Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/14/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	2	4	2	1	3	5	3	3	2	3	3	4	1	4	3	8	3	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

${}-7x+3y=-4\,$

im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den Kern der linearen Abbildung

$\mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}2&1&5&2\\3&-2&7&-1\\2&-1&-4&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Relation auf ${}\mathbb {N} \times \mathbb {N}$, die durch

$(a,b)\sim (c,d),{\text{ falls }}a+d=b+c,$

festgelegt ist, eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Erstelle eine Multiplikationstafel für den Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(5)$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass sich Gruppenelemente ${}g\in G$ und Gruppenhomomorphismen ${}\varphi$ von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}G$ über die Korrespondenz

$g\longmapsto (n\mapsto g^{n}){\text{ und }}\varphi \longmapsto \varphi (1)$

entsprechen.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Irrationalität der Wurzeln aus natürlichen Zahlen.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}5$ zum Startwert ${}x_{0}=2$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge in ${}K$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge in ${}K$. Zeige, dass dann auch die Produktfolge ${}(x_{n}y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bildet im Ring aller rationalen Folgen die Teilmenge der in ${}\mathbb {Q}$ konvergenten Folgen ein Ideal?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

$2,07{\overline {203}}$

gegeben ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Umfang ${}d$. Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den maximalen Flächeninhalt besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Forme die Gleichung

${}x^{5}+10x^{4}+x-5=0\,$

in eine äquivalente Gleichung der Form

${}y^{5}+b_{3}y^{3}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+b_{0}=0\,$

mit ${}b_{i}\in \mathbb {Q}$ um.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Man finde ein Polynom ${}f\in \mathbb {R} [X]$ mit ${}f(0)=0$, ${}f(1)=1$, ${}f(-1)=1$ und ${}f(3)=9$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ und seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

stetige Funktionen mit

${}f(a)>g(a)\,.$

Zeige, dass es ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass

${}f(x)>g(x)\,$

für alle ${}x\in [a-\delta ,a+\delta ]$ gilt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne

$5^{\frac {2}{3}}$

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$.

Aufgabe * (8 (1+1+1+2+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}P={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=x^{2}\right\}}\,$

die Standardparabel und ${}K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}(0,1)$ und dem Radius ${}1$.

1. Skizziere ${}P$ und ${}K$.
2. Erstelle eine Gleichung für ${}K$.
3. Bestimme die Schnittpunkte

   $P\cap K.$

4. Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von ${}[-1,1]$ nach ${}\mathbb {R}$.
5. Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Skat wird mit ${}32$ Karten gespielt, dabei gibt es vier Könige und vier Damen (die Buben werden in dieser Aufgabe als Kinder betrachtet). Der „Skat“ besteht aus zwei zufälligen Karten und spielt eine besondere Rolle.

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat zwei Könige sind?
2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat ein gleichgeschlechtliches Paar ist?
3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat ein gemischtgeschlechtliches Paar ist?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen ${}x,y$ aus ${}\{1,2,\ldots ,10\}$ gezogen (mit Zurücklegen). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass

${}xy\geq 50\,$

ist.