Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/3/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	4	3	4	4	3	1	4	3	2	2	7	4	5	6	4	3	65

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Matrizenmultiplikation.
2. Ein Repräsentantensystem zu einer Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einer Menge ${}M$.
3. Eine Cauchy-Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
4. Die Eulersche Zahl.
5. Der Sinus zu einem Winkel ${}\alpha$.
6. Ein Laplace-Raum.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen

   $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$

2. Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.
3. Der Satz von Vieta.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}2&4&0\\-1&0&3\\0&1&1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die folgende Relation eine Äquivalenzrelation auf ${}\mathbb {Z}$ ist:

$x\sim y,{\text{ falls }}7{\text{ ein Teiler von }}x-y{\text{ ist}}.$

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

1. Gibt es eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+10$ und ${}x+20$ Primzahlen sind?
2. Gibt es mehr als eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+10$ und ${}x+20$ Primzahlen sind?

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow H.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}c\in K_{+}$ ein Element in einem angeordneten Körper ${}K$ und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {c}}$ mit dem Startwert ${}x_{0}\in K_{+}$. Es sei ${}u\in K_{+}$, ${}d=c\cdot u^{2}$, ${}y_{0}=ux_{0}$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {d}}$ mit dem Startwert ${}y_{0}$. Zeige

${}y_{n}=ux_{n}\,$

für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

Aufgabe * (1 Punkt)

Ist die reelle Zahl

${\sqrt {\frac {1}{11}}}$

rational?

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass eine konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ beschränkt ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$, die in einem größeren angeordneten Körper

${}K\subseteq L\,$

nicht konvergiert.

Aufgabe * (2 Punkte)

Schreibe die Menge

$]-3,-2[\,\cup \,\{7\}\,\cup \,{\left([-{\frac {5}{2}},-{\frac {1}{3}}]\,\setminus \,]-{\frac {4}{3}},-1]\right)}\,\cup \,[1,{\frac {7}{3}}]\,\cup \,[-{\frac {1}{2}},{\frac {6}{5}}[\,\cup \,{\left(\,]-7,-6]\cap \mathbb {R} _{+}\right)}$

als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}-5x-9.$

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}z\in \mathbb {R}$ derart, dass es ein Polynom ${}P\neq 0$ mit rationalen Koeffizienten und mit

${}P(z)=0\,$

gibt. Zeige, dass man

${}z={\frac {u}{v}}\,$

schreiben kann, wobei ${}v$ eine positive natürliche Zahl ist und es zu ${}u$ ein normiertes Polynom ${}Q$ mit ganzzahligen Koeffizienten und mit

${}Q(u)=0\,$

gibt.

Aufgabe * (5 (1+1+3) Punkte)

Wir betrachten das Polynom

${}P=1+X+{\frac {1}{2}}X^{2}+{\frac {1}{6}}X^{3}\,.$

1. Berechne die Werte von ${}P$ an den Stellen ${}-2,-1,0,1,2$.
2. Skizziere den Graphen von ${}P$ auf dem Intervall ${}[-2,2]$. Gibt es einen Bezug zur Exponentialfunktion ${}e^{x}$?
3. Bestimme eine Nullstelle von ${}P$ innerhalb von ${}[-2,2]$ mit einem Fehler von maximal ${}{\frac {1}{4}}$.

Aufgabe * (6 Punkte)

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise ${}K_{1}$ und ${}K_{2}$, wobei ${}K_{1}$ den Mittelpunkt ${}(3,4)$ und den Radius ${}6$ und ${}K_{2}$ den Mittelpunkt ${}(-8,1)$ und den Radius ${}7$ besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen ${}x,y$ aus ${}\{1,2,\ldots ,10\}$ gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass

${}xy\geq 48\,$

ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}M$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und es seien ${}A,B\subseteq M$ Ereignisse mit ${}P(A\cap B)\neq 0$ und mit ${}P(A),P(B)<1$. Zeige

${}{\frac {P(B{|}A)}{P(M\setminus B{|}A)}}={\frac {P(B)}{P(M\setminus B)}}\cdot {\frac {P(A{|}B)}{P(A{|}M\setminus B)}}\,.$