Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/10/Klausur/kontrolle



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Punkte 3 3 4 2 4 4 3 3 2 2 3 4 2 3 1 5 5 2 2 4 2 63








Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

gegeben.

a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.



Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

im gegebene Gerade.



Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung



Es seien rationale Zahlen. Zeige, dass

genau dann gilt, wenn es ein mit gibt.



Bestimme das inverse Element zu in .



Es sei ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung , welche nicht?



Es sei ein Intervall in einem angeordneten Körper . Beschreibe die Menge

als ein Intervall.



Berechne



Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.



Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in einem angeordneten Körper eindeutig bestimmt ist.



Es sei eine nichtnegative reelle Zahl. Für jedes , gelte . Zeige .



Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.



Erläutere die geometrische Relevanz des geometrischen Mittels.



Beweise die Lösungsformel für quadratische Gleichungen.



Es sei

ein normiertes Polynom über einem Körper . Es seien drei (verschiedene) Zahlen aus . Zeige, dass diese drei Zahlen genau dann Nullstellen von sind, wenn sie das Gleichungssystem

erfüllen.



Fridolin sagt:

„Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion

gilt und . Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen und geben, also eine Zahl mit . Es ist doch aber stets .“

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?



Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu (man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte).






Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Zahlenlotto (genau) drei Richtige hat.



Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum mit der Laplace-Dichte. Es sei das Ereignis, dass eine Zahl aus ein Vielfaches der ist, und das Ereignis, dass eine Zahl aus ein Vielfaches der ist. Sind und unabhängig?