Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 14

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme den Rest von ${}123456789$ bei Division durch ${}7$ .

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bringe die Division mit Rest damit in Verbindung, wie man eine Punktmenge in Blöcke konfigurieren kann.

Aufgabe

Es seien ${}n,d$ natürliche Zahlen mit ${}d\geq 1$ . Zeige, dass ${}d$ genau dann ein Teiler von ${}n$ ist, wenn bei der Division mit Rest von ${}n$ durch ${}d$ der Rest gleich ${}0$ ist.

Aufgabe

Es seien ${}q,d,s\in \mathbb {N}$ mit ${}d\geq 1$ und ${}n=qd+s$ . Zeige, dass der Rest von ${}n$ bei Division durch ${}d$ gleich dem Rest von ${}s$ bei Division durch ${}d$ ist.

Es sei ${}d$ eine positive natürliche Zahl. Es seien ${}a,b$ natürliche Zahlen und es seien ${}r$ bzw. ${}s$ die Reste von ${}a$ bzw. ${}b$ bei Division durch ${}d$ . Zeige, dass der Rest von ${}a+b$ bei Division durch ${}d$ gleich dem Rest von ${}r+s$ bei Division durch ${}d$ ist. Formuliere und beweise die entsprechende Aussage für die Multiplikation.

Für die folgenden Aufgaben vergleiche man Aufgabe 14.5 und Beispiel 11.4.

Aufgabe

Erstelle Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch ${}3$ bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben.

Aufgabe

Erstelle Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch ${}4$ bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben.

Aufgabe

Es sei ${}d\geq 2$ eine natürliche Zahl. In welcher Beziehung stehen die Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch ${}d$ bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben, zum kleinen Einsundeins und zum kleinen Einmaleins im ${}d$ -System?

Aufgabe

Es seien ${}a,d\in \mathbb {N}$ , ${}d\geq 1$ . Zeige, dass bei Division mit Rest durch ${}d$ aller Potenzen von ${}a$ (also $a^{0},a^{1},a^{2},\ldots$ ) schließlich eine Periodizität eintreten muss. Es gibt also ${}i<j$ derart, dass sich die Reste von ${}a^{i},a^{i+1},a^{i+2},\ldots ,a^{j-2},a^{j-1}$ bei den folgenden Potenzen periodisch (oder „zyklisch“) wiederholen (insbesondere besitzen also ${}a^{i}$ und ${}a^{j}$ den gleichen Rest). Zeige ebenfalls, dass diese Periodizität nicht bei ${}a^{0}=1$ anfangen muss.

Aufgabe

Es seien ${}a$ und ${}d$ teilerfremde ganze Zahlen. Zeige, dass es eine Potenz ${}a^{i}$ mit ${}i\geq 1$ gibt, deren Rest bei Division durch ${}d$ gleich ${}1$ ist.

Aufgabe

Begründe die Eindeutigkeit der Ziffernentwicklung im Zehnersystem mit Hilfe der Eindeutigkeit bei der Division mit Rest.

Aufgabe

Zeige, dass eine natürliche Zahl ${}n$ genau dann gerade ist, wenn ihre letzte Ziffer im Dezimalsystem gleich ${}0,2,4,6$ oder ${}8$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine positive natürliche Zahl genau dann von ${}10^{k}$ geteilt wird, wenn sie in der Dezimaldarstellung mit mindestens ${}k$ Nullen endet.

Aufgabe

Finde die Primfaktorzerlegung der Zahlen

11,\,111,\,1111,\,11111,\,111111.

Aufgabe *

Betrachte im Zehnersystem die Zahl

473.

Wie sieht diese Zahl im Dualsystem aus?

Aufgabe

Bestimme für die im Zehnersystem gegebene Zahl ${}300$ die Ziffernentwicklung im Dreiersystem.

Aufgabe

Betrachte im ${}15$ er System mit den Ziffern ${}0,1,\ldots ,8,9,A,B,C,D,E$ die Zahl

5E6BB.

Wie sieht diese Zahl im Zehnersystem aus?

Aufgabe

Bestimme für die als Strichfolge gegebene natürliche Zahl

{}n={|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}\,

für jede mögliche Basis ${}g=2,3,\ldots$ die Zifferndarstellung. Ab welchem ${}g$ ist die Zifferndarstellung einstellig?

Aufgabe

Zeige, dass es für jede natürliche Zahl ${}n$ nur endlich viele Basen ${}g=2,3,\ldots$ gibt, für die die Zifferndarstellung von ${}n$ nicht einstellig ist.

Aufgabe

Inwiefern kann man das Strichsystem als Einersystem auffassen, inwiefern nicht?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Erstelle Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch ${}5$ bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo ${}4$ den Rest ${}3$ besitzen.

Aufgabe (6 (2+4) Punkte)

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ sei ${}\psi (n)$ gleich der Summe aller Reste, die bei der Division von ${}n$ durch die Zahlen ${}d=1,2,\ldots ,n$ auftreten.