Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/23/Klausur mit Lösungen/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	${}\sum$
Punkte	3	3	0	1	2	5	1	2	3	1	1	3	4	6	1	2	2	2	3	7	1	4	0	3	60

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Erstelle eine Wertetabelle, die für jede natürliche Zahl von ${}1$ bis ${}10$ ausgibt, mit wie vielen Eurozahlen die Zahl minimal darstellbar ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Integritätseigenschaft für die natürlichen Zahlen.

Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir behaupten, dass die Summe von vier aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen durch ${}8$ teilbar ist.

1. Beweise diese Aussage mit vollständiger Induktion.
2. Beweise diese Aussage ohne vollständige Induktion.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Winnetou und Old Shatterhand liegen nachts am Strand des Rio Pecos und halten ihre vom harten Tagesritt müden Füße in den Fluss. Dabei schauen sie in den Himmel und zählen Sternschnuppen. Winnetou sieht ${}117$ und Old Shatterhand sieht ${}94$ Sternschnuppen. Old Shatterhand sieht von den von Winnetou gesichteten Sternschnuppen ${}39$ nicht. Wie viele der Sternschnuppen, die von Old Shatterhand gesichtet wurden, sieht Winnetou nicht?

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Wie viele (wesentlich verschiedene) Möglichkeiten gibt es, die Seiten eines Würfels von ${}1$ bis ${}6$ derart zu nummerieren, dass die Summe gegenüberliegender Seiten stets ${}7$ ergibt?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Distributivgesetz für die Differenz von natürlichen Zahlen.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Es seien ${}a,b$ Elemente in einem kommutativen Halbring ${}R$. Berechne

$(a+2b)\cdot (2a+3b).$

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Berechne (Klammern um die Minuszeichen wurden weggelassen)

$----------------7\cdot -------11.$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme, für welche ${}n\geq 2$ der Binomialkoeffizient

${\binom {n}{2}}$

eine Primzahl ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine ${}n$-elementige Menge. Zeige, dass die Anzahl der ${}k$-elementigen Teilmengen von ${}M$ gleich dem Binomialkoeffizienten

${\binom {n}{k}}$

ist.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen ${}d,n$ mit ${}d>0$ eindeutig bestimmte ganze Zahlen ${}q,r$ mit ${}0\leq r<d$ und mit

${}n=dq+r\,$

gibt.

Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen

In einem mathematischen Text steht „${}n=1,2$“. Welche Bedeutungen könnten damit gemeint sein?

Aufgabe * (2 (0.5+0.5+0.5+0.5) Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme, von welcher Art (im Sinne der Vorlesung) die folgenden Gleichungen sind.

1. ${}-(-x)=x\,,$

2. ${}x^{2}-3x+5=0\,.$

3. ${}13-8=5\,,$

4. ${}a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}10^{i}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die kleinste natürliche Zahl ${}>99$, die ein Vielfaches von ${}99$ ist und in deren Darstellung im Dezimalsystem nur Neunen vorkommen.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es bezeichne ${}N$ die Nachfolgerabbildung und ${}V$ die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Begründe die Umlegungsregel

${}x+y=N(x)+V(y)\,$

unter Bezug auf das Assoziativgesetz der Addition.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Finde eine ganzzahlige Lösung ${}(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ für die Gleichung

   ${}x^{2}-y^{3}+2=0\,.$

2. Zeige, dass

   $\left({\frac {383}{1000}},\,{\frac {129}{100}}\right)$

   eine Lösung für die Gleichung

   ${}x^{2}-y^{3}+2=0\,$

   ist.

Aufgabe * (7 (3+4) Punkte)Referenznummer erstellen

Der Flächeninhalt eines Quadrates mit Seitenlänge ${}1$ (das Einheitsquadrat) wird als ${}1$ festgelegt.

1. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen ${}a,b\in \mathbb {N}$ sind, den Flächeninhalt ${}ab$ besitzt. Welche naheliegenden Gesetzmäßigkeiten für den Flächeninhalt werden dabei verwendet?
2. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen ${}x,y\in \mathbb {Q} _{+}$ sind, den Flächeninhalt ${}xy$ besitzt.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Finde eine natürliche Zahl ${}n$ derart, dass

${}{\left({\frac {8}{7}}\right)}^{n}\geq 1000\,$

ist.

Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Durch welche ganze Zahlen kann man innerhalb der Dezimalbrüche stets dividieren?
2. Durch welche rationalen Zahlen kann man innerhalb der Dezimalbrüche stets dividieren?

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Diskutiere Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen der Abziehregel und der Kürzungsregel auf ${}\mathbb {N}$.