Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 19/latex
\setcounter{section}{19}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere die zweite binomische Formel für einen \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ und führe sie auf die erste binomische Formel zurück.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere und beweise die dritte binomische Formel für einen \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und seien $x, y$ und $z$ Elemente in $R$. Berechne
\mathdisp {{ \left( 2x^3- xy^2z- 4 x^2 y^2 \right) } { \left( -2 x^3 - z- xyz \right) } - x^2 { \left( 4- 3y-5 xy^5 z \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathl{x\in R}{} und $n \in \N_+$. Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^{n}-1
}
{ =} {(x-1) { \left( x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3} + \cdots + x^2 + x +1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass $\Z^2$ mit der
\definitionsverweis {komponentenweisen}{}{}
Addition und der komponentenweisen Multiplikation ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
ist. Gilt in diesem Ring die Eigenschaft, dass aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xy
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt, dass
\mathkor {} {x} {oder} {y} {}
gleich $0$ ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Lucy Sonnenschein befindet sich in Position
\mathl{(-2,3)\in \Z^2}{,} wobei sich im Folgenden die erste Komponente auf links/rechts und die zweite Komponente auf vorne/hinten bezieht. Sie geht vier Schritte nach rechts, dann zwei Schritte nach hinten, dann einen Schritt nach links, einen
\zusatzklammer {etwas größeren} {} {}
Diagonalschritt nach links hinten und schließlich zwei Schritte nach vorne. In welcher Position befindet sie sich zum Schluss? Durch welche möglichst einfache Bewegung kann sie die Gesamtbewegung rückgängig machen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
$\mathfrak {P} \, (M )$ mit dem Durchschnitt $\cap$ als Multiplikation und der
\definitionsverweis {symmetrischen Differenz}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \triangle B
}
{ =} {(A \setminus B) \cup (B \setminus A)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als Addition
\zusatzklammer {mit welchen neutralen Elementen} {?} {}
ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass die Multiplikation mit $-1$, also die Abbildung \maabbeledisp {} {R} {R } {g} { -g } {,} \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Diskutiere, welche Bedeutungen die Begriffe
\betonung{positiv}{} und
\betonung{negativ}{} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
besitzen. Wie sieht es in $\Z$ aus? Welche Bedeutung ist relativ, welche absolut?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und es seien
\mathl{k,m,n}{} ganze Zahlen und
\mathl{x,y \in R}{.} Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungfuenf{Zu $n \in \N$ ist
\mathl{nx}{}
\zusatzklammer {also die $n$-fache Summe von $x$ mit sich selbst} {} {}
gleich
\mathl{(1 + \cdots + 1) \cdot x}{,} wobei links die $n$-fache Summe der $1 \in R$ mit sich selbst steht.
}{Zu $n \in \N$ ist $-n$
\zusatzklammer {also die $n$-fache Summe des Negativen von $1$ mit sich selbst} {} {}
gleich dem Negativen
\zusatzklammer {in $R$} {} {}
von $n=1 + \cdots + 1$.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (m+k) x
}
{ =} { mx + kx
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ k ( x+y)
}
{ =} { k x + ky
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (km) x
}
{ =} { k (mx)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zu jedem
\mathl{f \in R}{} sei
\maabbeledisp {\mu_f} {R} {R } {g} {fg } {,}
die Multiplikation mit $f$. Zeige, dass $\mu_f$ genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.
Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x^{-1} \right) }^{-1}
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und es sei $B$ die Menge aller
\definitionsverweis {bijektiven Abbildungen}{}{}
von $M$ nach $M$. Zeige, dass $B$ mit der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
von Abbildungen eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
ist. Was ist das neutrale Element, was ist das inverse Element zu
\mathl{f \in B}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element und sei
\maabbeledisp {\varphi} {G} {G
} {x} { x \circ g
} {,}
die Verknüpfung mit $g$. Zeige, dass $\varphi$
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
ist. In welcher Beziehung steht diese Aussage zu
Lemma 19.8?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Person $A$ wird $80$ Jahre alt und Person $B$ wird $70$ Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten. \aufzaehlungzwei {$A$ schläft jede Nacht $7$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $8$ Stunden. } {$A$ schläft jede Nacht $8$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $7$ Stunden. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {angeordneter Ring}{}{.} Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2
}
{ = }{xx
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in einem
\definitionsverweis {angeordneten Ring}{}{}
aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \leq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ac
}
{ \leq }{bc
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {angeordneter Ring}{}{} und $x>y$. Zeige, dass dann $-x<-y$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {angeordneter Ring}{}{} und $x,y \geq 0$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2
}
{ \geq }{y^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das Maximum und das Minimum der folgenden ganzen Zahlen.
a)
\mathl{4,-7,-6,8, 5}{,}
b)
\mathl{-3,-2,-1,0}{,}
c)
\mathl{-4+3,2-3,4-5,6-7,-4+6}{.}
Wie lautet die Antwort, wenn man jeweils die Beträge dieser Zahlen betrachtet?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche Teilerbeziehung besteht zwischen $0$ und einer beliebigen ganzen Zahl $n$ und welche Teilerbeziehung besteht zwischen $1$ und einer beliebigen ganzen Zahl $n$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die Teilbarkeitsregeln für ganze Zahlen, die in Lemma 19.15 aufgelistet sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für je zwei ganze Zahlen $a,b \in \Z$ aus
\mathdisp {a{{|}}b \text{ und } b{{|}}a} { }
die Beziehung $a=\pm b$ folgt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass für jede ungerade Zahl $n$ die Zahl
\mathl{25n^2-17}{} ein Vielfaches von $8$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Rechne im Dezimalsystem
\mathdisp {5382 -6981} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Rechne im Dezimalsystem
\mathdisp {-75009 + 9817} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Darstellung der
\definitionsverweis {ganzen Zahl}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { 5 \cdot 10^3 -70 \cdot 10^2 -3 \cdot 10^1 +6\cdot 10^0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Zehnersystem.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Darstellung der
\definitionsverweis {ganzen Zahl}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { 11 \cdot 10^3 +6 \cdot 10^2 +4 \cdot 10^1 -2561 \cdot 10^0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Zehnersystem.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es liegen zwei ganze Zahlen
\mathkor {} {m} {und} {n} {}
im Dezimalsystem vor. Lässt sich die letzte Ziffer der Summe
\mathl{m+n}{} allein aus den beiden letzten Ziffern der beiden Zahlen bestimmen?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Ring}{}{} und seien $x, y$ und $z$ Elemente in $R$. Berechne das Produkt
\mathdisp {{ \left( x^2-3 y z y-2z y^2+4 x y^2 \right) } { \left( 2 x y^3 x-z^2 x y x \right) } { \left( 1-3z y x z^2y \right) }} { . }
Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring
\definitionsverweis {kommutativ}{}{}
ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass für ganze Zahlen
\mathl{a,b,c \in \Z}{} genau dann das \anfuehrung{umgekehrte Distributivgesetz}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+ (b \cdot c)
}
{ =} { (a+b) \cdot (a+c)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b+c
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme das Maximum und das Minimum der folgenden ganzen Zahlen.
a)
\mathl{-6,\,4,\,-5,\,3,\, 5}{,}
b)
\mathl{-7,\,-5,\,-6,\,-4}{,}
c)
\mathl{-6+2,\, 2-8,\,5-5,\,3-7,\,5-9}{.}
Wie lautet die Antwort, wenn man jeweils die Beträge dieser Zahlen betrachtet?
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Rechne im Dezimalsystem
\mathdisp {-4901 -5328} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme die Darstellung der
\definitionsverweis {ganzen Zahl}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { -3 \cdot 10^3 +31 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10^1 -37\cdot 10^0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Zehnersystem.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Zeige, dass es für jede ganze Zahl $z$ eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { \sum_{i = 0}^n c_i 10^{i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-4
}
{ \leq} { c_i
}
{ \leq} { 5
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i$ gibt.
}
{} {}
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