Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 19

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Formuliere die zweite binomische Formel für einen kommutativen Ring ${}R$ und führe sie auf die erste binomische Formel zurück.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Formuliere und beweise die dritte binomische Formel für einen kommutativen Ring ${}R$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}x,y$ und ${}z$ Elemente in ${}R$. Berechne

${\left(2x^{3}-xy^{2}z-4x^{2}y^{2}\right)}{\left(-2x^{3}-z-xyz\right)}-x^{2}{\left(4-3y-5xy^{5}z\right)}.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}x\in R$ und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige die Gleichheit

${}x^{n}-1=(x-1){\left(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+\cdots +x^{2}+x+1\right)}\,.$

Aufgabe

Zeige, dass ${}\mathbb {Z} ^{2}$ mit der komponentenweisen Addition und der komponentenweisen Multiplikation ein kommutativer Ring ist. Gilt in diesem Ring die Eigenschaft, dass aus ${}xy=0$ folgt, dass ${}x$ oder ${}y$ gleich ${}0$ ist?

Aufgabe

Lucy Sonnenschein befindet sich in Position ${}(-2,3)\in \mathbb {Z} ^{2}$, wobei sich im Folgenden die erste Komponente auf links/rechts und die zweite Komponente auf vorne/hinten bezieht. Sie geht vier Schritte nach rechts, dann zwei Schritte nach hinten, dann einen Schritt nach links, einen (etwas größeren) Diagonalschritt nach links hinten und schließlich zwei Schritte nach vorne. In welcher Position befindet sie sich zum Schluss? Durch welche möglichst einfache Bewegung kann sie die Gesamtbewegung rückgängig machen?

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge. Zeige, dass die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$ mit dem Durchschnitt ${}\cap$ als Multiplikation und der symmetrischen Differenz

${}A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\,$

als Addition (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Ring ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Multiplikation mit ${}-1$, also die Abbildung

$R\longrightarrow R,\,g\longmapsto -g,$

bijektiv ist.

Aufgabe

Diskutiere, welche Bedeutungen die Begriffe positiv und negativ in einem kommutativen Ring besitzen. Wie sieht es in ${}\mathbb {Z}$ aus? Welche Bedeutung ist relativ, welche absolut?

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es seien ${}k,m,n$ ganze Zahlen und ${}x,y\in R$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ ist ${}nx$ (also die ${}n$-fache Summe von ${}x$ mit sich selbst) gleich ${}(1+\cdots +1)\cdot x$, wobei links die ${}n$-fache Summe der ${}1\in R$ mit sich selbst steht.
2. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ ist ${}-n$ (also die ${}n$-fache Summe des Negativen von ${}1$ mit sich selbst) gleich dem Negativen (in ${}R$) von ${}n=1+\cdots +1$.
3. Es ist

   ${}(m+k)x=mx+kx\,.$

4. Es ist

   ${}k(x+y)=kx+ky\,.$

5. Es ist

   ${}(km)x=k(mx)\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zu jedem ${}f\in R$ sei

$\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,$

die Multiplikation mit ${}f$. Zeige, dass ${}\mu _{f}$ genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.

Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass

${}{\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x\,$

für alle ${}x\in G$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge und es sei ${}B$ die Menge aller bijektiven Abbildungen von ${}M$ nach ${}M$. Zeige, dass ${}B$ mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine Gruppe ist. Was ist das neutrale Element, was ist das inverse Element zu ${}f\in B$?

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und sei ${}g\in G$ ein Element und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow G,\,x\longmapsto x\circ g,$

die Verknüpfung mit ${}g$. Zeige, dass ${}\varphi$ bijektiv ist. In welcher Beziehung steht diese Aussage zu Lemma 19.8?

Aufgabe *

Person ${}A$ wird ${}80$ Jahre alt und Person ${}B$ wird ${}70$ Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten.

1. ${}A$ schläft jede Nacht ${}7$ Stunden und ${}B$ schläft jede Nacht ${}8$ Stunden.
2. ${}A$ schläft jede Nacht ${}8$ Stunden und ${}B$ schläft jede Nacht ${}7$ Stunden.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein angeordneter Ring. Zeige, dass für jedes ${}x\in R$ die Beziehung ${}x^{2}=xx\geq 0$ gilt.

Aufgabe

Zeige, dass in einem angeordneten Ring aus ${}a\geq b$ und ${}c\leq 0$ die Beziehung ${}ac\leq bc$ folgt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein angeordneter Ring und ${}x>y$. Zeige, dass dann ${}-x<-y$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein angeordneter Ring und ${}x,y\geq 0$. Zeige, dass ${}x\geq y$ genau dann gilt, wenn ${}x^{2}\geq y^{2}$ gilt.

Aufgabe

Bestimme das Maximum und das Minimum der folgenden ganzen Zahlen.

a) ${}4,-7,-6,8,5$,

b) ${}-3,-2,-1,0$,

c) ${}-4+3,2-3,4-5,6-7,-4+6$.

Wie lautet die Antwort, wenn man jeweils die Beträge dieser Zahlen betrachtet?

Aufgabe

Welche Teilerbeziehung besteht zwischen ${}0$ und einer beliebigen ganzen Zahl ${}n$ und welche Teilerbeziehung besteht zwischen ${}1$ und einer beliebigen ganzen Zahl ${}n$?

Aufgabe

Beweise die Teilbarkeitsregeln für ganze Zahlen, die in Lemma 19.15 aufgelistet sind.

Aufgabe

Zeige, dass für je zwei ganze Zahlen ${}a,b\in \mathbb {Z}$ aus

$a{|}b{\text{ und }}b{|}a$

die Beziehung ${}a=\pm b$ folgt.

Aufgabe *

Zeige, dass für jede ungerade Zahl ${}n$ die Zahl ${}25n^{2}-17$ ein Vielfaches von ${}8$ ist.

Aufgabe

Rechne im Dezimalsystem

$5382-6981.$

Aufgabe

Rechne im Dezimalsystem

$-75009+9817.$

Aufgabe

Bestimme die Darstellung der ganzen Zahl

${}n=5\cdot 10^{3}-70\cdot 10^{2}-3\cdot 10^{1}+6\cdot 10^{0}\,$

im Zehnersystem.

Aufgabe

Bestimme die Darstellung der ganzen Zahl

${}n=11\cdot 10^{3}+6\cdot 10^{2}+4\cdot 10^{1}-2561\cdot 10^{0}\,$

im Zehnersystem.

Aufgabe

Es liegen zwei ganze Zahlen ${}m$ und ${}n$ im Dezimalsystem vor. Lässt sich die letzte Ziffer der Summe ${}m+n$ allein aus den beiden letzten Ziffern der beiden Zahlen bestimmen?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Ring und seien ${}x,y$ und ${}z$ Elemente in ${}R$. Berechne das Produkt

${\left(x^{2}-3yzy-2zy^{2}+4xy^{2}\right)}{\left(2xy^{3}x-z^{2}xyx\right)}{\left(1-3zyxz^{2}y\right)}.$

Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring kommutativ ist?

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für ganze Zahlen ${}a,b,c\in \mathbb {Z}$ genau dann das „umgekehrte Distributivgesetz“

${}a+(b\cdot c)=(a+b)\cdot (a+c)\,$

gilt, wenn

${}a=0\,$

oder

${}a+b+c=1\,$

ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Maximum und das Minimum der folgenden ganzen Zahlen.

a) ${}-6,\,4,\,-5,\,3,\,5$,

b) ${}-7,\,-5,\,-6,\,-4$,

c) ${}-6+2,\,2-8,\,5-5,\,3-7,\,5-9$.

Wie lautet die Antwort, wenn man jeweils die Beträge dieser Zahlen betrachtet?

Aufgabe (2 Punkte)

Rechne im Dezimalsystem

$-4901-5328.$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Darstellung der ganzen Zahl

${}n=-3\cdot 10^{3}+31\cdot 10^{2}+5\cdot 10^{1}-37\cdot 10^{0}\,$

im Zehnersystem.

Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass es für jede ganze Zahl ${}z$ eine eindeutige Darstellung

${}z=\sum _{i=0}^{n}c_{i}10^{i}\,$

mit

${}-4\leq c_{i}\leq 5\,$

für alle ${}i$ gibt.