Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/13/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	8	6	4	3	1	3	3	5	4	4	4	3	1	1	2	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit ${}3$ Schneeglöckchen und ${}4$ Mistelzweigen ${}2{,}50$ € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus ${}5$ Schneeglöckchen und ${}2$ Mistelzweigen ${}2{,}30$ €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und ${}11$ Mistelzweigen?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Skizziere sieben Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in acht Punkten schneiden.

Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen

\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ und ${}A={\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}$ Matrizen über einem Körper ${}K$ mit

{}A\circ M={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,.

Zeige, dass dann auch

{}M\circ A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Betrachte die Relation ${}\sim$ auf ${}G$ , die durch

x\sim y{\text{ genau dann, wenn }}x=y{\text{ oder }}x=y^{-1}

erklärt ist. Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {25}}$ in ${}\mathbb {Z} /(89)$ .

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Drücke

{\sqrt[{2}]{5}}\cdot {\sqrt[{3}]{7}}

mit einer einzigen Wurzel aus.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ sei durch einen Anfangswert ${}x_{0}\in K$ und durch die Rekursionsvorschrift

{}x_{n+1}=-x_{n}\,

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Entscheide, ob die Folge

{}x_{n}={\frac {3n^{3}-n^{2}-7}{2n^{3}+n+8}}\,

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Folgen in einem angeordneten Körper ${}K$ mit ${}x_{n},y_{n}\in K_{+}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ . Es sei ${}x_{n}^{2}-y_{n}^{2}$ eine Nullfolge. Zeige, dass ${}x_{n}-y_{n}$ ebenfalls eine Nullfolge ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ und sei

{}x=0,{\overline {0\ldots 01}}\,

die reelle Zahl mit Periodenlänge ${}m$ (die Periode besteht aus ${}m-1$ Nullen und einer ${}1$ ). Sei

{}y=\sum _{i=0}^{m-1}z_{i}10^{i}\,

mit ${}z_{i}\in \{0,1,2,\ldots ,9\}$ . Zeige

{}xy=0,{\overline {z_{m-1}z_{m-2}\ldots z_{1}z_{0}}}\,.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Erläutere, wie man Lücken auf der Zahlengeraden erkennen und auffüllen kann.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom und ${}a\in K$ . Zeige, dass ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$ ist, wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.