Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 48/latex
\setcounter{section}{48}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{} mit der Eigenschaft, dass jede \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} in $K$ einen Punkt enthält. Zeige, dass $K$ \definitionsverweis {vollständig}{}{} ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Die Dezimalentwicklung einer reellen Zahl beginne
\mathdisp {3,601473301 ...} { . }
Beschreibe die zugehörige
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
mit Intervallen der Länge
\mathl{10,1, { \frac{ 1 }{ 10 } }, { \frac{ 1 }{ 100 } }, { \frac{ 1 }{ 1000 } }, { \frac{ 1 }{ 10000 } }, { \frac{ 1 }{ 100000 } }}{} und entsprechenden Grenzen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I_n
}
{ = }{[a_n,b_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
für $x$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J_n
}
{ = }{[c_n,d_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Intervallschachtelung für $y$. Beschreibe eine Intervallschachtelung für
\mathl{x+y}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
beginnen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { 0{,}24 \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { 0{,}51 \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe
\mathl{x+y}{} sagen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
beginnen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { 0{,}24719113 \dotso
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { 0{,}60421809 \dotso
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe
\mathl{x+y}{} sagen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
beginnen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { 0,3 \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { 0,3 \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Was kann man über die Ziffernentwicklung des Produktes
\mathl{x \cdot y}{} sagen? Was kann man über die erste Nachkommaziffer des Produktes sagen, wenn die zweite Nachkommaziffer gleich $5$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
beginnen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { 0{,}536\,080\,713\dotso
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { 0{,}663\,184\,254\dotso
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Was kann man über die Ziffernentwicklung des Produktes
\mathl{x \cdot y}{} sagen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Eine reelle Zahl $x$ besitze die Ziffernentwicklung
\mathdisp {0{,}523 \dotso} { }
im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von $1/x$ sagen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Eine reelle Zahl $x$ besitze die Ziffernentwicklung
\mathdisp {0,3715 \ldots} { }
im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von $1/x$ sagen?
}
{} {}
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Eine Teilmenge
\mathl{T \subseteq K}{} heißt ein \definitionswort {Abschnitt}{,} wenn für alle
\mathl{a,b \in T}{} mit
\mathl{a \leq b}{} und jedes
\mathl{x \in K}{} mit
\mathl{a \leq x \leq b}{} auch
\mathl{x \in T}{} ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass jedes \definitionsverweis {Intervall}{}{} \zusatzklammer {einschließlich der unbeschränkten Intervalle} {} {} in $K$ ein \definitionsverweis {Abschnitt}{}{} ist.
Man gebe ein Beispiel für einen Abschnitt in $\Q$, der kein Intervall ist.
Zeige, dass in $\R$ jeder Abschnitt ein Intervall ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Inwiefern definiert eine rationale Zahl einen \definitionsverweis {Dedekindschen Schnitt}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Inwiefern definiert eine reelle Zahl einen \definitionsverweis {Dedekindschen Schnitt}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Definiere auf der Menge der \definitionsverweis {Dedekindschen Schnitte}{}{} eine Addition, die für rationale Schnitte mit der Addition auf $\Q$ übereinstimmt. Zeige, dass diese Verknüpfung kommutativ und assoziativ ist, dass es ein neutrales Element gibt und dass jeder Dedekindsche Schnitt einen negativen Schnitt besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Definiere auf der Menge der \definitionsverweis {Dedekindschen Schnitte}{}{} eine Multiplikation, die für rationale Schnitte mit der Multiplikation auf $\Q$ übereinstimmt. Zeige, dass diese Verknüpfung kommutativ und assoziativ ist, dass es ein neutrales Element gibt und dass jeder Dedekindsche Schnitt $\neq 0$ einen inversen Schnitt besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Definiere auf der Menge der \definitionsverweis {Dedekindschen Schnitte}{}{} eine \definitionsverweis {totale Ordnung}{}{,} die für rationale Schnitte mit der Größergleichrelation auf $\Q$ übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Dedekindschen Schnitte}{}{} ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe für jede der vier Bedingungen, die in der Definition eines
\definitionsverweis {Dedekindschen Schnittes}{}{}
vorkommen, ein Beispiel für ein Paar $(A,B)$ mit
\mathl{A,B \subseteq \Q}{,} das drei dieser Bedingungen erfüllt, aber nicht die vierte.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{} mit der Eigenschaft, dass jeder \definitionsverweis {Dedekindsche Schnitt}{}{} in $K$ ein Punktschnitt ist. Zeige, dass $K$ \definitionsverweis {vollständig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es seien $r,s$ nichtnegative reelle Zahlen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r^n
}
{ <} {s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige mit Hilfe
des binomischen Lehrsatzes,
dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( r+ { \frac{ 1 }{ k } } \right) }^n
}
{ <} {s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Untersuche die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { \sqrt{n} \cdot \sqrt{n+1}-n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
\definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das reelle Einheitsintervall
\mathl{[0,1]}{} unendlich viele
\definitionsverweis {irrationale Zahlen}{}{}
enthält.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass jedes reelle Intervall mit positiver Intervalllänge unendlich viele \definitionsverweis {irrationale Zahlen}{}{} enthält.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien \mathkor {} {x} {und} {y} {} zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das \definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{} der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr \definitionsverweis {geometrisches Mittel}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{b > a > 0}{} positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
durch
\mathl{x_0= a}{,}
\mathl{y_0= b}{} und durch
\mathdisp {x_{n+1} = \text{ geometrisches Mittel von } x_n \text{ und } y_n} { , }
\mathdisp {y_{n+1} = \text{ arithmetisches Mittel von } x_n \text{ und } y_n} { . }
Zeige, dass
\mathl{[x_n,y_n]}{} eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne für die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \left( 1+ { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die ersten vier Glieder als Bruch. Man gebe jeweils einen approximierenden Dezmialbruch mit einem Fehler von maximal
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 1000 } }}{} an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige die folgenden Abschätzungen.
a)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n } { k } \cdot { \frac{ 1 }{ n^k } }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ k! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
b)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 1 + { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^n
}
{ \leq} { \sum_{k = 0}^n { \frac{ 1 }{ k! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Für die Eulersche Zahl $e$ seien die Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2,71
}
{ \leq} {e
}
{ \leq} {2,72
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bekannt.
\aufzaehlungzwei {Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von $e^2$ sagen?
} {Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von $e^{-1}$ sagen?
}
}
{} {}
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {dicht}{,} wenn es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { t-x }
}
{ <} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{} $\Q$ in $\R$ \definitionsverweis {dicht}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Dezimalbrüche}{}{} in $\R$ \definitionsverweis {dicht}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{k \in \N_{\geq 2}}{} eine fixierte natürliche Zahl und es sei $T$ die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $k$ als Nenner schreiben kann. Zeige, dass $T$ in $\R$
\definitionsverweis {dicht}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ genau dann
\definitionsverweis {dicht}{}{}
in $\R$ ist, wenn es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N }
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, die gegen $x$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der irrationalen Zahlen in $\R$ \definitionsverweis {dicht}{}{} ist.
}
{} {}
Für die folgende Aufgabe ist
Aufgabe 47.7
hilfreich.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Untergruppe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z + \Z \cdot \sqrt{3}
}
{ \subseteq} {\R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {dicht}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $H$ eine (additive)
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der reellen Zahlen $\R$. Zeige, dass entweder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{{\Z} a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl $a$ ist, oder aber $H$
\definitionsverweis {dicht}{}{}
in $\R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zu den reellen Zahlen
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
sei die periodische Ziffernentwicklung bekannt,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { z_0{,}\overline{ z_{1} \ldots z_{m} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { w_0{,}\overline{ w_{1} \ldots w_{m} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Summe
\mathl{x + y}{} ebenfalls eine
\zusatzklammer {nicht unbedingt minimale} {} {}
Periode der Länge $m$ besitzt. Erläutere, wie sich die Periode der Summe aus den beiden einzelnen Perioden ergibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zu den reellen Zahlen
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
sei die periodische Ziffernentwicklung bekannt,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { z_0,z_1 \ldots z_k \overline{ z_{k+1} \ldots z_{k+r} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { w_0, w_1 \ldots w_\ell \overline{ w_{\ell+1} \ldots z_{\ell+s} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Was kann man über die Periodenlänge der Summe
\mathl{x+y}{} sagen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zu den reellen Zahlen
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
sei die periodische Ziffernentwicklung bekannt,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { z_0,z_1 \ldots z_k \overline{ z_{k+1} \ldots z_{k+r} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { w_0, w_1 \ldots w_\ell \overline{ w_{\ell+1} \ldots z_{\ell+s} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Was kann man über die Periodenlänge des Produktes
\mathl{x \cdot y}{} sagen?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Die Dezimalentwicklung einer reellen Zahl beginne
\mathdisp {-7, 35831149 ...} { . }
Beschreibe die zugehörige
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
mit Intervallen der Länge
\mathl{10,1, { \frac{ 1 }{ 10 } }, { \frac{ 1 }{ 100 } }, { \frac{ 1 }{ 1000 } }, { \frac{ 1 }{ 10000 } }, { \frac{ 1 }{ 100000 } }}{} und entsprechenden Grenzen.
}
{} {}
In der folgenden Aufgabe dürfen Sie annehmen, dass sich alles in $\R_+$ abspielt.
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I_n
}
{ = }{[a_n,b_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
für $x$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J_n
}
{ = }{[c_n,d_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Intervallschachtelung für $y$. Beschreibe eine Intervallschachtelung für
\mathl{x \cdot y}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Eine reelle Zahl $x$ besitze die Ziffernentwicklung
\mathdisp {2,1278 \ldots} { }
im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von $1/x$ sagen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Eine reelle Zahl $x$ besitze die Ziffernentwicklung
\mathdisp {0{,}101001000100001000001 \ldots} { }
im Dezimalsystem, die angedeutete Regelmäßigkeit gelte für die gesamte Entwicklung. Bestimme die Ziffernentwicklung von $1/x$ bis zur vierten Nachkommastelle.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die Ziffernentwicklung von
\mathdisp {0{,}\overline{1} \cdot 0{,}\overline{1}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne für die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { \sum_{k = 0}^n { \frac{ 1 }{ k! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Glieder bis
\mathl{x_5}{} als Bruch. Man gebe jeweils einen approximierenden Dezmialbruch mit einem Fehler von maximal
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 10000 } }}{} an.
}
{} {}
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