechts unten) eine Quadratzahl?
2. Ist das Produkt über alle Einträge in der Hauptdiagonale eine Kubikzahl?
3. Ist das Produkt über alle Einträge in der Nebendiagonale (von links unten nach rechts oben) eine Quadratzahl?

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von

${\binom {49}{6}}.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Gabi Hochster sagt zu Heinz Ngolo: „Also, wir haben im Universum genau ${}10^{80}$ Atome, das nehmen wir jetzt mal so hin. Diese ordnen wir hintereinander von links nach rechts an und zeichnen auf jedem Atom ein Minuszeichen drauf. Nur auf den drei allerletzten Atomen malen wir der Reihe nach eine ${}1$, eine ${}7$ und eine ${}4$“. „Ich will aber auf meinen Atomen keine Minuszeichen haben“, sagt Heinz. „Egal, nun mach halt mit, es geht um die abstrakte Rechnung als solche“, bekräftigt Gabi, „also, ist diese geschriebene Zahl positiv oder negativ, ist sie gerade oder ungerade“?

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass für jede ungerade Zahl ${}n$ die Zahl ${}25n^{2}-17$ ein Vielfaches von ${}8$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}10868$ und ${}9243$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die kleinste natürliche Zahl ${}\geq 2$, die nicht prim ist und die außer ${}1$ keinen Teiler kleiner als ${}10$ besitzt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ versehen mit der üblichen Addition. Es sei ${}c\neq 0$ fixiert. Zeige, dass mit der Verknüpfung

${}x*y:={\frac {xy}{c}}\,$

ein Körper vorliegt. Was ist dabei das neutrale Element zur neuen Multiplikation ${}*$?

Aufgabe * (2 Punkte)

Im Wald lebt ein Riese, der ${}8$ Meter und ${}37$ cm groß ist, sowie eine Kolonie von Zwergen, die eine Schulterhöhe von ${}3$ cm haben und mit dem Kopf insgesamt ${}4$ cm groß sind. Hals und Kopf des Riesen sind ${}1,23$ Meter hoch. Auf der Schulter des Riesen steht ein Zwerg. Wie viele Zwerge müssen aufeinander (auf den Schultern) stehen, damit der oberste Zwerg mit dem Zwerg auf dem Riesen zumindest gleichauf ist?

Aufgabe (0 Punkte)