Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 40/latex

\setcounter{section}{40}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Oma Müller und Opa Müller haben heute Geburtstag. Sie wird $69$ Jahre alt und er wird $73$ Jahre alt. Wie alt waren sie, als man beide Altersangaben zwar mit natürlichen, aber nicht mit positiven natürlichen Zahlen ausdrücken konnte.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Familie $A$ und $B$ notieren ihre Einnahmen und Ausgaben pro Monat in der Form
\mathl{(x,y) \in \N^2}{,} wobei der erste Eintrag für die Einnahmen und der zweite Eintrag für die Ausgaben steht. Familie $A$ notiert für die erste Jahreshälfte die Paare
\mathdisp {(2500,2800) ,\, (3500,3200) ,\, (3300,2900), \, (2800,2800) ,\, (2400,4200) ,\, (4000,2700)} { . }
Familie $B$ notiert für die erste Jahreshälfte die Paare
\mathdisp {(3300,3600) ,\, (3900,3800) ,\, (4300,4300), \, (4000,3800) ,\, (3900,4100) ,\, (4000,3700)} { . }
\aufzaehlungvier{Notiere für jede Familie und jeden Monat den Gewinn bzw. das Defizit in Paarschreibweise mit Hilfe der Standardrepräsentanten. }{Berechne für jede Familie die Gesamteinnahmen und die Gesamtausgaben im angegebenen Zeitraum. }{Bestimme auf zwei verschiedene Arten für jede Familie den Gesamtgewinn bzw. das Gesamtdefizit \zusatzklammer {Standardrepräsentant} {} {.} }{Vergleiche für jeden Monat den Haushalt der beiden Familien mit Hilfe der Festlegung aus Lemma 40.4. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {(M,*)} {und} {(N, \circ)} {} Mengen mit Verknüpfungen und es sei \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} eine mit den Verknüpfungen verträgliche \definitionsverweis {surjektive Abbildung}{}{,} es gelte also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi (x *y) }
{ =} { \varphi(x) \circ \varphi(y) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungdrei{Wenn $*$ kommutativ ist, so ist auch $\circ$ kommutativ. }{Wenn $*$ assoziativ ist, so ist auch $\circ$ assoziativ. }{Wenn $M$ ein neutrales Element besitzt, so besitzt auch $N$ ein neutrales Element. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ \subseteq }{K^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} und $\sim$ die zugehörige \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} im Sinne von Aufgabe 38.10. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass die \definitionsverweis {affinen Unterräume}{}{} der Form
\mathl{P+V}{} die \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} sind. } {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W }
{ \subseteq }{K^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein weiterer Untervektorraum mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V \cap W }
{ =} { \{0\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und derart, dass man jeden Vektor
\mathl{u \in K^n}{} in der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u }
{ = }{v+w }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mathl{v \in V}{} und
\mathl{w \in W}{} schreiben kann. Zeige, dass $W$ ein \definitionsverweis {Repräsentantensystem}{}{} für die Äquivalenzrelation ist.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {\N} { \Z } {n} { [(n, 0)] } {,} injektiv ist und dass sie mit der Addition, der Multiplikation und der Ordnung verträglich ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die auf $\Z \times \N_+$ durch
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad=bc} { , }
festgelegte \definitionsverweis {Relation}{}{} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass bei der auf $\Z \times \N_+$ durch
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad=bc} { , }
festgelegten \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} jedes Paar
\mathl{(x,y)}{} einen Vertreter
\mathl{(x',y')}{} besitzt, bei dem \mathkor {} {x'} {und} {y'} {} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man durch die Festlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [(a,b)] \cdot [(c,d)] }
{ \defeq} { [ ( ac, bd)] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf \zusatzklammer {dem Äquivalenzklassenmodell von} {} {} $\Q$ eine wohldefinierte Verknüpfung erhält, die kommutativ und assoziativ ist und die
\mathl{[(1,1)]}{} als neutrales Element besitzt. Zeige ferner, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Klassen \mathkor {} {[(a,b)]} {und} {[(b,a)]} {} und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ < }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Klassen \mathkor {} {[(a,b)]} {und} {[(-b,-a)]} {} invers zueinander sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass im \definitionsverweis {Äquivalenzklassenmodell}{}{} für $\Q$ die Addition die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [(a,d)] + [(c,d)] }
{ =} { [(a+c,d)] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $\Z \times \N_+$ mit der durch
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad=bc} { , }
festgelegten \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} versehen. Zeige, dass es zu
\mathl{(a_1,b_1), (a_2,b_2) , \ldots , (a_n,b_n)}{} eine Zahl
\mathl{d \in \N_+}{} und ganze Zahlen
\mathl{c_1,c_2 , \ldots , c_n}{} mit
\mathl{(a_1,b_1) \sim (c_1,d) ,\, (a_2,b_2) \sim (c_2,d) , \ldots , (a_n,b_n) \sim (c_n,d)}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man durch die Festlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [(a,b)] }
{ \geq }{[(c,d)] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a d }
{ \geq }{ b c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} auf \zusatzklammer {dem Äquivalenzklassenmodell von} {} {} $\Q$ eine wohldefinierte \definitionsverweis {totale Ordnung}{}{} erhält.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {\Z} { \Q } {n} { [(n,1)] } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{} und mit der Addition, der Multiplikation und der Ordnung verträglich ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge mit einer \definitionsverweis {kommutativen}{}{,} \definitionsverweis {assoziativen}{}{} Verknüpfung $*$ und einem neutralen Element $e$. Ferner gelte die Kürzungsregel, dass aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a*c }
{ = }{b*c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} stets
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass auf
\mathl{M \times M}{} durch die Festlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a,b) }
{ \sim }{ (c,d) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a*d }
{ = }{ b*c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt, eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} definiert wird. } {Zeige, dass man auf der Quotientenmenge
\mathl{M \times M/\sim}{} eine \definitionsverweis {Gruppenstruktur}{}{} definieren kann, die die Verknüpfung auf $M$ fortsetzt. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten auf $\Z^2 \setminus \{ (0,0)\}$ die durch
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad=bc} { , }
festgelegte \definitionsverweis {Relation}{}{.} Zeige, dass es sich um eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} handelt, deren \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} die \anfuehrung{diskreten Geraden}{} durch den Nullpunkt ohne den Nullpunkt sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten auf $\Z^2$ die durch
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad=bc} { , }
festgelegte \definitionsverweis {Relation}{}{.} Zeige, dass dies keine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $D$ und $W$ Mengen. Wir betrachten auf der Abbildungsmenge
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( D , W \right) }}{} diejenige \definitionsverweis {Relation}{}{,} bei der die Abbildungen \maabbdisp {f,g} {D} {W } {} in Relation stehen, wenn es eine \definitionsverweis {bijektive Abbildung}{}{} \maabbdisp {\pi} {D} {D } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f }
{ =} { g \circ \pi }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt. Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $D$ und $W$ Mengen, wobei $D$ endlich sei. Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\Psi} { \operatorname{Abb} \, { \left( D , W \right) } } { \operatorname{Abb} \, { \left( W , \N \right) } } { f} { { \left( w \mapsto { \# \left( f^{-1}(w) \right) } \right) } } {.} Einer Abbildung \maabb {f} {D} {W } {} wird also die Abbildung zugeordnet, die jedem Wert
\mathl{w \in W}{} die Anzahl seiner Urbilder zuordnet. Finde möglichst viele Interpretationen für diese Situation.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ eine Schulklasse und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W }
{ =} {\{1,2,3,4,5,6\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Menge der Schulnoten. Das Ergebnis einer Klausur ist eine Abbildung \maabb {f} {D} {W } {,} wobei jedem Schüler
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} seine in der Klausur erzielte Note
\mathl{f(x)}{} zugeordnet wird. Die zugehörige Notenverteilung ist die Abbildung, die jeder Note
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w }
{ \in }{W }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zuordnet, wie oft diese Note in der Klausur vergeben wurde. Die in Aufgabe 40.17 besprochene Abbildung \maabbeledisp {\Psi} { \operatorname{Abb} \, { \left( D , W \right) } } { \operatorname{Abb} \, { \left( W , \N \right) } } { f} { { \left( w \mapsto { \# \left( f^{-1}(w) \right) } \right) } } {,} ordnet also dem Klausurergebnis die Notenverteilung zu. Es sei nun \maabbdisp {\varphi} { \operatorname{Abb} \, { \left( D , W \right) } } { \Q } {} die Abbildung, die jedem Klausurergebnis die Durchschnittsnote zuordnet. \aufzaehlungsechs{Erstelle eine Formel für die Durchschnittsnote zu einem Klausurergebnis $f$. }{Erstelle eine Formel für die Durchschnittsnote zu einer Notenverteilung \maabb {h} {W} {\N } {.} }{Zeige, dass man die Durchschnittsnote zum Klausurergebnis $f$ allein aus der zugehörigen Notenverteilung
\mathl{\Psi(f)}{} berechnen kann. }{Zeige, dass es eine Abbildung \maabbdisp {\tilde{\varphi}} {\operatorname{Abb} \, { \left( W , \N \right) } } { \Q } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi }
{ =} { \tilde{\varphi} \circ \Psi }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt. }{Aus welchen Notenverteilungen ist das Klausurergebnis rekonstruierbar? }{Was ist eine sinnvolle Antwort auf die Frage \anfuehrung{Wie ist die Klausur ausgefallen}{?} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $D$ und $W$ Mengen, wobei $D$ endlich sei. Es sei $\sim$ die \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( D , W \right) }}{} aus Aufgabe 40.16 und sei \maabbeledisp {\Psi} { \operatorname{Abb} \, { \left( D , W \right) } } { \operatorname{Abb} \, { \left( W , \N \right) } } { f} { { \left( w \mapsto { \# \left( f^{-1}(w) \right) } \right) } } {,} die in Aufgabe 40.17 besprochene Abbildung. \aufzaehlungdrei{Es sei \maabb {\pi} {D} {D } {} eine bijektive Abbildung und \maabb {f} {D} {W } {} eine Abbildung. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Psi (f) }
{ =} { \Psi (f \circ \pi) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es seien \maabb {f,g} {D} {W } {.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \sim }{g }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Psi(f) }
{ = }{ \Psi(g) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Zeige, dass es eine \definitionsverweis {injektive Abbildung}{}{} \maabbdisp {\tilde{\Psi}} { \operatorname{Abb} \, { \left( D , W \right) } /\sim \! } { \operatorname{Abb} \, { \left( W , \N \right) } } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Psi }
{ = }{\tilde{\Psi} \circ p }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt, wobei $p$ die \definitionsverweis {kanonische Projektion}{}{} in die \definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{} bezeichnet. }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass die Äquivalenzrelation auf
\mathl{\N \times \N}{,} die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a,b) }
{ \sim }{(c,d) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+d }
{ = }{b+c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, festgelegt ist, durch die Sprünge
\mathl{\pm \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}}{} erzeugt wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{8 (2+2+2+2)}
{

Es sei $\sim$ die \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf
\mathl{\N \times \N}{,} die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a,b) }
{ \sim }{(c,d) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+d }
{ = }{b+c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, festgelegt ist, und es sei $\Z=\N \times \N/ \sim$ die zugehörige Quotientenmenge, also das Äquivalenzklassenmodell von $\Z$. Es sei $G=\N \uplus \N_-$ das  \zusatzklammer {in der 18. Vorlesung eingeführte} {} {} \anfuehrung{direkte Modell}{} für die ganzen Zahlen. Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {\varphi} {G} { \N \times \N } {,} die durch
\mathdisp {\varphi (n) =\begin{cases} (n,0), \text{ falls } n \text{ nichtnegativ ist}\, , \\ (0,m), \text{ falls } n=-m \text{ negativ ist} \, ,\end{cases}} { }
definiert ist, und die zusammengesetzte Abbildung
\mathdisp {G \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} \N \times \N \stackrel{p}{\longrightarrow} \Z} { . }
\aufzaehlungvier{Zeige, dass
\mathl{p \circ \varphi}{} eine \definitionsverweis {bijektive Abbildung}{}{} ist. }{Zeige, dass
\mathl{p \circ \varphi}{} mit der Addition verträglich ist. }{Zeige, dass
\mathl{p \circ \varphi}{} mit der Multiplikation verträglich ist. }{Zeige, dass
\mathl{p \circ \varphi}{} mit der Ordnung verträglich ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $(M,*,e)$ eine endliche Menge mit einer kommutativen, assoziativen \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} mit einem neutralen Element $e$. Ferner gelte in $M$ die \anfuehrung{Kürzungsregel}{:} Aus $z * x= z* y$ folgt $x=y$. Zeige, dass $M$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{1}
{

Zeige, dass im \definitionsverweis {Äquivalenzklassenmodell}{}{} für $\Q$ die Ordnung die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [(a,d)] }
{ \geq} { [( c,d)] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ \geq} {c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} erfüllt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3 (1+1+1)}
{

Die Fußballspiele zwischen dem TSV Wildberg und VfB Effringen endeten in den letzten Jahren wie folgt:
\mathdisp {7:2, \, 3:0, \, 0:0, \, 9:6, \, 8:0, \, 2:1, \, 4:2, \, 3:0, \, 5:5, \, 6:3, \, 3:1, \, 1:1, \, 7:0, \, 2:0, \, 6:4, \, 6:2, \, 3:4, \, 3:2} { . }
\aufzaehlungdrei{Erstelle die Äquivalenzklassen \zusatzklammer {auf der Menge der angegebenen Ergebnisse} {} {} gemäß der Äquivalenzrelation auf
\mathl{\N \times \N}{,} die durch
\mathl{a:b \sim c:d, \text{ falls } a+d=b+c}{,} definiert ist. }{Erstelle die Äquivalenzklassen gemäß derjenigen Äquivalenzrelation auf
\mathl{\N \times \N}{,} die auf
\mathl{\N \times (\N \setminus \{0\} )}{} durch
\mathl{a:b \sim c :d, \text{ falls } ad=bc}{,} definiert ist und für die
\mathl{{ \left\{ n:0 \mid n \in \N_+ \right\} }}{} und
\mathl{\{ 0:0 \}}{} eigene Äquivalenzklassen sind. }{Erstelle die Äquivalenzklassen gemäß derjenigen Äquivalenzrelation auf
\mathl{\N \times \N}{,} die auf
\mathl{( \N \setminus \{0\} ) \times (\N \setminus \{0\} )}{} durch
\mathl{a:b \sim c :d, \text{ falls } ad=bc}{,} definiert ist und für die die anderen Elemente nur zu sich selbst äquivalent sind. }

}
{} {}