Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/25/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	1	5	4	8	3	4	2	1	3	3	6	0	3	2	0	4	0	4	59

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Vereinigung der Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Eine injektive Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M.$

3. Die ${}n$-te Potenz zu einer natürlichen Zahl ${}a$.
4. Ein kommutativer Ring ${}R$.
5. Die Folge der euklidischen Reste zu ganzen Zahlen ${}a,b$ mit ${}b\neq 0$.
6. Ein gemischter Bruch.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Induktionsprinzip für Aussagen.
2. Der Satz von Euklid über Primzahlen.
3. Der Satz über die algebraische Struktur von ${}\mathbb {Q}$.

Aufgabe * (1 Punkt)

Negiere die Aussage „Martina findet alle Jungs im Kurs außer Markus zuckersüß“ durch eine Aussage, in der eine Existenzaussage und eine Oder-Verknüpfung vorkommen.

Aufgabe * (5 Punkte)

Auf Ruggetong heißt die Währung Riggating und es gibt nur zwei Münzen (mit vollen Riggatingbeträgen). Es kann jeder volle Geldbetrag damit bezahlt werden. Zeige, dass dann die minimale Darstellung eines jedes Geldbetrages eindeutig ist. Wie kann man sie berechnen?

Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die durch die Tabelle

Erreichte Punktzahl	Note
0-15,5	nicht bestanden
16-17	4
17,5-19	3,7
19,5-21	3,3
21,5-22,5	3
23-24,5	2,7
25-26	2,3
26,5-28	2
28,5-30	1,7
30,5-31,5	1,3
32-64	1

gegebene Abbildung ${}\varphi$ zwischen der Menge ${}P$ der möglichen Punkte (von ${}0$ bis ${}64$ in Halbpunkteschritten) in die Menge ${}N$ der möglichen Noten (von ${}1$ bis ${}4$ in Drittelschritten und „nicht bestanden“).

1. Bestimme die Anzahl von ${}P$.
2. Bestimme die Anzahl von ${}N$.
3. Ist die Abbildung

   $\varphi \colon P\longrightarrow N$

   surjektiv?

4. Ist die Abbildung

   $\varphi \colon P\longrightarrow N$

   injektiv?

5. Es sei nun ${}L$ die Menge der Leute, die in einer Klausur teilnehmen und

   $\psi \colon L\longrightarrow P$

   sei die Abbildung, die jeder Person ihre erzielte Punkteanzahl zuordnet. Was bedeutet die Hintereinanderschaltung ${}\varphi \circ \psi$?

6. Es sei nun spezieller

   ${}L=\{{\text{An}},{\text{Besi}},{\text{Cu}},{\text{Do}},{\text{Elf}},{\text{Fi}},{\text{Go}},{\text{Ha}},{\text{Jod}},{\text{Ka}},{\text{Mimi}},{\text{No}},{\text{Ulf}}\}\,$

   die Menge der Personen, die die Klausur schrieben. Ihre erzielten Punkte werden durch die folgende Tabelle beschrieben.

   ${}x$

   ${}{\text{An}}$

   ${}{\text{Besi}}$

   ${}{\text{Cu}}$

   ${}{\text{Do}}$

   ${}{\text{Elf}}$

   ${}{\text{Fi}}$

   ${}{\text{Go}}$

   ${}{\text{Ha}}$

   ${}{\text{Jod}}$

   ${}{\text{Ka}}$

   ${}{\text{Mimi}}$

   ${}{\text{No}}$

   ${}{\text{Ulf}}$

   ${}\psi (x)$

   ${}21$

   ${}23$

   ${}12$

   ${}19,5$

   ${}32,5$

   ${}25$

   ${}28$

   ${}18$

   ${}20$

   ${}31,5$

   ${}32$

   ${}17$

   ${}29$

   Ist die Abbildung ${}\psi$ injektiv?

7. In der soeben beschriebenen Situation, ist die Abbildung ${}\varphi \circ \psi$ surjektiv?
8. In der soeben beschriebenen Situation, ist die Abbildung ${}\varphi \circ \psi$ injektiv?

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Isomorphiesatz für Dedekind-Peano-Modelle.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}R={\mathfrak {P}}\,(M)$ die Potenzmenge zu einer Menge ${}M$. Zeige, dass ${}R$ mit der Vereinigung ${}\cup$ als Addition und der leeren Menge als ${}0$ und mit dem Durchschnitt ${}\cap$ als Multiplikation und der Gesamtmenge ${}M$ als ${}1$ ein kommutativer Halbring ist.

Aufgabe * (4 (0.5+0.5+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Verknüpfung

$\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(a,b)\longmapsto a*b,$

die einem Paar ${}(a,b)$ diejenige Zahl zuordnet, die entsteht, wenn man im Zehnersystem die Zahl ${}b$ ${}a$-fach hintereinander schreibt.

1. Bestimme ${}7*6$.
2. Bestimme ${}4*13$.
3. Ist die Verknüpfung kommutativ?
4. Ist die Verknüpfung assoziativ?
5. Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige

${}10!=(7!)\cdot (6!)\,.$

Aufgabe * (1 Punkt)

Zeige, dass zwischen den Binomialkoeffizienten ${}{\binom {n}{k}}$ und ${}{\binom {n}{k+1}}$ der Zusammenhang

${}{\binom {n}{k+1}}={\binom {n}{k}}\cdot {\frac {n-k}{k+1}}\,$

besteht.

Aufgabe (3 Punkte)

Es ist

${}11^{1}=11\,,$

${}11^{2}=121\,,$

${}11^{3}=1331\,,$

${}11^{4}=14641\,,$

${}11^{5}=161051\neq 15101051\,.$

Bringe diese Ergebnisse in Zusammenhang mit dem binomischen Lehrsatz und mit dem Pascalschen Dreieck.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}V$ die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Beweise die Gleichheit

${}V^{2a}(a)=-a\,$

für ${}a\in \mathbb {N}$ durch Induktion über ${}a$.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise das Lemma von Bezout für teilerfremde natürliche Zahlen ${}a$ und ${}b$ durch Induktion über das Maximum von ${}a$ und ${}b$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Wenn man die Gesamtgoldmenge der Welt auf alle Menschen aufteilt, so erhält jeder Mensch einen Goldwürfel, dessen Seitenlänge ${}1,085$ Zentimeter beträgt. Gold wiegt ${}19,3$ Gramm pro Kubikzentimeter. Der Wert von einem Kilogramm Gold beträgt ca. ${}50.000$ Euro im Jahr ${}2020$. Wie viel Euro besitzt jeder Mensch in Gold?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}x\in K$ ein Element mit ${}x\neq 1$. Beweise für ${}n\in \mathbb {N}$ durch Induktion die Beziehung

${}\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Lösungsintervalle für die Ungleichung

${}\vert {2x-3}\vert \geq \vert {5x-7}\vert \,$

in einem angeordneten Körper. Skizziere die Graphen der Funktionen ${}\vert {2x-3}\vert$ und ${}\vert {5x-7}\vert$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (4 Punkte)

Jede natürliche Zahl ${}n\geq 1$ besitzt einerseits eine eindeutige Darstellung im Zehnersystem und andererseits eine eindeutige kanonische Primfaktorzerlegung. Beschreibe Vor- und Nachteile der beiden Darstellungen.