Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/23/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	${}\sum$
Punkte	3	3	0	1	2	5	1	2	3	1	1	3	4	6	1	2	2	2	3	7	1	4	0	3	60

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$.
2. Die Assoziativität einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$

3. Eine Primzahl.
4. Ein Ring ${}R$.
5. Ein gemeinsamer Teiler von natürlichen Zahlen ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$.
6. Ein Dezimalbruch.

Lösung

1. Die Abbildung

   $G\colon M\longrightarrow L,$

   die jedes Element ${}y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element ${}x\in L$ mit ${}F(x)=y$ abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu ${}F$.

2. Eine Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

   heißt assoziativ, wenn für alle ${}x,y,z\in M$ die Gleichheit

   ${}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$

   gilt.

3. Eine natürliche Zahl ${}n\geq 2$ heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr ${}1$ und ${}n$ sind.
4. Eine Menge ${}R$ heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

   $+:R\times R\longrightarrow R{\text{ und }}\cdot :R\times R\longrightarrow R$

   und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente ${}0,1\in R$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

   1. Axiome der Addition
      1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
      2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in R$ gilt ${}a+b=b+a$.
      3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in R$ ist ${}a+0=a$.
      4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in R$ gibt es ein Element ${}b\in R$ mit ${}a+b=0$.
   2. Axiome der Multiplikation
      1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
      2. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in R$ ist ${}a\cdot 1=1\cdot a=a$.
   3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und ${}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$.
5. Eine natürliche Zahl ${}t$ heißt gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}t$ jedes ${}a_{i}$ teilt für ${}i=1,\ldots ,k$.
6. Ein Dezimalbruch ist eine rationale Zahl, die man mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann.

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beziehung zwischen der Multiplikation und endlichen Mengen.
2. Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper ${}K$.
3. Der Satz über die Periodizitätseigenschaft bei der Division natürlicher Zahlen.

Lösung

1. Es seien ${}M$ und ${}N$ endliche Mengen mit ${}m$ bzw. ${}n$ Elementen. Dann besitzt die Produktmenge ${}M\times N$ genau ${}m\cdot n$ Elemente.
2. Für ${}x\geq -1$ und ${}n\in \mathbb {N}$ ist

   ${}(1+x)^{n}\geq 1+nx\,.$

3. Es seien ${}a,b$ natürliche Zahlen mit ${}b$ positiv und es seien ${}z_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, und ${}r_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen. Dann gibt es ein ${}k\in \mathbb {N}$ und ein ${}\ell \in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}\ell <b$ derart, dass für die Ziffern mit ${}i>k$ die Beziehung

   ${}z_{-i-\ell }=z_{-i}\,$

   gilt.

 

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung

/Aufgabe/Lösung

 

Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle eine Wertetabelle, die für jede natürliche Zahl von ${}1$ bis ${}10$ ausgibt, mit wie vielen Eurozahlen die Zahl minimal darstellbar ist.

Lösung

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$	${}9$	${}10$
${}\varphi (x)$	${}1$	${}1$	${}2$	${}2$	${}1$	${}2$	${}2$	${}3$	${}3$	${}1$

 

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise die Integritätseigenschaft für die natürlichen Zahlen.

Lösung

Wir zeigen, dass mit ${}a,b\neq 0$ auch das Produkt ${}ab$ von ${}0$ verschieden ist. Das Produkt ist

$\underbrace {b+b+\cdots +b} _{a-{\text{fach}}}$

und hier steht mindestens ein Summand. Aus Lemma 8.13 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) und ${}b\neq 0$ folgt, dass diese Summe nicht ${}0$ ist.

 

Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Wir behaupten, dass die Summe von vier aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen durch ${}8$ teilbar ist.

1. Beweise diese Aussage mit vollständiger Induktion.
2. Beweise diese Aussage ohne vollständige Induktion.

Lösung

Eine ungerade natürliche Zahl besitzt die Form ${}2n+1$ mit einer natürlichen Zahl ${}n\in \mathbb {N}$. Vier aufeinanderfolgende Zahlen sind damit ${}2n+1,2n+3,2n+5,2n+7$.

1. Induktionsbeweis: Für ${}n=0$ geht es um

   ${}1+3+5+7=16=2\cdot 8\,,$

   was durch ${}8$ teilbar ist. Es sei nun die Vierersumme der aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen beginnend mit ${}2n+1$ ein Vielfaches der ${}8$. Es ist zu zeigen, dass dies auch für die Vierersumme der aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen beginnend mit ${}2(n+1)+1=2n+3$ gilt. Es ist

   ${}{\begin{aligned}(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)+(2n+9)&=(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)+(2n+1)+8\\&=(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)+8\\&=8k+8\\&=8(k+1),\end{aligned}}$

   sodass diese Zahl wieder ein Vielfaches der ${}8$ ist.

2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)&=2n+2n+2n+2n+1+3+5+7\\&=8n+16\\&=8(n+2),\end{aligned}}$

   sodass ein Vielfaches der ${}8$ vorliegt.

 

Aufgabe * (1 Punkt)

Winnetou und Old Shatterhand liegen nachts am Strand des Rio Pecos und halten ihre vom harten Tagesritt müden Füße in den Fluss. Dabei schauen sie in den Himmel und zählen Sternschnuppen. Winnetou sieht ${}117$ und Old Shatterhand sieht ${}94$ Sternschnuppen. Old Shatterhand sieht von den von Winnetou gesichteten Sternschnuppen ${}39$ nicht. Wie viele der Sternschnuppen, die von Old Shatterhand gesichtet wurden, sieht Winnetou nicht?

Lösung

Es gibt

${}117-39=78\,$

Sternschnuppen, die beide sehen. Daher sieht Winnetou von den von Old Shatterhand gesehenen Sternschnuppen

${}94-78=16\,$

nicht.

 

Aufgabe (2 Punkte)

Wie viele (wesentlich verschiedene) Möglichkeiten gibt es, die Seiten eines Würfels von ${}1$ bis ${}6$ derart zu nummerieren, dass die Summe gegenüberliegender Seiten stets ${}7$ ergibt?

Lösung

Würfel/Nummerierungsmöglichkeiten/Summe ist 7/Aufgabe/Lösung

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise das Distributivgesetz für die Differenz von natürlichen Zahlen.

Lösung

Nach Satz 10.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) ist mit ${}a\geq b$ auch ${}ca\geq cb$, sodass ${}ca-cb$ wohldefiniert ist. Es ist

${}a=(a-b)+b\,$

und daher ist nach dem Distributivgesetz für die Addition und die Multiplikation

${}ca=c((a-b)+b)=c(a-b)+cb\,.$

Also ist

${}c(a-b)=ca-cb\,.$

 

Aufgabe * (1 Punkt)

Es seien ${}a,b$ Elemente in einem kommutativen Halbring ${}R$. Berechne

$(a+2b)\cdot (2a+3b).$

Lösung

Nach dem Distributivgesetz ist

${}{\begin{aligned}(a+2b)\cdot (2a+3b)&=a\cdot (2a+3b)+2b\cdot (2a+3b)\\&=2a^{2}+3ab+4ab+6b^{2}\\&=2a^{2}+7ab+6b^{2}.\end{aligned}}$

 

Aufgabe * (1 Punkt)

Berechne (Klammern um die Minuszeichen wurden weggelassen)

$----------------7\cdot -------11.$

Lösung

Insgesamt stehen da ${}23$ Minuszeichen, also ist das Ergebnis gleich ${}-77$.

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, für welche ${}n\geq 2$ der Binomialkoeffizient

${\binom {n}{2}}$

eine Primzahl ist.

Lösung

Für ${}n=2$ ist

${}{\binom {2}{2}}=1\,$

keine Primzahl. Für ${}n=3$ ist

${}{\binom {3}{2}}=3\,$

eine Primzahl. Wir behaupten, dass für ${}n\geq 4$ der Binomialkoeffizient

${}{\binom {n}{2}}={\frac {n\cdot (n-1)}{2}}\,$

keine Primzahl ist. Wenn nämlich ${}n$ gerade ist, so ist ${}n-1$ gerade und es ist

${}{\frac {n\cdot (n-1)}{2}}={\frac {n}{2}}\cdot (n-1)\,$

und beide Faktoren sind ${}\geq 2$, also liegt eine echte Faktorzerlegung vor. Wenn ${}n$ ungerade ist, so ist

${}{\frac {n\cdot (n-1)}{2}}=n\cdot {\frac {n-1}{2}}\,$

und wieder sind beide Faktoren ${}\geq 2$, also liegt eine echte Faktorzerlegung vor.

 

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}n$-elementige Menge. Zeige, dass die Anzahl der ${}k$-elementigen Teilmengen von ${}M$ gleich dem Binomialkoeffizienten

${\binom {n}{k}}$

ist.

Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach ${}n$. Die Aussage ist für ${}n=0$ klar, sei also angenommen, die Aussage sei für ein beliebiges ${}n$ (für alle ${}k$) schon bewiesen, und betrachten wir eine ${}(n+1)$-elementige Menge ${}M$. Diese Menge ist wegen ${}n\geq 0$ nicht leer. Wir fixieren ein Element ${}a\in M$ und betrachten die ${}n$-elementige Teilmenge ${}M\setminus \{a\}\subset M$. Jede Teilmenge von ${}M$ enthält entweder ${}a$ oder nicht. Daher lassen sich die ${}k$-elementigen Teilmengen von ${}M$ aufteilen in ${}k$-elementige Teilmengen von ${}M\setminus \{a\}$ (das sind diejenigen Teilmengen, die nicht ${}a$ enthalten), und die ${}(k-1)$-elementigen Teilmengen von ${}M\setminus \{a\}$ (eine solche ${}(k-1)$-elementige Teilmenge ${}T$ definiert die ${}k$-elementige Teilmenge ${}T\cup \{a\}$ in ${}M$). Daher ist die Gesamtzahl der ${}k$-elementigen Teilmengen von ${}M$ nach [[Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt|Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt/Faktreferenznummer (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))]] gleich

${}{\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}}\,.$

 

Aufgabe * (6 Punkte)

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen ${}d,n$ mit ${}d>0$ eindeutig bestimmte ganze Zahlen ${}q,r$ mit ${}0\leq r<d$ und mit

${}n=dq+r\,$

gibt.

Lösung

Zur Existenz. Bei ${}n=0$ ist ${}q=r=0$ eine Lösung. Es sei ${}n$ positiv. Da ${}d$ positiv ist, gibt es ein Vielfaches ${}ad\geq n$. Daher gibt es auch eine Zahl ${}q$ mit $qd\leq n$ und $(q+1)d>n$. Es sei ${}r:=n-qd$. Dann ist

${}qd\leq qd+r<qd+d\,$

und daher ist ${}0\leq r<d$ wie gewünscht. Bei ${}n$ negativ kann man schreiben ${}-n={\tilde {q}}d+{\tilde {r}}$ nach dem Resultat für positive Zahlen. Daraus ergibt sich

$n=(-{\tilde {q}})d-{\tilde {r}}={\begin{cases}(-{\tilde {q}})d+0{\text{ bei }}{\tilde {r}}=0\\(-{\tilde {q}}-1)d+d-{\tilde {r}}{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$

Im zweiten Fall erfüllen ${}q=-{\tilde {q}}-1$ und ${}r=d-{\tilde {r}}$ die Bedingungen.
Zur Eindeutigkeit. Es sei ${}qd+r=n={\tilde {q}}d+{\tilde {r}}$, wobei die Bedingungen jeweils erfüllt seien. Es sei ohne Einschränkung ${}{\tilde {r}}\geq r$. Dann gilt ${}(q-{\tilde {q}})d={\tilde {r}}-r$. Diese Differenz ist nichtnegativ und kleiner als ${}d$, links steht aber ein Vielfaches von ${}d$, sodass die Differenz ${}0$ sein muss und die beiden Darstellungen überein stimmen.

 

Aufgabe (1 Punkt)

In einem mathematischen Text steht „${}n=1,2$“. Welche Bedeutungen könnten damit gemeint sein?

Lösung

Mathematischer Text/Gleichung/Bedeutung/Aufgabe/Lösung

 

Aufgabe * (2 (0.5+0.5+0.5+0.5) Punkte)

Bestimme, von welcher Art (im Sinne der Vorlesung) die folgenden Gleichungen sind.

1. ${}-(-x)=x\,,$

2. ${}x^{2}-3x+5=0\,.$

3. ${}13-8=5\,,$

4. ${}a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}10^{i}\,.$

Lösung

1. Formel (für ${}\mathbb {Z}$ oder in einer Gruppe),
2. Bedingungsgleichung,
3. Elementgleichung,
4. Definitionsgleichung unter der Voraussetzung ${}a_{i}\leq 9$.

 

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die kleinste natürliche Zahl ${}>99$, die ein Vielfaches von ${}99$ ist und in deren Darstellung im Dezimalsystem nur Neunen vorkommen.

Lösung

Es ist

${}99\cdot 101=9999\,,$

die ${}9999$ erfüllt also die geforderten Eigenschaften. Es bleibt zu zeigen, dass die ${}999$ nicht alle Eigenschaften erfüllt. Es ist

${}999=9\cdot 111=3^{2}\cdot 3\cdot 37=3^{3}\cdot 37\,$

die Primfaktorzerlegung von ${}999$. Deshalb kann diese Zahl kein Vielfaches von ${}99=3^{2}\cdot 11$ sein. Es ist also ${}9999$ die kleinste Zahl, die alle Anforderungen erfüllt.

 

Aufgabe (2 Punkte)

Es bezeichne ${}N$ die Nachfolgerabbildung und ${}V$ die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Begründe die Umlegungsregel

${}x+y=N(x)+V(y)\,$

unter Bezug auf das Assoziativgesetz der Addition.

Lösung

Ganze Zahlen/Addition/Umlegungsregel/Aufgabe/Lösung

 

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

1. Finde eine ganzzahlige Lösung ${}(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ für die Gleichung

   ${}x^{2}-y^{3}+2=0\,.$

2. Zeige, dass

   $\left({\frac {383}{1000}},\,{\frac {129}{100}}\right)$

   eine Lösung für die Gleichung

   ${}x^{2}-y^{3}+2=0\,$

   ist.

Lösung

1. ${}(5,3)$ ist eine ganzzahlige Lösung.
2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}{\left({\frac {383}{1000}}\right)}^{2}-{\left({\frac {129}{100}}\right)}^{3}+2&={\left({\frac {146689}{1000000}}\right)}-{\left({\frac {2146689}{1000000}}\right)}+2\\&={\left({\frac {146689-2146689}{1000000}}\right)}+2\\&={\left({\frac {-2000000}{1000000}}\right)}+2\\&=-2+2\\&=0.\end{aligned}}$

 

Aufgabe * (7 (3+4) Punkte)

Der Flächeninhalt eines Quadrates mit Seitenlänge ${}1$ (das Einheitsquadrat) wird als ${}1$ festgelegt.

1. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen ${}a,b\in \mathbb {N}$ sind, den Flächeninhalt ${}ab$ besitzt. Welche naheliegenden Gesetzmäßigkeiten für den Flächeninhalt werden dabei verwendet?
2. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen ${}x,y\in \mathbb {Q} _{+}$ sind, den Flächeninhalt ${}xy$ besitzt.

Lösung

1. Wir betrachten ${}ab$ Quadrate mit Seitenlänge ${}1$. Wir legen ${}a$-mal jeweils ${}b$ Quadrate in eine Reihe hintereinander und erhalten dadurch ${}a$ Rechtecke, die jeweils die Seitenlängen ${}1$ und ${}b$ haben und aus ${}b$ Quadraten bestehen. Diese ${}a$ Rechtecke setzt man derart zusammen, dass die ${}b$-Seiten der Rechtecke aneinander liegen. Dadurch entsteht insgesamt ein Rechteck mit den Seitenlängen ${}a$ und ${}b$. Da alle ${}ab$ Quadrate verbraucht sind, ist der Flächeninhalt gleich ${}ab$. Man verwendet dabei, dass der Flächeninhalt der Quadrate sich nicht ändert, wenn sie ihre Lage in der Ebene ändern, und dass die Überschneidung der Kanten, die beim Zusammenlegen auftritt, für den Flächeninhalt unerheblich ist.
2. Es sei unter Verwendung eines Hauptnenners ${}x={\frac {a}{c}}=a{\frac {1}{c}}$ und ${}y={\frac {b}{c}}=b{\frac {1}{c}}$. Es ist

   ${}xy=ab{\frac {1}{c}}\cdot {\frac {1}{c}}={\frac {ab}{c^{2}}}\,.$

   Wie in Teil 1 können wir das Rechteck mit den Seitenlängen ${}x$ und ${}y$ mit ${}ab$ Quadraten der Seitenlänge ${}{\frac {1}{c}}$ zusammensetzen. Daher ist der Flächeninhalt des Rechtecks das ${}ab$-Vielfache des Flächeninhaltes des Quadrates mit der Seitenlänge ${}{\frac {1}{c}}$. Wenn wir ${}c^{2}$ solche Quadrate haben, so können wir diese zum Einheitsquadrat zusammen setzen. Daher muss wiederum der Flächeninhalt des Quadrates mit der Seitenlänge ${}{\frac {1}{c}}$ gleich ${}{\frac {1}{c^{2}}}$ sein. Der Flächeninhalt des Ausgangsrechtecks ist also

   ${}ab{\frac {1}{c^{2}}}={\frac {ab}{c^{2}}}\,$

   und stimmt mit dem Produkt der Seitenlängen überein.

 

Aufgabe * (1 Punkt)

Finde eine natürliche Zahl ${}n$ derart, dass

${}{\left({\frac {8}{7}}\right)}^{n}\geq 1000\,$

ist.

Lösung

Man kann ${}n=7000$ nehmen. Es ist nämlich

${}{\left({\frac {8}{7}}\right)}^{7000}={\left(1+{\frac {1}{7}}\right)}^{7000}\geq 1+7000\cdot {\frac {1}{7}}=1+1000\geq 1000\,.$

 

Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)

1. Durch welche ganze Zahlen kann man innerhalb der Dezimalbrüche stets dividieren?
2. Durch welche rationalen Zahlen kann man innerhalb der Dezimalbrüche stets dividieren?

Lösung

1. Man kann durch alle ganzen Zahlen der Form ${}\pm 2^{i}\cdot 5^{j}$ mit ${}i,j\in \mathbb {N}$ innerhalb der Dezimalbrüche dividieren. Eine solche Division ist ja die Multiplikation mit

   ${}\pm 2^{-i}\cdot 5^{-j}=\pm 5^{i}\cdot 10^{-i}\cdot 2^{j}\cdot 10^{-j}=5^{i}\cdot 2^{j}\cdot 10^{-i-j}\,,$

   und da dies ein Dezimalbruch ist, ist das Produkt auch ein Dezimalbruch. Wenn hingegen ${}n$ eine ganze Zahl ist, in deren Primfaktorzerlegung eine von ${}2$ und ${}5$ verschiedene Primzahl vorkommt, so kann man dadurch nicht dividieren, da ja in diesem Fall schon ${}1/n$ kein Dezimalbruch ist.

2. Man kann durch alle rationalen Zahlen der Form ${}\pm 2^{i}5^{j}$ mit ${}i,j\in \mathbb {Z}$ innerhalb der Dezimalbrüche dividieren.

 

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung

/Aufgabe/Lösung

 

Aufgabe (3 Punkte)

Diskutiere Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen der Abziehregel und der Kürzungsregel auf ${}\mathbb {N}$.

Lösung

Abziehregel/Kürzungsregel/Vergleich/Aufgabe/Lösung