Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/8/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 14 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 1 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 7 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {inhomogenes lineares Gleichungssystem} {} mit $m$ Gleichungen in $n$ Variablen über einem Körper $K$.
}{Eine \stichwort {invertierbare} {} $n \times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.
}{Die \stichwort {Symmetrie} {} einer \definitionsverweis {Relation}{}{} $R$ auf einer Menge $M$.
}{Eine $k$-te
\stichwort {Wurzel} {}
zu
\mathl{r \in R}{} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Halbring}{}{}
$R$.
}{Die
\stichwort {Stetigkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mathl{x \in \R}{.}
}{Die
\stichwort {vollständige Unabhängigkeit} {}
von Ereignissen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E_1 , \ldots , E_k
}
{ \subseteq} { M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {endlichen Wahrscheinlichkeitsraum}{}{}
\mathl{(M, \mu)}{.}
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Das System
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & c_1 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & c_2 \\
\vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & c_m \end{matrix}} { }
heißt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, wobei die
\mathl{a_{ij}}{} und die $c_i$ aus $K$ sind.
}{Die Matrix $M$ heißt invertierbar, wenn es eine Matrix
\mathl{A \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \circ M
}
{ =} {E_{ n }
}
{ =} {M \circ A
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}{Die Relation $R$ heißt symmetrisch, wenn aus
\mathl{xRy}{} stets
\mathl{yRx}{} folgt.
}{Man nennt ein Element
\mathl{x \in R}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^k
}
{ =} {r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine $k$-te
Wurzel
von $r$.
}{Man sagt, dass $f$
stetig
im Punkt $x$ ist,wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für alle $x'$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x-x' }
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)- f(x') }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Die vollständige Unabhängigkeit der Ereignisse
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} bedeutet, dass für jedes
\mathbed {r} {}
{2 \leq r \leq k} {}
{} {} {} {,}
und jede $r$-elementige Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{ \{ 1 , \ldots , k \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\mu { \left( \bigcap_{i \in I} E_i \right) }
}
{ =} { \prod_{i \in I} \mu(E_i)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über die Punktrichtungsform für eine lineare Gleichung in zwei Variablen.}{Der Satz über die inverse Folge zu einer Cauchy-Folge.}{Das
\stichwort {Folgenkriterium} {}
für die Stetigkeit einer Abbildung
\maabbdisp {f} {D} {\R
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ax+by
}
{ =} {c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine lineare Gleichung in zwei Variablen über $K$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a,b)
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist die Lösungsmenge eine
\definitionsverweis {Gerade}{}{}
in $K^2$. Als Richtungsvektor kann man den Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} b \\-a \end{pmatrix}}{} nehmen.}{Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper mit der Eigenschaft, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ein $n_0$ derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \geq} {a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Dann ist auch die durch
\zusatzklammer {für $n$ hinreichend groß} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n
}
{ =} { { \left( x_n \right) }^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene inverse Folge eine Cauchy-Folge.}{Für
\maabb {f} {D} {\R} {}
sind folgende Aussagen äquivalent.
\aufzaehlungzwei {$f$ ist stetig im Punkt $x$.
} {Für jede konvergente Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $D$ mit
\mathl{\lim_{n \rightarrow \infty} x_n =x}{} ist auch die Bildfolge
\mathl{{ \left( f(x_n) \right) }_{ n \in \N }}{} konvergent mit dem Grenzwert $f(x)$.
}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (1+3)}
{
\aufzaehlungzwei {Überführe die Matrixgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in ein lineares Gleichungssystem.
} {Löse dieses lineare Gleichungssystem.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Die einzelnen Einträge der Matrixgleichung ergeben das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3x+7z
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -4x+5z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3y+7w
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -4y+5w
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Aus der ersten und der zweiten Gleichung ergibt sich mittels
\mathl{4I+3II}{} die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 43 z
}
{ =} { 4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { { \frac{ 4 }{ 43 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { { \frac{ 5 }{ 4 } } z
}
{ =} { { \frac{ 5 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 4 }{ 43 } }
}
{ =} { { \frac{ 5 }{ 43 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus der dritten und der vierten Gleichung ergibt sich mittels
\mathl{4III+3IV}{} die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 43 w
}
{ =} { 3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 43 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { - { \frac{ 7 }{ 3 } } w
}
{ =} { - { \frac{ 7 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 3 }{ 43 } }
}
{ =} {- { \frac{ 7 }{ 43 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Beschreibe die Gerade im $\R^2$, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(2,3)} {und} {(5,-7)} {} verläuft, in Punktvektorform.
}
{
Die Gerade wird durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix} + t \left( \begin{pmatrix} 5 \\-7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix} \right ) \mid t \in \R \right\} }
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\-10 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{14 (3+2+2+7)}
{
Betrachte auf $\Z \times (\Z \setminus \{0\})$ die
\definitionsverweis {Relation}{}{}
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d),\, \text{ falls } ad = bc \text{ ist}} { . }
a) Zeige, dass $\sim$ eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.
b) Zeige, dass es zu jedem $(a,b)$ ein äquivalentes Paar $(a',b')$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b'
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
c) Es sei $M$ die Menge der \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\Z} {M } {z} { [ (z,1)] } {.} Zeige, dass $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
d) Definiere auf $M$
\zusatzklammer {aus Teil c} {} {}
eine
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
$+$ derart, dass
$M$ mit dieser Verknüpfung und mit $[(0,1)]$ als neutralem Element eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
wird, und dass für die Abbildung $\varphi$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(z_1 + z_2)
}
{ =} {\varphi(z_1) + \varphi(z_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_1,z_2
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
a) Wegen der Kommutativität der Multiplikation in
$\Z$ ist $ab=ba$, woraus die
Reflexivität folgt. Zur Symmetrie sei $(a,b) \sim
(c,d)$, also $ad= bc$. Dann ist auch
$cb=da$, was $(c,d) \sim (a,b)$
bedeutet. Zur Transitivität sei
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d)
\text{ und } (c,d) \sim (e,f)} { , }
also
\mathdisp {ad=bc
\text{ und } cf = de} { . }
Aus diesen beiden Gleichungen ergibt
sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ adf }
{ =} { bcf }
{ =} {bde }
{ } { }
{ } { }
}
{}{}{.} Da
$d \neq 0$ ist, folgt daraus
$af=be$, was $(a,b) \sim (e,f)$
bedeutet.
b) Es sei $(a,b)$ vorgegeben. Wegen $b
\neq 0$ ist $b>0$ oder $b<0$.
Bei $b>0$ sind wir fertig, da
$(a,b)$ zu sich selbst äquivalent ist. Bei
$b<0$ betrachten wir $(-a,-b)$. Der
zweite Eintrag ist positiv, und wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a(-b) }
{ =} {-(ab) }
{ =} {b(-a) }
{ } { }
{ } { }
}
{}{}{} sind \mathkor {} {(a,b)} {und} {(-a,-b)} {} äquivalent zueinander.
c) Es seien $z_1,z_2 \in \Z$ vorgegeben und
$\varphi(z_1)= \varphi(z_2)$. Das bedeutet
$[(z_1,1)] = [(z_2,1)]$ bzw. $(z_1,1)
\sim (z_2,1)$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z_1 }
{ =} {z_1 1 }
{ =} {1
z_2 }
{ =} {z_2 }
{ } { }
}
{}{}{.}
d) Wir setzen
\mathdisp {[ (a,b)] + [ (c,d) ] := [ ( ad+cb,
bd ) ]} { . }
Wegen $b,d \neq 0$ ist auch
$bd \neq 0$. Zur Wohldefiniertheit dieser
Verknüpfung sei
\mathdisp {(a,b) \sim (a',b') \text{ und }
(c,d) \sim (c', d')} { , }
also
\mathdisp {ab' =a'b \text{ und } cd' = c'd} { . }
Wir behaupten
\mathdisp {( ad+cb,bd ) \sim ( a'd'+c'b', b'd' )} { . }
Dies folgt aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ ( ad+cb )b'd'
}
{ =} { adb'd' + cbb'd'
}
{ =} {
ab' dd' + cd' bb'
}
{ =} {a'b dd' + c'd bb'
}
{ =} { bda'd' + bdc'b'
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { bd (a'd'+c'b' )
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Die Assoziativität folgt aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ ([(a,b)]+ [ (c,d) ]) + [ (e,f)]
}
{ =} { [ (ad+bc ,bd) ] + [ (e,f)] }
{ =} { [ (ad+bc)f+ bde , bdf ]
}
{ =} { [ adf +bcf +bde , bdf]
}
{ =} { [ adf +b(cf +de) , bdf]
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { [(a,b)] + ( [ (cf +de,df)])
}
{ =} { [(a,b)] + ( [ (c,d) ] + [ (e,f)])
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{[(a,b)] + [ (0 , 1)] }
{ =} { [ ( a1 +b0, b1) ] }
{ =} { [ (a,b)] }
{ } { }
{ } { }
}
{}{}{} \zusatzklammer {und ebenso
in der anderen Reihenfolge} {} {} ist $(0,1)$ das neutrale Element.
Wir behaupten, dass zu $[(a,b)]$ das inverse Element durch $[(-a,b)]$ gegeben ist. Dies folgt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [(a,b)] + [(-a,b)]
}
{ =} { [ ( ab + b(-a) , b^2) ]
}
{ =} { [ ( ab -ab , b^2) ]
}
{ =} { [ (0, b^2)] }
{ =} { [(0,1) ]
}
}
{}{}{,}
wobei die letzte Gleichung sich aus $0 \cdot 1= 0 \cdot b^2$ ergibt \zusatzklammer {ebenso
in der anderen Reihenfolge} {} {.}
Schließlich ist für$z_1, z_2 \in \Z$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi (z_1 + z_2)
}
{ =} { [( z_1 +z_2,1 )]
}
{ =} { [( z_1\cdot 1 + 1 \cdot z_2,1 \cdot 1 )]
}
{ =} { [( z_1 , 1 )] + [(z_2,1 )]
}
{ =} { \varphi (z_1) + \varphi( z_2) }
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (1+1+2)}
{
a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ {]0,1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2
}
{ =} { c^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ {]0,1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2
}
{ \neq} { c^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ {]0,1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ {]0,1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2
}
{ =} { c^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3^2+4^2
}
{ =} { 5^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 3 }{ 6 } } \right) }^2 + { \left( { \frac{ 4 }{ 6 } } \right) }^2
}
{ =} { { \left( { \frac{ 5 }{ 6 } } \right) }^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und diese Zahlen sind rational und aus dem offenen Einheitsintervall.
b) Wir nehmen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ = }{ { \frac{ 3 }{ 6 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ = }{ { \frac{ 4 }{ 6 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 6 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Summe ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2
}
{ =} { { \left( { \frac{ 5 }{ 6 } } \right) }^2
}
{ \neq} {{ \left( { \frac{ 1 }{ 6 } } \right) }^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a
}
{ =} {b
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{2} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{;}
diese Zahl ist irrational, da $\sqrt{2}$ irrational ist. Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{2} } } \right) }^2 + { \left( { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{2} } } \right) }^2
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 \cdot 2 } } + { \frac{ 1 }{ 4 \cdot 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } }
}
{ =} { { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^2
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ = }{{ \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist also ein Beispiel der gewünschten Art gefunden.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Zeige, dass in einem angeordneten Körper jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist.
}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die konvergente Folge mit Grenzwert $x$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Wir wenden die Konvergenzeigenschaft auf
\mathl{\epsilon/2}{} an. Daher gibt es ein $n_0$ mit
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \epsilon/2 \text { für alle } n \geq n_0} { . }
Für beliebige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n,m
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt dann
aufgrund der Dreiecksungleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x_m }
}
{ \leq} { \betrag { x_n-x } + \betrag { x-x_m }
}
{ \leq} { \epsilon/2 + \epsilon/2
}
{ =} { \epsilon
}
{ } {}
}
{}{}{.} Also liegt eine Cauchy-Folge vor.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Die beiden reellen Zahlen
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
besitzen die Dezimalentwicklungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {0{,}2 \overline{13}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {0{,}\overline{127}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme die Dezimalentwicklung von
\mathl{x+y}{.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 0{,}2 \overline{13}
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 10 } } + 0{,}0 \overline{13}
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 10 } } + { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot 0{,}\overline{13}
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 10 } } + { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot 0{,}\overline{131313}
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 10 } } + { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot { \frac{ 131313 }{ 999 999 } }
}
}
{}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 0{,}\overline{127}
}
{ =} { 0{,}\overline{127127}
}
{ =} { { \frac{ 127127 }{ 999 999 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 0{,}2\overline{13} + 0{,}\overline{127}
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 10 } } + { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot { \frac{ 131313 }{ 999 999 } } + { \frac{ 127127 }{ 999 999 } }
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 10 } } + { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot { \left( { \frac{ 131313 }{ 999 999 } } + { \frac{ 1271270 }{ 999 999 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 10 } } + { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot { \frac{ 1402 583 }{ 999 999 } }
}
{ =} {{ \frac{ 2 }{ 10 } } + { \frac{ 1 }{ 10 } } + { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot { \frac{ 402 584 }{ 999 999 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {{ \frac{ 3 }{ 10 } } + { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot 0{,}\overline{402 584}
}
{ =} {0{,}3\overline{402 584}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Zeige unter Verwendung
der Bernoullischen Ungleichung,
dass die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \left( 1 + { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {wachsend}{}{}
ist.
}
{
Aufgrund der Bernoulli-Ungleichung
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 1- \frac{1}{n^2} \right) }^n
}
{ \geq} {1- n \frac{1}{n^2}
}
{ =} {1- \frac{1}{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies schreiben wir als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\frac{n-1}{n}
}
{ \leq} { { \left( \frac{n^2-1}{n^2} \right) }^n
}
{ =} { { \left( \frac{n+1}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \right) }^n
}
{ =} { { \left( \frac{n+1}{n} \right) }^n { \left( \frac{n-1}{n} \right) }^n
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich durch beidseitige Multiplikation mit
\mathl{{ \left( \frac{ n}{n-1} \right) }^n}{}
\zusatzklammer {es sei $n \geq 2$} {.} {}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{n-1}
}
{ =} { { \left( \frac{n}{n-1} \right) }^{n-1}
}
{ \leq} { { \left( \frac{n+1}{n} \right) }^n
}
{ =} {a_n
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2-7x+5 } {.}
}
{
Wir schreiben
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f(x)
}
{ =} {x^2-7x+5
}
{ =} { { \left( x- { \frac{ 7 }{ 2 } } \right) }^2 - { \frac{ 49 }{ 4 } } +5
}
{ =} { { \left( x- { \frac{ 7 }{ 2 } } \right) }^2 - { \frac{ 29 }{ 4 } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Daher ist die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ { \frac{ 7 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebene Gerade eine Spiegelungsachse für den Graphen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1+2)}
{
\aufzaehlungzwei {Berechne das Produkt
\mathdisp {{ \left( 2-3X+X^2 \right) } \cdot { \left( -5+4X-3 X^2 \right) }} { }
im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
$\Q[X]$.
} {Berechne das Produkt
\mathdisp {{ \left( 2-3 \sqrt{2} +\sqrt{2}^2 \right) } \cdot { \left( -5+4\sqrt{2}-3 \sqrt{2}^2 \right) }} { }
in $\R$ auf zwei verschiedene Arten.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ (2-3X+X^2) \cdot (-5+4X-3 X^2)
}
{ =} { -10 +8X +15X -6X^2 -5X^2 -12X^2+4X^3 +9X^3 -3X^4
}
{ =} { -10+23X -23X^2+13X^3-3X^4
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Es ist einerseits direkt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ ( 2-3 \sqrt{2} +\sqrt{2}^2) \cdot (-5+4\sqrt{2}-3 \sqrt{2}^2 )
}
{ =} { { \left( 4-3 \sqrt{2} \right) } { \left( -11+4 \sqrt{2} \right) }
}
{ =} { -44 - 12 \cdot 2 + (16+33) \sqrt{2}
}
{ =} { -68 + 49 \sqrt{2}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Andererseits kann man im Ergebnis von Teil 1 die Variable $X$ durch $\sqrt{2}$ ersetzen und erhält
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ -10+23 \sqrt{2} -23 \sqrt{2}^2+13 \sqrt{2}^3-3 \sqrt{2}^4
}
{ =} {-10+ 23 \sqrt{2} -23 \cdot 2 +13 \cdot 2 \sqrt{2}-3 \cdot 4
}
{ =} { -68 + 49 \sqrt{2}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Bestimme die Lösungen der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Z/(6)$.
}
{
Neben den Standardlösungen
\mathkor {} {0} {und} {1} {}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3^2
}
{ =} {9
}
{ =} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4^2
}
{ =} {16
}
{ =} {4
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dagegen ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^2
}
{ =} {4
}
{ \neq} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5^2
}
{ =} {25
}
{ =} {1
}
{ \neq} {5
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Lösungen sind also
\mathl{\{0,1,3,4\}}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es seien \mathkor {} {P} {und} {Q} {} verschiedene \definitionsverweis {normierte Polynome}{}{} vom Grad $d$ über einem Körper $K$. Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?
}
{
Ein Schnittpunkt liegt vor, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(x)
}
{ =} {Q(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn $x$ eine Nullstelle von
\mathl{P-Q}{} ist. Da beide Polynome normiert sind und den gleichen Grad $d$ besitzen, hebt sich bei der Subtraktion der Leitterm weg und es ergibt sich ein Polynom vom Grad maximal $d-1$. Da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \neq }{Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, ist die Differenz nicht das Nullpolynom. Nach
Korollar 50.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
besitzt somit
\mathl{P-Q}{} maximal
\mathl{d-1}{} Nullstellen, und daher gibt es maximal
\mathl{d-1}{} Schnittpunkte.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion zu einer streng wachsenden, stetigen Funktion \maabb {f} {I} {\R } {,} zu einem Intervall $I\subseteq \R$.
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Dass das Bild wieder ein Intervall ist folgt aus
Korollar 52.9 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)).}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Funktion $f$ ist
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
da sie streng wachsend ist und damit ist die Abbildung
\maabbdisp {f} {I} {J
} {}
auf das Bild
\definitionsverweis {bijektiv}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Umkehrfunktion
\maabbdisp {f^{-1}} {J} {I
} {}
ist ebenfalls streng wachsend.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \defeq }{ f^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \defeq }{ f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben.
\fallunterscheidungzwei {Es sei zunächst $y$ kein
\definitionsverweis {Randpunkt}{}{}
von $J$. Dann ist auch $x$ kein Randpunkt von $I$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben und ohne Einschränkung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [x- \epsilon, x+ \epsilon]
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
angenommen. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ \defeq} { {\min { \left( y-f(x- \epsilon) , f(x + \epsilon)-y \right) } }
}
{ >} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y'
}
{ \in }{[ y- \delta, y + \delta ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt wegen der Monotonie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(y')
}
{ \in} { [g(y-\delta), g(y+ \delta)]
}
{ \subseteq} { [x- \epsilon, x+ \epsilon]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist $g$ stetig in $y$.}
{Wenn $y$ ein Randpunkt von $J$ ist, so ist auch $x$ ein Randpunkt von $I$, sagen wir der rechte Randpunkt. Dann ist zu vorgegebenem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wieder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [x- \epsilon, x]
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ \defeq }{ y-f(x- \epsilon)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt die geforderte Eigenschaft.}
}
{}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Mustafa Müller darf zu seinem $n$-ten Geburtstag aus seiner Klasse $n$ Kinder einladen. Heute wird er $8$, in seiner Klasse gibt es neben ihm $30$ Kinder. Da alle Kinder nett sind, wählt er zufällig aus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die $7$ Kinder vom letztjährigen Geburtstag wieder eingeladen werden.
}
{
Es gibt
\mathl{\binom { 30 } { 8 }}{} gleichberechtigte Einladungsmöglichkeiten. Wenn eine achtelementige Teilmenge eine fixierte siebenelementige Teilmenge enthalten soll, so gibt es nur die Möglichkeit, die siebenelementige Menge um eine achte Person aus den verbleibenden
\mathl{30-7=23}{} Kindern zu ergänzen. Dafür gibt es also $23$ Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist also
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ 23 }{ \,\, \binom { 30 } { 8 } \, \, } }
}
{ =} { { \frac{ 23 }{ \,\, { \frac{ 30 \cdot 29 \cdots 24 \cdot 23 }{ 8 \cdot 7 \cdots 2 \cdot 1 } } \, \, } }
}
{ =} { { \frac{ 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 }{ 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 15 \cdot 29 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 5 } }
}
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 254475 } }
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Aus den Zahlen
\mathl{\{1 , \ldots , 10\}}{} werden zufällig fünf Zahlen gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es unter den gezogenen Zahlen keine Teilbarkeitsbeziehung gibt.
}
{
Wir zählen, wie viele fünfelementige Teilmengen es von
\mathl{\{1 , \ldots , 10\}}{} gibt, in denen es keine Teilbarkeitsbeziehung gibt. Wir gehen die Teilmengen entlang ihres minimalen Elementes durch.
Da die $1$ jede Zahl teilt, darf die $1$ in der Auswahl nicht vorkommen.
Wenn die $2$
\zusatzklammer {als minimales Element} {} {}
vorkommt, so darf keine weitere gerade Zahl vorkommen. Dann müssen die anderen Zahlen
\mathl{3,5,7,9}{} sein, doch $3$ teilt $9$. Es gibt also keine erlaubte Auswahl von diesem Typ.
Wenn die $3$
\zusatzklammer {als minimales Element} {} {}
vorkommt, so darf weder die $6$ noch die $9$ vorkommen. Es verbleiben
\mathl{\{4,5,7,8,10\}}{.} Da es darin zwei Teilbarkeitsbeziehungen gibt, gibt es keine erlaubte Auswahl von diesem Typ.
Wenn die $4$
\zusatzklammer {als minimales Element} {} {}
vorkommt, so darf die $8$ nicht vorkommen. Dies ergibt die Möglichkeit
\mathl{\{4,5,6,7,9\}}{} und
\mathl{\{4,6,7,9,10\}}{.}
Wenn die $5$
\zusatzklammer {als minimales Element} {} {}
vorkommt, so darf die $10$ nicht vorkommen. Dies ergibt die Möglichkeit
\mathl{\{5,6,7,8,9\}}{.}
Wenn die $6$
\zusatzklammer {als minimales Element} {} {}
vorkommt, so ergibt dies die Möglichkeit
\mathl{\{6,7,8,9,10\}}{.}
Es gibt also insgesamt
\mathl{4}{} mögliche Auswahlen, die die Bedingung erfüllen. Insgesamt gibt es
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { 10 } { 5 }
}
{ =} { { \frac{ 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 }{ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } }
}
{ =} { 9 \cdot 4 \cdot 7
}
{ =} { 252
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist also gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 4 }{ 252 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 63 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}