Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/24/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	3	4	3	1	6	12	5	2	4	2	2	1	1	3	1	2	4	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Potenzmenge zu einer Menge ${}M$.
2. Eine surjektive Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M.$

3. Die Summe ${}n+k$ zweier natürlicher Zahlen ${}n$ und ${}k$.
4. Die Negation auf den ganzen Zahlen.
5. Die Größergleichrelation ${}\geq$ auf den rationalen Zahlen.
6. Eine (ganzzahlige) Exponentialfunktion.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beziehung zwischen der Ordnungsrelation und der Addition auf ${}\mathbb {N}$.
2. Der Satz über die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$.
3. Das Exponentenkriterium für die Teilbarkeit von natürlichen Zahlen.

Aufgabe * (3 (0.5+0.5+0.5+0.5+0.5+0.5) Punkte)

Der Ausdruck ${}D(x,y)$ bedeute, dass die Person ${}x$ (aus dem Kurs) heute einen Stift mit der Farbe ${}y$ (aus einer bestimmten Menge von Farben) dabei hat. Formuliere in normalen Worten, was die folgenden formal geschriebenen Ausdrücke bedeuten.

1. ${}\forall x(\exists yD(x,y))$.
2. ${}\exists x(\forall yD(x,y))$.
3. ${}\forall x(\forall yD(x,y))$.
4. ${}\exists x(\exists yD(x,y))$.
5. ${}\exists y(\forall xD(x,y))$.
6. ${}\forall y(\exists xD(x,y))$.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

In einer Höhle befinden sich im Innern am Ende des Ganges vier Personen. Sie haben eine Taschenlampe bei sich und der Gang kann nur mit der Taschenlampe begangen werden. Dabei können höchstens zwei Leute gemeinsam durch den Gang gehen. Die Personen sind unterschiedlich geschickt, die erste Person benötigt eine Stunde, die zweite Person benötigt zwei Stunden, die dritte Person benötigt vier Stunden und die vierte Person benötigt fünf Stunden, um den Gang zu durchlaufen. Wenn zwei Personen gleichzeitig gehen, entscheidet die langsamere Person über die Geschwindigkeit.

1. Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau ${}13$ Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?
2. Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau ${}12$ Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?

Aufgabe (3 Punkte)

Das folgende Zitat zur Entwicklung der Zählkompetenz beim Kind ist dem didaktischen Projekt Kira entnommen.

„Phase 1 (verbales Zählen): Die Zahlwortreihe ist noch nicht strukturiert und wird wie ein Gedicht aufgesagt (einszweidreivier). Die Zahlwörter werden noch nicht zum Zählen eingesetzt.

Phase 2 (asynchrones Zählen): Zahlwörter werden zum Zählen benutzt, allerdings werden noch oft Objekte vergessen oder mehrfach gezählt.

Phase 3 (Ordnen der Objekte während des Zählens): Kinder ordnen die Objekte, um sie besser zählen zu können (z.B. durch Wegschieben oder Umlegen während des Zählens).

Phase 4 (resultatives Zählen): Kinder wissen, dass sie beim Zählen mit der Eins anfangen müssen (und fangen auch immer mit der Eins an zu zählen), dass jedes Objekt nur einmal gezählt wird und dass die letztgenannte Zahl die Anzahl angibt.

Phase 5 (abkürzendes Zählen): Kinder können kleinere Mengen simultan erfassen, indem sie z.B. Strukturen bilden bzw. ausnutzen (z.B. werden fünf Plättchen, die wie das Bild der Fünf auf einem Würfel dargestellt werden, sofort als fünf erkannt). Sie können von einer beliebigen Zahl an zählen und das auch in Zweierschritten oder auch rückwärts (vgl. Hasemann 2007, S. 8f.).“

Bringe die beschriebenen Phasen mit abstrakten mathematischen Konzepten in Verbindung.

Aufgabe (1 Punkt)

Wie sinnvoll ist die Gleichungskette

${}{\text{Pythagoras}}=c^{2}=a^{2}+b^{2}\,?$

Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)

Professor Knopfloch möchte mit Dr. Eisenbeis essen gehen und hebt daher beim Bankautomat ${}100$ Euro in Scheinen ab.

1. Was ist die minimale Anzahl von Scheinen und was ist die maximale Anzahl von Scheinen, die er bekommen kann?
2. Ist es möglich, dass er ${}17$ Scheine bekommt?
3. Welche Anzahlen von Scheinen sind möglich?
4. Was ist die kleinste Anzahl von Scheinen, für die es zumindest zwei verschiedene Scheinverteilungen gibt?

Aufgabe * (12 (1+2+4+1+2+2) Punkte)

Es sei ${}R$ die Menge aller nichtleeren endlichen Teilmengen von ${}\mathbb {Z}$, die Elemente aus ${}R$ sind also Mengen der Form ${}\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}\}$ mit ${}a_{i}\in \mathbb {Z}$. Wir definieren auf ${}R$ zwei Verknüpfungen, nämlich die Addition

${}\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}\}+\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s}\}:={\left\{a_{i}+b_{j}\mid 1\leq i\leq r,\,1\leq j\leq s\right\}}\,$

und die Multiplikation

${}\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}\}\cdot \{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s}\}:={\left\{a_{i}\cdot b_{j}\mid 1\leq i\leq r,\,1\leq j\leq s\right\}}\,.$

1. Berechne

   $\{-2,3,7\}+\{1,5\}$

2. Man gebe Beispiele für jeweils zweielementige Mengen ${}A,B\in R$ derart, dass das Produkt ${}AB$ einmal ${}2$, einmal ${}3$ und einmal ${}4$ Elemente besitzt.
3. Welche Eigenschaften eines kommutativen Halbringes erfüllt ${}M$?
4. Welche Eigenschaften eines kommutativen Ringes erfüllt ${}M$?
5. Gilt

   ${}{\left(A+B\right)}^{2}\subseteq A^{2}+2AB+B^{2}\,?$

6. Gilt

   ${}{\left(A+B\right)}^{2}\supseteq A^{2}+2AB+B^{2}\,?$

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Kürzungsregel für natürliche Zahlen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die kleinste natürliche Zahl, deren letzte Ziffer eine ${}3$ ist, die kein Vielfaches der ${}3$ ist und die keine Primzahl ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}n$-elementige Menge. Zeige durch Induktion über ${}k$, dass die Anzahl der ${}k$-elementigen Teilmengen von ${}M$ gleich dem Binomialkoeffizienten

${\binom {n}{k}}$

ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestätige die folgende Identität.

${}3^{5}+11^{4}=122^{2}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Betrachte im ${}13$er System mit den Ziffern ${}0,1,\ldots ,8,9,A,B,C$ die Zahl

$B4AC.$

Wie sieht diese Zahl im Zehnersystem aus?

Aufgabe * (1 Punkt)

Berechne

$3158963\cdot 7.$

Aufgabe (1 Punkt)

Professor Knopfloch sagt: „Die ${}7$ ist keine negative Zahl, sie ist aber dennoch das Negative einer ganzen Zahl“. Ist dies paradox? Klären Sie die Situation.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Lucy Sonnenschein unternimmt eine Zeitreise. Sie reist zuerst ${}16$ Stunden nach vorne, dann (immer vom jeweiligen erreichten Zeitpunkt aus) ${}5$ Stunden nach vorne, dann ${}26$ Stunden zurück, dann ${}4$ Stunden zurück, dann ${}8$ Stunden nach vorne und dann ${}12$ Stunden zurück.

1. Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn die Reise selbst keine Zeit verbraucht?
2. Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn eine Zeitreise um eine Stunde, egal ob in die Zukunft oder in die Vergangenheit, immer eine Minute verbraucht?

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Produktes der erreichbaren Punkte (zu den einzelnen Aufgaben) dieser Klausur.

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Lösbarkeit von Gleichungen in einer Gruppe ${}G$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige

${}\prod _{k=2}^{n}{\left(1-{\frac {1}{k^{2}}}\right)}={\frac {n+1}{2n}}\,$

durch vollständige Induktion (${}n\geq 2$).

Aufgabe (2 Punkte)

Beschreibe Analogien zwischen Formeln, in denen Variablen vorkommen, und Axiomensystemen.