Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/15/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 1 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 8 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 2 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 4 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Ein
\stichwort {Untervektorraum} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein \stichwort {Gruppenhomomorphismus} {} zwischen \definitionsverweis {Gruppen}{}{} \mathkor {} {(G, \circ, e_G)} {und} {(H, \circ, e_H)} {.}
}{Die \stichwort {Konvergenz} {} einer Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem angeordneten Körper $K$ gegen $x \in K$.
}{Die \stichwort {Teilerbeziehung} {} zwischen den Polynomen $T$ und $P$ aus $K[X]$.
}{Die
\stichwort {Sinusreihe} {}
zu
\mathl{x \in \R}{.}
}{Die
\stichwort {Unabhängigkeit} {}
von Ereignissen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E,F
}
{ \subseteq} {M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum
\mathl{(M, P)}{.}
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Die Teilmenge $U$ heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
\aufzaehlungdrei{
\mathl{0 \in U}{.}
}{Mit
\mathl{u,v \in U}{}
ist auch
\mathl{u+v \in U}{.}
}{Mit
\mathl{u \in U}{} und
\mathl{s \in K}{} ist auch
\mathl{s u \in U}{.}
}
}{Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\psi} {G} {H
} {}
heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi( g \circ g')
}
{ =} { \psi (g) \circ \psi (g')
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{g,g' \in G}{} gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass ein Polynom
\mathl{T \in K[X]}{} ein Polynom
\mathl{P \in K[X]}{}
\stichwort {teilt} {,}
wenn es ein Polynom
\mathl{Q \in K[X]}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { T Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}{Die Sinusreihe ist
\mathdisp {\sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } x^{2n+1} }{(2n +1 )!}} { . }
}{Die Ereignisse
\mathkor {} {E} {und} {F} {}
heißen
unabhängig,
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P (E \cap F)
}
{ =} { P(E) \cdot P(F)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über die algebraische Struktur der Quotientenmenge zu einer Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einer kommutativen Gruppe $G$.}{Der Satz über Dezimalbruchfolgen und Cauchy-Folgen.}{Der Satz über die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei
\mathl{(G,0,+)}{} eine kommutative Gruppe,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Untergruppe und
\mathl{G/H}{} die Quotientenmenge zur durch $H$ definierten
Äquivalenzrelation auf $G$ mit der kanonischen Projektion
\maabbeledisp {q} {G} {G/H
} {g} {[g]
} {.}
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf
\mathl{G/H}{} derart, dass $q$ ein Gruppenhomomorphismus ist.}{Eine
\definitionsverweis {Dezimalbruchfolge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ a_n }{ 10^n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {archimedisch angeordneten Körper}{}{}
$K$ ist eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{.}}{Die Funktionen
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} { \cos x
} {,}
und
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} { \sin x
} {,}
besitzen für
\mathl{x \in \R}{} folgende Eigenschaften.
\aufzaehlungdrei{Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \cos x)^2 + (\sin x)^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in \R}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-1
}
{ \leq} { \cos x, \sin x
}
{ \leq} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mathkor {} {\cos \left( -x \right) = \cos x} {und} {\sin \left( -x \right) = - \sin x} {.}
}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Welche Folgerung kann man daraus schließen?
}
{
Daraus kann man nichts schließen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { . }
}
{
\matabellezweifuenf {\leitzeilezwei {} {} } {\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & -13 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - { \frac{ 1 }{ 13 } } \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ { \frac{ 5 }{ 13 } } & - { \frac{ 1 }{ 13 } } & 0 \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ { \frac{ 5 }{ 13 } } & - { \frac{ 1 }{ 13 } } & { \frac{ 1 }{ 26 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} -{ \frac{ 2 }{ 13 } } & { \frac{ 3 }{ 13 } } & - { \frac{ 3 }{ 26 } } \\ { \frac{ 5 }{ 13 } } & - { \frac{ 1 }{ 13 } } & { \frac{ 1 }{ 26 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
} }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2x
}
{ \geq} {7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5x
}
{ \leq} { 12
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Q$.
}
{
Es soll einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq} { { \frac{ 7 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und andererseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \leq} { { \frac{ 12 }{ 5 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 7 }{ 2 } }
}
{ >} { { \frac{ 12 }{ 5 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist das nicht gleichzeitig erfüllbar, die Lösungsmenge ist also leer.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
\definitionsverweis {endliche Mengen}{}{}
mit $m$ bzw. $n$ Elementen und sei
\maabbdisp {f} {M} {N
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Wie viele Abbildungen
\maabbdisp {s} {N} {M
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f \circ s
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ N }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es?
}
{
Die Elemente aus $N$ seien mit
\mathl{1,2 , \ldots , n}{} bezeichnet. Zu jedem
\mathl{i \in N}{} sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M_i
}
{ =} { { \left\{ x \in M \mid f(x) = i \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_i
}
{ =} { { \# \left( M_i \right) }
}
{ =} { { \# \left( { \left\{ x \in M \mid f(x) = i \right\} } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Anzahl der Elemente aus $M$, die auf $i$ abgebildet werden
\zusatzklammer {was $0$ sein kann} {} {.}
Da
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f \circ s
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ N }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten soll, muss
\mathl{s(i) \in M_i}{} für jedes $i$ gelten. Somit gibt es
\mathdisp {m_1 \cdot m_2 \cdots m_n} { }
Möglichkeiten für solche Abbildungen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die algebraische Struktur der Restklassenringe $R/ {\mathfrak a}$ zu einem Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem kommutativen Ring $R$.
}
{
Nach
Satz 41.5 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
gibt es nur eine Gruppenstruktur auf
\mathl{R/ {\mathfrak a}}{} derart, dass die kanonische Abbildung ein Gruppenhomomorphismus ist. Da ein Ringhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der Addition ist, ist dies die einzige additive Struktur, die in Frage kommt.
Da die kanonische Abbildung die Multiplikation respektieren soll, kommt nur
\mathl{\overline{ 1 }\,}{} als neutrales Element der Multiplikation und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{ a }\, \overline{ b }\,
}
{ =} { \overline{ ab }\,
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als Multiplikation in Frage. Wir müssen zeigen, dass diese Multiplikation wohldefiniert ist. Es seien zwei Restklassen mit unterschiedlichen Repräsentanten gegeben, also
\mathkor {} {\overline{ a }\,=\overline{ a' }\,} {und} {\overline{ b }\,=\overline{ b' }\,} {.}
Dann ist
\mathkor {} {a-a' \in {\mathfrak a}} {und} {b-b' \in {\mathfrak a}} {}
bzw.
\mathkor {} {a'=a+x} {und} {b'=b+y} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,y
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a'b'
}
{ =} {(a+x)(b+y)
}
{ =} {ab+ay+xb+xy
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
Die drei hinteren Summanden gehören zum Ideal, sodass die Differenz
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a'b'-ab
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
Aus der Wohldefiniertheit folgen die anderen Eigenschaften und insbesondere, dass ein Ringhomomorphismus in den Restklassenring vorliegt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Begründe geometrisch, dass die Wurzeln
\mathl{\sqrt{n} }{,}
\mathl{ n \in \N }{,} als Länge von \anfuehrung{natürlichen}{} Strecken vorkommen.
}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Spiral of Theodorus.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Spiral of Theodorus.svg } {} {Pbroks13} {en Wikipedia} {CC-by-sa 3.0} {}
Dies geht mit der Spirale des Theodorus. Wenn man die
\zusatzklammer {bereits konstruierte} {} {}
Quadratwurzel $\sqrt{n}$ als eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks nimmt mit einer zweiten Kathete der Länge $1$, so erhält man eine Hypotenuse der Länge
\mathl{\sqrt{n+1}}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
in $K$ mit
\mathl{x_n \neq 0}{} für alle
\mathl{n \in \N}{} und
\mathl{\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=x \neq 0}{.} Zeige, dass
\mathl{{ \left( \frac{1}{x_n} \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mathdisp {\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x_n}= \frac{1}{x}} { }
ist.
}
{
Da der Limes der Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} nicht $0$ ist, gilt für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{N_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n }
}
{ \geq }{ { \frac{ \betrag { x } }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{1}{ \betrag { x_n } }
}
{ \leq} { \frac{2}{ \betrag { x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Wegen der Konvergenz von
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gibt es ein $N_2$ mit
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \frac{\epsilon \betrag { x }^2}{2} \text { für alle } n \geq N_2} { . }
Dann gilt für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{N
}
{ \defeq }{ \max \{N_1, N_2\}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \frac{1}{x_n} - \frac{1}{x} }
}
{ =} { \betrag { \frac{x_n-x}{x x_n} }
}
{ =} { \frac{1}{\betrag { x } \betrag { x_n }} \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} { \frac{2}{\betrag { x }^2} \cdot \frac{ \epsilon \betrag { x }^2}{2}
}
{ =} { \epsilon
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,}
die im Dezimalsystem durch
\mathdisp {0,18 \overline{374}} { }
gegeben ist.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{0{,}18 \overline{374}
}
{ =} {0{,}18 + 0{,}00 \overline{374}
}
{ =} { { \frac{ 18 }{ 100 } } + { \frac{ 1 }{ 100 } } \cdot 0{,}\overline{374}
}
{ =} { { \frac{ 18 }{ 100 } } + { \frac{ 1 }{ 100 } } \cdot 374 \cdot 0{,}\overline{001}
}
{ =} { { \frac{ 18 }{ 100 } } + { \frac{ 1 }{ 100 } } \cdot 374 \cdot { \frac{ 1 }{ 999 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 18 }{ 100 } } + { \frac{ 374 }{ 99900 } }
}
{ =} { { \frac{ 17982+ 374 }{ 99900 } }
}
{ =} { { \frac{ 18356 }{ 99900 } }
}
{ =} { { \frac{ 4589 }{ 24975 } }
}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ in $K$ \definitionsverweis {beschränkt}{}{} ist.
}
{
Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein $n_0$ derart, dass insbesondere
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x_{n_0} }
}
{ \leq} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B
}
{ \defeq} { \operatorname{max} (\betrag { x_i }, \, i \leq n_0) +1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was offenbar eine Schranke liefert.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei
\mathl{[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
in einem angeordneten Körper $K$ und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y-x }
}
{ \leq} { b-a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x,y
}
{ \leq} {b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \geq }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{- x,-y
}
{ \leq} { -a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \geq }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y-x }
}
{ =} { y-x
}
{ \leq} { b + (-a)
}
{ =} {b-a
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ < }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ebenfalls
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y-x }
}
{ =} { -(y-x)
}
{ =} { x-y
}
{ \leq} { b + (-a)
}
{ =} {b-a
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1 , \ldots , a_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $n$ Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1 , \ldots , b_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad $\leq n-1$ derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(a_i)
}
{ = }{ b_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$ ist.
}
{
Wir beweisen die Existenz und betrachten zuerst die Situation, wo
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b_j
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ \neq }{i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein festes $i$. Dann ist
\mathdisp {(X-a_1) \cdots (X-a_{i-1}) (X-a_{i+1}) \cdots (X-a_n)} { }
ein Polynom vom Grad $n-1$, das an den Stellen
\mathl{a_1 , \ldots , a_{i-1}, a_{i+1} , \ldots , a_n}{} den Wert $0$ hat. Das Polynom
\mathdisp {{ \frac{ b_i }{ (a_i-a_1) \cdots (a_{i}-a_{i-1}) (a_{i} -a_{i+1}) \cdots (a_i-a_n) } } (X-a_1) \cdots (X-a_{i-1}) (X-a_{i+1}) \cdots (X-a_n)} { }
hat an diesen Stellen ebenfalls eine Nullstelle, zusätzlich aber noch bei $a_i$ den Wert $b_i$. Nennen wir dieses Polynom $P_i$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {P_1 + P_2 + \cdots + P_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das gesuchte Polynom. An der Stelle $a_i$ gilt ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_j(a_i)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ \neq }{i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_i(a_i)
}
{ = }{b_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Eindeutigkeit folgt aus Korollar 50.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)).
}
\inputaufgabepunkteloesung
{8 (3+2+3)}
{
Wir betrachten auf der Menge $C$ aller stetigen Funktionen von $\R$ nach $\R$ die folgende Relation: Es ist
\mathl{f \sim g}{,} falls es eine nullstellenfreie stetige Funktion
\maabb {\alpha} {\R} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} {g \cdot \alpha
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
}{Zeige, dass aus
\mathl{f \sim g}{} folgt, dass die Nullstellenmenge von $f$ und von $g$ übereinstimmen.
}{Zeige, dass die beiden Funktionen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ =} {x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht zueinander äquivalent sind.
}
}
{
\aufzaehlungdrei{
Es ist
\mathl{f \sim f}{,} da
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} {1 \cdot f
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, man also für $\alpha$ die konstante Funktion mit dem Wert $1$ nehmen kann, die stetig ist und keine Nullstelle besitzt. Zum Nachweis der Symmetrie sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} {g \cdot \alpha
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer stetigen nullstellenfreien Funktion $\alpha$. Dann ist auch die Funktion
\maabbeledisp {{ \frac{ 1 }{ \alpha } }} { \R } { \R
} {x} { { \frac{ 1 }{ \alpha(x) } }
} {,}
wohldefiniert, nullstellenfrei und nach
Satz 51.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
auch stetig. Damit gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f \cdot { \frac{ 1 }{ \alpha } }
}
{ =} {g
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zum Nachweis der Transitivität gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} {g \cdot \alpha
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g
}
{ =} { h \cdot \beta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit stetigen nullstellenfreien Funktionen $\alpha, \beta$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { g \cdot \alpha
}
{ =} { h \cdot \beta \cdot \alpha
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mathl{\beta \cdot \alpha}{} ist ebenfalls nach
Satz 51.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
eine stetige nullstellenfreie Funktion.
}{Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} {g \cdot \alpha
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit $\alpha$ stetig und nullstellenfrei. Dann ist für jedes
\mathl{x \in \R}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {g(x) \cdot \alpha (x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\alpha(x)
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dies bedeutet, dass $f$ und $g$ die gleichen Nullstellen besitzen.
}{Nehmen wir an, dass $x$ und $x^2$ im beschriebenen Sinne äquivalent sind. Dann gibt es eine stetige nullstellenfreie Funktion $\alpha$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2
}
{ =} { \alpha (x) \cdot x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $x \in \R$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\alpha(x)
}
{ =} { { \frac{ x^2 }{ x } }
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von $\alpha$ bedeutet dies nach
Lemma 51.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) (2),
dass auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\alpha(0)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein muss. Dies widerspricht aber der vorausgesetzten Nullstellenfreiheit von $\alpha$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von $\Q$ nach $\Q$ nicht gelten muss.
}
{
Die Funktion
\maabbeledisp {f} {\Q} {\Q
} {x} {x^2-2 } {,}
ist stetig und es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(0)
}
{ = }{ -2
}
{ < }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(2)
}
{ = }{2
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn der Zwischenwertsatz auch rational gelten würde, müsste es im rationalen Intervall $[0,2]$ eine Nullstelle geben, also ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q^2
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies kann es aber nicht geben, da die Quadratwurzel aus $2$ irrational ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Vergleiche die beiden Zahlen
\mathdisp {\sqrt{3}^{ - { \frac{ 9 }{ 4 } } } \text{ und } \sqrt{3}^{- \sqrt{5} }} { . }
}
{
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 9^2
}
{ =} { 81
}
{ >} { 80
}
{ =} { 5 \cdot 16
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 9 }{ 4 } } \right) }^2
}
{ >} { 5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 9 }{ 4 } }
}
{ >} { \sqrt{5}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - { \frac{ 9 }{ 4 } }
}
{ <} { -\sqrt{5}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wegen des strengen Wachstums der Exponentialfunktion für eine Basis größer als $1$ ist daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3}^{ - { \frac{ 9 }{ 4 } } }
}
{ <} { \sqrt{3}^{ -\sqrt{5} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im $\R^2$ mit Mittelpunkt
\mathl{(2,7)}{,} der durch den Punkt
\mathl{(4,-3)}{} läuft.
}
{
Der Abstand der beiden Punkte ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r
}
{ =} { \sqrt{ 2^2 +10^2}
}
{ =} { \sqrt{104}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Kreisgleichung ist somit
\mathdisp {(X-2)^2 + (Y-7)^2= 104} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq} { { \frac{ 3 \sin^{ 4 } n -7n^3 +11n }{ 5 n^3 -4n^2 - \cos n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\R$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{
Wir erweitern den Bruch mit
\mathl{1/n^3}{}
\zusatzklammer {\mathlk{n \geq 1}{}} {} {} und schreiben
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{{ \frac{ 3 \sin^{ 4 } n -7n^3 +11n }{ 5 n^3 -4n^2 - \cos n } }
}
{ =} {{ \frac{ 3 { \frac{ \sin^{ 4 } n }{ n^3 } } -7 { \frac{ n^3 }{ n^3 } } +11 { \frac{ n }{ n^3 } } }{ 5 { \frac{ n^3 }{ n^3 } } -4 { \frac{ n^2 }{ n^3 } } - { \frac{ \cos n }{ n^3 } } } }
}
{ =} {{ \frac{ 3 { \frac{ \sin^{ 4 } n }{ n^3 } } - 7 +11 { \frac{ 1 }{ n^2 } } }{ 5 -4 { \frac{ 1 }{ n } } - { \frac{ \cos n }{ n^3 } } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
Dabei konvergieren
\mathl{11 { \frac{ 1 }{ n^2 } }}{} und
\mathl{-4 { \frac{ 1 }{ n } }}{} gegen $0$ und wegen
\mathl{-1 \leq \sin n, \cos n \leq 1}{} konvergieren auch
\mathl{{ \frac{ \sin^{ 4 } n }{ n^3 } }}{} und
\mathl{{ \frac{ \cos n }{ n^3 } }}{} gegen $0$. Somit konvergiert die Folge gegen
\mathl{- { \frac{ 7 }{ 5 } }}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Ein Hellseher behauptet, dass er nicht nur die sechs Richtigen im Lotto voraussagen kann, sondern auch die Reihenfolge, in der sie gezogen werden. Wie hoch ist dafür die Wahrscheinlichkeit?
}
{
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei der ersten Ziehung die vorhergesagt Zahl gezogen wird, ist
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 49 } }}{,} die Wahrscheinlichkeit, dass bei der zweiten Ziehung die vorhergesagte Zahl gezogen wird, ist
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 48 } }}{,} u.s.w. Somit ist insgesamt die Wahrscheinlichkeit, dass die volle Ziehung vorhergesagt wird, gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 10 068 347 520 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen
\mathl{x,y}{} aus
\mathl{\{1,2 , \ldots , 10\}}{} gezogen
\zusatzklammer {mit Zurücklegen} {} {.}
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass
\mathl{xy}{} eine
\definitionsverweis {Quadratzahl}{}{}
ist.
}
{
Jedes Paar
\mathl{(x,y)}{} besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit ${ \frac{ 1 }{ 100 } }$. Wir müssen also zählen, wie viele der hundert Paare zu einem Quadrat führen. Dies zählen wir entlang der möglichen Quadrate. Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{25
}
{ =} {5^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{49
}
{ =} {7^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{64
}
{ =} {8^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{81
}
{ =} {9^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{100
}
{ =} {10^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es nur die Quadratzerlegung, da bei jeder anderen Faktorzerlegung ein Faktor
\mathl{>10}{} ist. Dies ergibt insgesamt $5$ Möglichkeiten. Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{36
}
{ =} {6^2
}
{ =} {4 \cdot 9
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es drei Möglichkeiten
\zusatzklammer {nämlich
\mathl{(6,6), (4,9), (9,4)}{}} {} {,}
bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{16
}
{ =} {4^2
}
{ =} {2 \cdot 8
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es drei Möglichkeiten, bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{9
}
{ =} {3^2
}
{ =} {1 \cdot 9
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es drei Möglichkeiten, bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4
}
{ =} {2^2
}
{ =} {4 \cdot 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es drei Möglichkeiten und bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ =} {1^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es eine Möglichkeit. Insgesamt gibt es also $18$ Möglichkeiten und somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt ein Quadrat ist,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 18 }{ 100 } }
}
{ =} { { \frac{ 9 }{ 50 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}