Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 15

Die Pausenaufgabe

Aufgabe *

Führe im Zehnersystem die Addition

$794385+503819$

schriftlich durch.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Begründe, dass der Nachfolger der Dezimalzahl ${}999\ldots 999$ (mit ${}k$ Neunen) gleich ${}1000\ldots 000$ (mit ${}k+1$ Ziffern, also ${}k$ Nullen) ist.

Aufgabe

Bestimme, welche der beiden Zahlen im Zehnersystem größer ist.

$m=52866396034807681104629504792853235\,\,{\text{ oder }}\,\,n=52876373480104695047954506002853673.$

Aufgabe

Bestimme, welche der beiden Zahlen im Zehnersystem größer ist.

$m=528663960348076811044629504792853235\,\,{\text{ oder }}\,\,n=52876373480104695047954506002853673.$

Aufgabe

Ein Pokalwettbewerb werde mit ${}2^{n+1}$ Mannschaften im K.-o.-System ausgetragen. Beweise die Identität

${}\sum _{k=0}^{n}2^{k}=2^{n+1}-1\,$

durch eine inhaltliche Überlegung (Wie viele Spiele finden statt?).

Aufgabe

Beweise die Identität

${}\sum _{k=0}^{n}2^{k}=2^{n+1}-1\,$

mit Hilfe des Zweiersystems.

Aufgabe *

Führe im Dreiersystem die Addition

$201021+112002$

schriftlich durch.

Aufgabe

Führe im Sechzehnersystem die Addition

$5C4A7+D330E$

schriftlich durch.

Aufgabe

Führe die Addition

$9+19+29+39+49+59+69+79+89+99+109+119$

schriftlich durch. Welche „Besonderheit“ tritt dabei auf?

Aufgabe

Gabi Hochster sitzt in der Schule neben Heinz Ngolo. Sie üben schriftliches Addieren und rechnen ${}725+638$. Gabi ist fertig und Heinz hat gerade die hinterste Ziffer zusammengerechnet und den Übertrag notiert. Da kritzelt Gabi auf Heinzens Heft rum und radiert die Ziffern ${}5$ und ${}8$ weg. Gabi sagt: „Die brauchst du nicht mehr, konzentrier dich auf die anderen Ziffern, dann geht es schneller und wir können endlich weiter Schiffe versenken spielen“. Darauf sagt Heinz: „Lass mich in Ruhe, kleine Klugscheißerin, außerdem brauch ich die Ziffern doch, nämlich zur Probe“. Darauf Gabi: „Wer beim Rechnen eine Probe braucht, sollte zurück in den Kindergarten“.

Wir beurteilen Sie die Lage mathematisch und didaktisch?

Aufgabe

Ist für das schriftliche Addieren das Kommutativgesetz klar, ist es klar, dass ${}0$ das neutrale Element ist, ist es klar, dass das Assoziativgesetz gilt?

Aufgabe

Es stehen verschiedene Zahlen an der Tafel. Der einzige erlaubte Rechenschritt ist, zwei beliebige Zahlen wegzuwischen und durch ihre Summe zu ersetzen. Nach hinreichend vielen Durchgängen steht nur noch eine Zahl da. Ist das Ergebnis unabhängig vom Ablauf? Man erläutere die Situation mit dem Begriff Invarianzprinzip.

Aufgabe

Gibt es für die folgenden Zahlensysteme ein für alle Zahlen korrektes Verfahren zum schriftlichen Addieren, welches wie das schriftliche Addieren im Zehnersystem nur auf der getrennten Addition von Ziffern gleicher Stelligkeit und dem Übertrag beruht? Welche Probleme treten auf?

1. Das Strichfolgensystem
2. Das Eurozahlensystem
3. Das römische Zahlsystem

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}0\leq k\leq 2$. Zeige: Eine positive natürliche Zahl ist genau dann ${}<10^{k}$, wenn sie im Eurozahlensystem aus maximal ${}3k$ Ziffern besteht.

Aufgabe (2 Punkte)

Führe im Dreiersystem die Addition

$221002+22121$

schriftlich durch.

Aufgabe (3 Punkte)

Führe im Sechzehnersystem die Addition

$A0BEE7+5C5DA3$

schriftlich durch.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige mit dem allgemeinen Distributivgesetz die Beziehung

${}a^{n+1}-1=(a-1){\left(\sum _{k=0}^{n}a^{k}\right)}\,$

für natürliche Zahlen ${}a\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ und ${}n\in \mathbb {N}$.

Aufgabe (1 Punkt)

Beweise die Identität

${}\sum _{k=0}^{n}2^{k}=2^{n+1}-1\,$

mit Hilfe von Aufgabe 15.17.